资源描述
3.3 利用导数研究函数的极值、最值
核心考点·精准研析
考点一 用导数解决函数的极值问题
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.
(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.
2.怎么考:与函数图像、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.
3.新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图像等知识交汇考查为主
学
霸
好
方
法
1.求函数f(x)极值的一般解题步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f ′(x);
(3)解方程f ′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f ′(x)在f ′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
由图像判断函数的极值
【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则= .
【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;
根据图像知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;
所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;
根据根与系数的关系得,
所以2b=-3a,c=-6a,
所以===1.
答案:1
由函数f(x)的图像确定极值点的主要依据是什么?
提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.
求已知函数的极值
【典例】已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.
(2)求函数f(x)的极值.
【解析】(1)由f(x)=x-1+,得f ′(x)=1-.
又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,
所以f ′(1)=0,即1-=0,解得a=e.
(2)f ′(x)=1-,
当a≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.
当a>0时,令f ′(x)=0,得ex=a,即x=ln a,
当x∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,
在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.
已知函数极值情况求参数值(范围)
【典例】设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由f′(x)=ln x-2ax+2a,
可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).
所以g′(x)=-2a=.
当a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a>0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为.
(2)由(1)知,f′(1)=0.
①当a≤0时,f′(x)在(0,+∞)内单调递增,
所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当0<a<时,>1,由(1)知f′(x)在内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为.
1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是 ( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【解析】选D.由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f′(x)>0;当-2<x<1时,0<1-x<3,此时f′(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f′(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
2.设函数f(x)=ln x+ax2-x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为 .
【解析】函数f(x)=ln x+ax2-x,函数定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax-.
若x=1是函数f(x)的极大值点,则
f′(1)=0,解得a=;
所以f(x)=ln x+x2-x,
f′(x)=+x-==;
当f′(x)>0时,0<x<1或x>2;
函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;
当f′(x)<0时,1<x<2,函数在(1,2)上单调递减;
所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln 2-2.
答案:ln 2-2
3.(2019·荆门模拟)已知函数f(x)=x2+2x-2xex.求函数f(x)的极值.
【解析】因为函数f(x)=x2+2x-2xex(x∈R),
所以f′(x)=2x+2-2ex-2xex=(2x+2)(1-ex),
由f′(x)=0,得x=-1或x=0,
列表讨论,得:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以当x=-1时,
f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×=-1,
当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0.
设函数f(x)=ex(sin x-cos x)(0≤x≤2 016π),则函数f(x)的各极大值之和为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.因为函数f(x)=ex(sin x-cos x),
所以f′(x)=[ex(sin x-cos x)]′=ex(sin x-cos x)+ex(cos x+sin x)=2exsin x;
令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);
所以当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增,当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减;所以当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin (2kπ+π)-cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;
又因为0≤x≤2 016π,所以0和2 016π都不是极值点,
所以函数f(x)的各极大值之和为:
eπ+e3π+e5π+…+e2 015π=.
考点二 用导数解决函数的最值问题
【典例】(2019·黄冈模拟)已知函数f(x)= -ax,曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(2,-1).
(1)求实数a的值;
(2)设b>1,求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
利用导数的几何意义求参数
利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率,再利用切点坐标与切线的斜率之间的关系求出a的值
(2)
研究函数f(x)的单调性
利用对x分类讨论的方法,结合b的取值范围,用求导的方法判断函数的单调性
求函数f(x)的最值
从而求出函数的极值,进而求出函数的最值
【解析】(1)f(x)的导函数为
f′(x)=⇒f′(1)==1-a,
依题意,有=1-a,
即=1-a,解得a=1.
(2)由(1)得f′(x)=,
当0<x<1时,1-x2>0,-ln x>0,
所以f′(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增;
当x>1时,1-x2<0,-ln x<0,
所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
因为0<<1<b,所以f(x)的最大值为f(1)=-1.
设h(b)=f(b)-f=ln b-b+,
其中b>1则h′=ln b>0,
故h(b)在区间(1,+∞)上单调递增.
当b→1时,h(b)→0⇒h(b)>0⇒f(b)>f.
故f(x)的最小值为f=-bln b-.
求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路
(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f ′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
(2019·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-4mx=,
当m≤0时,f′(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当m>0时,令f′(x)>0,得0<x<,
令f′(x)<0得x>,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当m>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
所以f(x)max=f=ln-2m·-n
=-ln 2-ln m--n=-ln 2,
所以n=-ln m-,所以m+n=m-ln m-,
令h(x)=x-ln x-(x>0),则h′(x)=1-=,所以h(x)在上单调递减,
在上单调递增,所以h(x)min=h=ln 2,
所以m+n的最小值为ln 2.
考点三 用导数解决生活中的优化问题
【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.
(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.
(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
待定系数法求函数关系
根据已知条件得出日销量函数表达式q=(k≠0),将x=30,q=100代入日销量函数表达式中求出k的值,进而得到利润y与出厂价x之间的函数关系式.
(2)
通过求函数最值,解答实际问题
将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值.
【解析】(1)设日销量q=(k≠0),
则=100,所以k=100e30,所以日销量q=,
所以y=(25≤x≤40).
(2)当t=5时,y=,
y′=.
由y′≥0得x≤26,由y′≤0,得x≥26,
所以y在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e4,
即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.
利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题作答.
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【解析】(1)因为x=4时,y=10.5,
所以+10=10.5,所以a=1.
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-5)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=
(x-2)
=1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.
从而,f′(x)=10[(x-5)2+2(x-2)(x-5)]=
30(x-3)(x-5).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
x
(2,3)
3
(3,5)
f′(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值41
单调递减
由表可得,x=3是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点.
所以当x=3时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于41.
答:当销售价格为3元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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