高优指导2021版高考数学一轮复习第五章平面向量25平面向量的数量积考点规范练文北师大版.doc

考点规范练25　平面向量的数量积
　考点规范练A册第19页　 
基础巩固组
1.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:B
解析:由已知得|a|=|b|=1,<a,b>=60°,
∴(2a-b)·b=2a·b-b2
=2|a||b|cos<a,b>-|b|2
=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.
2.(2015广东惠州调研)已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为(　　)
A. B.
C.5 D.13
答案:B
解析:由题意得2×6+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=.
3.(2015陕西,文8)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是(　　)
A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案:B
解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.
4.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(　　)
A. B.2 C.5 D.10
答案:C
解析:依题意得,=1×(-4)+2×2=0,∴.∴四边形ABCD的面积为|||==5.
5.(2015长春调研)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为(　　)
A.- B.- C. D.
答案:A
解析:b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),c=(3,4),
又(b+λa)⊥c,∴(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=-,故选A.
6.已知向量a=(x+1,1),b=(1,y-2),且a⊥b,则x2+y2的最小值为(　　)
A. B. C. D.1〚导学号32470467〛
答案:C
解析:∵a⊥b,∴a·b=0,即x+1+y-2=0,
整理得x+y=1,
∴x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1
=2,
∴x2+y2的最小值为.
7.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的投影为(　　)
A. B. C.- D.-
答案:A
解析:=(2,1),=(5,5),向量上的投影为||cos<>=||·,故选A.
8.

(2015银川质量检测)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在CD上,若,则的值是(　　)
A.
B.2
C.0
D.1〚导学号32470468〛
答案:A
解析:依题意,得=()·()=-2+1×2-0=,故选A.
9.(2015湖北,文11)已知向量,||=3,则=　　　　　. 
答案:9
解析:·()=||2+=||2=9.

10.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=,且|2a+b|=,则向量a与a+b的夹角为　　　　　. 
答案:
解析:

∵|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=7,|a|=1,|b|=,
∴4+4a·b+3=7,
∴a·b=0,∴a⊥b.
如图所示,a与a+b的夹角为∠COA.
∵tan∠COA=,
∴∠COA=,即a与a+b的夹角为.
11.(2015安徽,文15)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是　　　　　　　.(写出所有正确结论的编号) 
①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.
答案:①④⑤
解析:在正三角形ABC中,=2a,||=2,所以|a|=1,①正确;由=2a+b,得=b,因此④正确,②不正确;由的夹角为120°,知a与b的夹角为120°,所以③不正确;因为=b,所以(4a+b)·=4a·b+b2=4×1×2×+22=0,所以(4a+b)⊥.故⑤正确.
能力提升组
12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,P为矩形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为(　　)
A. B.
C. D.〚导学号32470469〛
答案:B
解析:因为=λ+μ,
所以||2=|λ+μ|2.
所以=λ2||2+μ2||2+2λμ.
因为AB=1,AD=,AB⊥AD,
所以=λ2+3μ2.又=λ2+3μ2≥2λμ,
所以(λ+μ)2=+2λμ≤.
所以λ+μ的最大值为,当且仅当λ=,μ=时取等号.
13.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:
p1:|a+b|>1⇒θ∈;
p2:|a+b|>1⇒θ∈;
p3:|a-b|>1⇒θ∈;
p4:|a-b|>1⇒θ∈.
其中的真命题是(　　)
A.p1,p4 B.p1,p3
C.p2,p3 D.p2,p4〚导学号32470470〛
答案:A
解析:由|a+b|>1得(a+b)2>1,即a2+b2+2a·b>1,整理得cos θ>-,又因θ∈[0,π],解得θ∈;
由|a-b|>1得(a-b)2>1,即a2+b2-2a·b>1,整理得cos θ<,又θ∈[0,π],解得θ∈.
综上可知p1,p4正确,故选A.
14.(2015东北三校联考)已知△ABC中,||=10,=-16,D为边的中点,则||等于(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3〚导学号32470471〛
答案:D
解析:由题知),=-16,
∴||·||cos∠BAC=-16.
在△ABC中,由余弦定理得,||2=||2+||2-2||||cos∠BAC,
∴102=||2+||2+32,||2+||2=68,
∴||2=+2)=(68-32)=9,
∴||=3,故选D.
15.(2015山东潍坊模拟)

如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,<>=60°,则||=　　　　　. 
答案:
解析:因为<>=60°,
所以=||·||cos 60°=1×3×,
又,所以)2
=+2),即(1+3+9)=,
所以||=.
16.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=　　　. 
答案:2
解析:∵b·c=0,|a|=|b|=1,<a,b>=60°,
∴a·b=1×1×.
∴b·c=[ta+(1-t)b]·b=0,即ta·b+(1-t)b2=0.
∴t+1-t=0.∴t=2.
17.已知a=(3,2),b=(2,-1),若向量λa+b与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是　. 
答案:λ<或λ>且λ≠1
解析:依题意,(λa+b)·(a+λb)=λa2+λb2+(λ2+1)a·b>0,即4λ2+18λ+4>0,
由此解得λ<或λ>.
注意到当λa+b与a+λb同向共线时,λ=1,(λa+b)·(a+λb)>0.
因此,所求的实数λ的取值范围是λ<或λ>且λ≠1.
18.(2015天津,文13)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且,则的值为　　　　　. 
〚导学号32470472〛
答案:
解析:由平面几何知识可求得CD=1.

由,得
=()·()
=
=
=
=||·||cos 60°+×22+|·||cos 60°+|·||cos 120°
=2×1××1×1××1×2×
=.

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