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滚动测试卷一(第一~三章)
(时间:120分钟 满分:150分)
滚动测试卷第1页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2015河北保定月考)设集合A={x|x2+x-6≤0},集合B为函数y=的定义域,则A∩B=( )
A.(1,2) B.[1,2]
C.[1,2) D.(1,2]
答案:D
解析:A={x|-3≤x≤2},B={x|x>1},
∴A∩B={x|1<x≤2},∴选D.
2.(2015广西桂林模拟)已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,5) B.(-∞,5]
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
答案:A
解析:由题意可知,A⫋B,又A={x|x>5},B={x|x>a},如图所示,由图可知,a<5.故应选A.
3.若幂函数的图像经过点(3,),则该函数的解析式为( )
A.y=x3 B.y=
C.y= D.y=x-1
答案:B
解析:设幂函数为y=xα,则=3α,
∴α=,y=.故选B.
4.(2015河南信阳模拟)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=sin x B.y=-x2+
C.y=x3+3x D.y=e|x|
答案:C
解析:选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在(0,+∞)上不是单调函数,故选C.
5.(2015南昌模拟)下列说法正确的是( )
A.命题“存在x∈R,x2+x+2 015>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+2 015<0”
B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C.命题“函数f(x)=在其定义域上是减函数”是真命题
D.给定命题p,q,若“p且q”是真命题,则p是假命题
答案:D
解析:对于A,命题“存在x∈R,x2+x+2 015>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+2 015≤0”,因此选项A不正确;对于B,由两个三角形的面积相等不能得知这两个三角形全等,因此选项B不正确;对于C,注意到函数f(x)=在其定义域上不是减函数,因此选项C不正确;对于D,由“p且q”是真命题得p为真命题,故p是假命题,因此选项D正确.
6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是( )
A.(0,4] B.
C. D.
答案:C
解析:y=x2-3x-4=.
当x=0或x=3时,y=-4,所以≤m≤3.
7.(2015西安模拟)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a=( )
A. B. C.2 D.9
答案:C
解析:f(0)=20+1=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,解得a=2.
8.函数y=esin x(-π≤x≤π)的大致图像为( )
答案:D
解析:取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除A,C;
当0<x<时,y=sin x是增函数,y=ex也是增函数,故y=esin x也是增函数,故选D.
9.(2015河北衡水模拟)已知“命题p:存在x0∈R,使得a+2x0+1<0成立”为真命题,则实数a满足( )
A.[0,1) B.(-∞,1)
C.[1,+∞) D.(-∞,1]〚导学号92950966〛
答案:B
解析:(方法一)当a=0时,2x+1<0,可得x<-,
此时存在x0使a+2x0+1<0成立;
当a≠0时,因为存在x0∈R,a+2x0+1<0成立,
所以4-4a>0,即a<1且a≠0.
综上所述,a<1.故应选B.
(方法二)命题p的否定是“任意x∈R,ax2+2x+1≥0”.
当a=0时,显然命题为假;a≠0时,命题p为真的充要条件是a>0且Δ=4-4a≤0,即a≥1.
故p为真时,a的取值范围是A=[1,+∞),p为真时,a的取值范围是∁RA=(-∞,1).故应选B.
10.(2015山东师大附中模拟)方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案:C
解析:设f(x)=x3-6x2+9x-10,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,所以方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.
11.(2015长春模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=·f,则a,b,c间的大小关系为( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b
答案:A
解析:由题意知,设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)上单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log2<0,即30.2>logπ2>log2,所以F(30.2)<F(logπ2)<F,即a<b<c.
12.(2015山西忻州模拟)设函数f(x)=log3-a在(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,log32) B.(log32,1)
C.(-1,-log32) D.(1,log34)
答案:B
解析:f(x)=log3-a=log3-a,则函数f(x)在(1,2)上是减函数,从而解得log32<a<1.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为 .
答案:e2
解析:函数的导数为f'(x)=,
所以切线斜率为k=f'(x0)=,
所以切线方程为y-ln x0=(x-x0),
因为切线过点(0,1),
所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.
14.(2015山东淄博模拟)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是.
答案:(-1,0)∪(1,+∞)
解析:由log2x>0得x>1,由log2x<0得0<x<1,
又函数f(x)为奇函数,则f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
15.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的).则所投的点落在叶形图内部的概率是 .
答案:
解析:依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)dx=,因此所投的点落在叶形图内部的概率是.
16.(2015哈尔滨模拟)已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若任意x1∈[1,2],存在x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是 .〚导学号92950967〛
答案:
解析:任意x1∈[1,2],存在x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),
只需f(x)=x2+在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=-m在[-1,1]上的最小值,
因为f'(x)=2x-≥0在[1,2]上成立,且f'(1)=0,
所以f(x)=x2+在[1,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=12+=3.
因为g(x)=-m是单调递减函数,
所以g(x)min=g(1)=-m,
所以-m≤3,即m≥-.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),≤x≤9.
(1)若m=log3x,求m的取值范围;
(2)求f(x)的最值,并给出取最值时对应的x的值.
解:(1)因为≤x≤9,m=log3x为增函数,
所以-2≤log3x≤2,即m的取值范围是[-2,2].
(2)由m=log3x得:f(x)=log3(9x)·log3(3x)
=(2+log3x)·(1+log3x)
=(2+m)·(1+m)=,
又因为-2≤m≤2,
所以当m=log3x=-,
即x=时,f(x)取得最小值-,
当m=log3x=2,即x=9时,f(x)取得最大值12.
18.(12分)(2015广东湛江模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.
解:(1)因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2].
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
所以f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
从而求得当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)
=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…
=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)
=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0.〚导学号92950968〛
19.(12分)(2015重庆模拟)
如图,在半径为30 cm的圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.
(1)写出体积V关于x的函数解析式;
(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?
解:(1)连接OB,因为AB=x cm,
所以OA= cm.
设圆柱的底面半径为r cm,
则=2πr,
即4π2r2=900-x2,
所以V=πr2x=π··x=,其中0<x<30.
(2)由(1)知V=(0<x<30),则V'=.
由V'==0,得x=10,
因此,V=在(0,10)上是增函数,
在(10,30)上是减函数.
所以当x=10时,V有最大值.
20.(12分)已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).
(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.
(2)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间.
(3)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.
解:(1)因为f(x)的定义域为R,
所以x2-2ax+3>0对x∈R恒成立,
因此必有Δ<0,即4a2-12<0.解得-<a<.
故a的取值范围是(-).
(2)由f(-1)=-3得lo(4+2a)=-3.
所以4+2a=8,所以a=2.
此时f(x)=lo(x2-4x+3),
由x2-4x+3>0得x>3或x<1,
故函数定义域为(-∞,1)∪(3,+∞).
令g(x)=x2-4x+3.
则g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又y=lox在(0,+∞)上单调递减,
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(3,+∞).
(3)不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数,理由如下:
令g(x)=x2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使g(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.
因此a无解.
所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数.
21.(12分)已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).
(1)若函数y=f(x)的图像在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求f(x)在[-1,1]上的最小值;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围.
解:(1)f'(x)=-3x2+2ax.
根据题意得f'(1)=tan=1,
故-3+2a=1,即a=2.
因此,f(x)=-x3+2x2-4,则f'(x)=-3x2+4x.
令f'(x)=0,得x1=0,x2=.
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f'(x)
-
0
+
f(x)
-1
↘
-4
↗
-3
故当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值为f(0)=-4.
(2)f'(x)=-3x.
①若a≤0,则当x>0时,f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.
又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.
因此当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0.
②若a>0,则当0<x<时,f'(x)>0;
当x>时,f'(x)<0.
从而f(x)在上单调递增,在上单调递减.
故当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f=--4=-4.
根据题意得-4>0,即a3>27,故a>3.
综上可知,a的取值范围是(3,+∞).〚导学号92950969〛
22.(12分)(2015贵阳模拟)已知函数f(x)=,其中a∈R.
(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.
(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.
解:(1)函数f(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠-1},f'(x)=.
令f'(x)=0,得x=0.
当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下:
x
(-∞,-1)
(-1,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
-
-
0
+
f(x)
单调递减
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的单调减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调增区间为(0,+∞).
故当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=1.
(2)函数g(x)存在两个零点.证明过程如下:
由题意,函数g(x)=-1,
因为x2+x+1=>0,所以函数g(x)的定义域为R.
求导,得g'(x)
=
=,
令g'(x)=0,得x1=0,x2=1,当x变化时,g(x)和g'(x)的变化情况如下:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
单调
递增
极大值
单调
递减
极小值
单调
递增
故函数g(x)的单调减区间为(0,1);单调增区间为(-∞,0),(1,+∞).
当x=0时,函数g(x)有极大值g(0)=0;
当x=1时,函数g(x)有极小值g(1)=-1.
因为函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(0)=0,所以对于任意x∈(-∞,0),g(x)≠0.
因为函数g(x)在(0,1)上单调递减,且g(0)=0,所以对于任意x∈(0,1),g(x)≠0.
因为函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=-1>0,
所以函数g(x)在(1,+∞)上存在唯一x0,使得g(x0)=0,
故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).〚导学号92950970〛
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