2023版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.5定积分与微积分基本定理练习理北师大版.doc

3.5 定积分与微积分基本定理
核心考点·精准研析
考点一　定积分的计算 
1.|x2-2x|dx= (　　)
A.5　　 B.6　　 C.7　　 D.8
2.(sin x+)dx等于 (　　)
A. B.π+2cos 2
C.2π+2cos 2 D.2π
3.若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为 (　　)
A.S1<S2<S3　　　　　　 B.S2<S1<S3
C.S2<S3<S1　　　　　　 D.S3<S2<S1
4.若dx=3+ln 2(a>1),则a的值是____________. 
【解析】1.选D.|x2-2x|dx=(x2-2x)dx+=
=+4+4-=8.
2.选D.因为(sin x+)dx=sin xdx+,因为y=sin x为奇函数,所以.又dx表示半圆x2+y2=4(y≥0)的面积.所以dx=×π×22=2π,所以(sin x+)dx=2π.
3.选B.S1=x2dx=x3=,
S2=dx=ln x=ln 2<ln e=1,
S3=exdx=ex=e2-e=(e-1)e>e>,
所以S2<S1<S3.
4.dx=2xdx+dx=x2+ln x=a2-1+ln a=3+ln 2,
所以解得a=2.
答案:2
题3中,若将“S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,”改为“S1=x2dx,S2=
x 3dx,S3=”,试判断S1,S2,S3的大小关系.
【解析】由微积分基本定理得S1=x2dx==,S2=x3dx==4,
S3=sin xdx=(-cos x)=1-cos 2<2,则S3< S1< S2.
1.运用微积分基本定理求定积分时的注意点
(1)被积函数要先化简,再求积分.
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,再求积分.
(4)注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错.
2.根据定积分的几何意义,可利用面积求定积分.
3.函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有
(1)若f(x)为偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx.
(2)若f(x)为奇函数,则f(x)dx=0.
【秒杀绝招】
　图像法解T3,如图,根据定积分的几何意义知,S1,S2,S3分别是函数y=x2,
y=,y=ex与x=1,x=2及x轴所围成的面积,显然S2<S1<S3.
考点二　应用定积分求平面图形的面积 
【典例】1.(2019·厦门模拟)二次函数f(x)=x2-nx+m(n,m∈R)的图像如图所示,则定积分f(x)dx=(　　)
A. B. C.2 D.3
2.(2019·武汉模拟)过坐标原点O作曲线C:y=ex的切线l,则曲线C,直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为 (　　)
A.-1 B.e-1 C.e-2 D.
3.由曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为________________.
【解题导思】
序号
联想解题
1
由函数图像想到求n,m,进而求定积分
2
由曲线C的切线想到导数的几何意义,借助图形形状设置被积函数
3
由曲线y=,y=2-x,y=-x想到画图求解
【解析】1.选B.由图像可知,n=3,m=2.
f(x)dx=(x2-3x+2)dx
==-0=.
2.选A.根据题意,过坐标原点O作曲线C:y=ex的切线l,设切点为(m,em),y=ex,其导数y=ex,则切线的斜率k=em,
则直线l的方程为:y-em=em(x-m),
又由直线l经过原点,则有-em=em(-m),
所以em(1-m)=0,所以m=1,
则直线l的方程为y-e=e(x-1),
即y=ex,切点为(1,e);
曲线C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积S===-(1-0)=-1.
3.方法一:画出草图,如图所示.
解方程组及
得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),
所以所求图形的面积
S=dx+dx
=dx+dx
=+=+6-×9-2+=.
答案:
方法二:如图所求阴影的面积就是三角形OAB的面积减去由y轴,y=,y=2-x围成的曲边三角形的面积,即
S=×2×3-(2-x-)dx
=3-=3-=.
答案:
　利用定积分求平面图形面积的四个步骤
　曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形的面积为 (　　)
A.　　 B.
C.-4ln 2 D.-8ln 2
【解析】选D.作出曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形如图:
由,解得x=1或x=4,
所以曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形的面积为S=dx=
=(20-8-4ln 4)-=-8ln 2.
考点三　定积分在物理中的应用 
【典例】1.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 (　　)
A.1+25ln 5 B.8+25ln
C.4+25ln 5 D.4+50ln 2
2.设变力 F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到 x=10,已知 F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为________________J(x 的单位:m;力的单位:N).
【解题导思】
序号
联想解题
1
由汽车继续行驶的距离想到积分变量为时间,被积函数为速度
2
由变力F(x)对质点 M 所做的功想到积分变量为位移,被积函数为力
【解析】1.选C.令v(t)=0得,3t2-4t-32=0,
解得t=4.
汽车的刹车距离是
dt=
=4+25ln 5.
2.变力F(x)=x2+1 使质点M沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为:
W=F(x)dx=(x2+1)dx==342(J).
答案:342
　定积分在物理中的两个应用
　(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=v(t)dt.
(2)变力做功,一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=F(x)dx.
　某人吃完饭后散步,在0到3小时内速度与时间的关系为v=t3-3t2+2t(km/h),这3小时内他走过的路程为 (　　)
A.km　 B.km　 C.km　 D.km
【解析】选C.v=t3-3t2+2t的原函数可为F(t)=t4-t3+t2=t2(t-2)2,路程为v(t)dt-v(t)dt+v(t)dt=F(1)-F(0)-F(2)+F(1)+F(3)-F(2)=
2F(1)+F(3)=(km).
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