资源描述
3.1 导数与导数的运算
核心考点·精准研析
考点一 导数的计算
1.下列求导运算正确的是 ( )
A.(sin a)′=cos a(a为常数)
B.(sin 2x)′=2cos 2x
C.(cos x)′=sin x
D.(x-5)′=- x-6
2.函数f(x)=x2+ln x+sin x+1的导函数f′(x)= ( )
A.2x++cos x+1 B.2x-+cos x
C.2x+-cos x D.2x++cos x
3.函数f(x)=的导函数f′(x)= ( )
A.tan x B.-
C.- D.-
4.函数f(x)=的导函数f′(x)= ( )
A.2 B.
C. D.
5.设f′(x)是函数f(x)=+x的导函数,则f′(0)的值为________________.
【解析】
1.选B.(sin a)′=0(a为常数),(sin 2x)′=2cos 2x,(cos x)′=-sin x,
(x-5)′=-5x-6.
2.选D.由f(x)=x2+ln x+sin x+1得f′(x)=2x++cos x.
3.选D.f′(x)==-.
4.选D.f′(x)=()′=′
=′=.
5.因为f(x)=+x,
所以f′(x)=+1
=+1,所以f′(0)=+1=0.
答案:0
题2中,若将“f(x)=x2+ln x+sin x+1”改为“f(x)=+”,则f′(x)
=________________.
【解析】因为f(x)=+=,
所以f′(x)=′==.
答案:
【秒杀绝招】
排除法解T3, 根据sin x=0时f(x)无意义,所以f′(x)也无意义排除A,C,
cos x=0时f(x)有意义,所以f′(x)也应有意义排除B.
考点二 导数的应用
【典例】1.若函数f(x)=eax+ln(x+1),f′(0)=4,则a=________________.
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)=2xf′(e)-ln x,则f′(e)
=________________.
3.(2020·宝鸡模拟)二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,若其导函数为f′(x)=3x-,则f(x)=____________.
【解题导思】
序号
联想解题
1
由f′(0)=4,想到求f′(x),列方程
2
由f′(e)想到求f′(x)并代入x=e
3
由二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,想到设函数的解析式为f(x)=ax2+bx
【解析】1.由f(x)=eax+ln(x+1),得f′(x)=aeax+,
因为f′(0)=4,所以f′(0)=a+1=4,所以a=3.
答案:3
2.因为f(x)=2xf′(e)-ln x,
所以f′(x)=2f′(e)-,令x=e得:
f′(e)=2f′(e)-,即f′(e)=.
答案:
3.根据题意,二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax2+bx,则有f′(x)=2ax+b,
又由f′(x)=3x-,得2ax+b=3x-,
则a=,b=-,故f(x)=x2-x.
答案:x2-x
含参数的函数的导数要注意的两点
(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.
(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其导数f′(x).
1.(2020·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f′(1)·2x+x2,则f′(2)= ( )
A. B.
C. D.-2
【解析】选C.因为f′(x)=f′(1)·2xln 2+2x,所以f′(1)=f′(1)·2ln 2+2,解得f′(1)=,所以f′(x)=·2xln 2+2x,所以f′(2)=×
22ln 2+2×2=.
2.函数f(x)=ln x+a的导函数为f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(1,) D.(1,)
【解析】选A.由函数f(x)=ln x+a可得f′(x)=,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的0<x0<1,则=ln x0+a(0<x0<1).
由于>1,ln x0<0,所以a=-ln x0>1,故有a>1.
考点三 导数几何意义的运用
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养
2.怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题
3.新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.
学
霸
好
方
法
1.注意两类切线问题的区别
(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.
(2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还有其他公共点).
2.利用导数求曲线的切线方程
若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为
y-y0=f ′(x0)(x-x0).
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:
第一步:设出切点坐标P′(x1, f(x1));
第二步:写出曲线在点P′(x1, f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f ′(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.
已知切点求切线的方程问题
【典例】(2019·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为________________________.
【解析】y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
所以k=y′|x=0=3,
所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.
答案:3x-y=0
用导数的几何意义求曲线的切线方程的关键是什么?
提示:关键是确定切点坐标.
未知切点求切线的方程问题
【典例】已知函数f(x)=x3+x-16,若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为________________.
【解析】设切点坐标为(x0,y0),
则直线l的斜率为f′=3+1,
所以直线l的方程为
y=(3+1)(x-x0)++x0-16,
因为直线l过原点,
所以0=(3+1)(0-x0)++x0-16,
整理得,=-8,所以x0=-2,
所以y0= (-2)3+(-2)-16=-26,
f′=3×(-2)2+1=13.
所以直线l的方程为y=13x.
答案:y=13x
如何从题目条件判断是否知道切点?
提示:从题目条件的叙述方式判断,一般来说,“过××点”的切线,都是不知道切点.知道切点的叙述方式为“在××点处的切线”.
求参数的值
【典例】(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
【解析】选D.令f(x)=aex+xln x,
则f′(x)=aex+ln x+1,f′(1)=ae+1=2,得a==e-1.
f(1)=ae=2+b,可得b=-1.
切线问题中可以用来列出等量关系的依据有哪些?
提示:(1)切点处的导数为切线斜率;
(2)切点在切线上;
(3)切点在曲线上.
1.(2018·全国卷I)设函数f=x3+x2+ax.若f为奇函数,则曲线y=f在点处的切线方程为 ( )
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2x D.y=x
【解析】选D.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(0)=1,所以切线方程为y=x.
【一题多解】选D.因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,
所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,
所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
2.(2019·吉安模拟)已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.若直线与曲线相切于点(x0,y0)(x0≠0),
则k===+x0+1,
因为y′=3x2,所以=3,
所以3=+x0+1,所以2-x0-1=0,
所以x0=1或x0=-,
所以过点P(1,1)与曲线y=x3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,所以共有2条.
3.(2020·十堰模拟)若直线y=12x+m与曲线y=x3-2相切,则m=________________.
【解析】y=x3-2的导数为y′=3x2,直线y=12x+m与曲线y=x3-2相切,
设切点为(s,t),可得3s2=12,12s+m=s3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14.
答案:14或-18
1.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为 ( )
A.∪ B.
C.∪ D.
【解析】选C.因为y′=3x2-≥-,故切线的斜率k≥-,所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.
2.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3处的切线方程为________________.
【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于-,即f′(3)=-.又g(x)=xf(x),所以g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=3f(3)=3,g′(3)=1+3×=0,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0.
答案:y-3=0
3.阅读材料:求函数y=ex的导函数.
解:因为y=ex,所以x=ln y,
所以x′=′,所以1=·y′,所以y′=y=ex.
借助上述思路,曲线y=,x∈在点(1,1)处的切线方程为________________ .
【解析】因为y=,
所以ln y=ln,
所以·y′=ln+,
所以y′=,
当x=1时,y′=4,
所以曲线y=,x∈在点(1,1)处的切线方程为y-1=4,即y=4x-3.
答案:y=4x-3
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