2022-2022学年高中数学课时分层作业3等差数列的概念及其通项公式北师大版必修5.doc

课时分层作业(三)　等差数列的概念及其通项公式
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列为(　　)
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
A　[an＋1－an＝[2(n＋1)＋5]－(2n＋5)＝2，a1＝7，故{an}是公差为2的等差数列，选A．]
2．下列数列不是等差数列的是(　　)
A．9,7,5,3，…，－2n＋11，…
B．1,2,1,2，…
C．－1,11,23,35，…，12n－13，…
D．a，a，a，a，…
B　[由等差数列的定义知选B．]
3．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1＝(　　)
A．－9　　 B．－8　　　　
C．－7　　 D．－4
B　[由a6＝a4＋6，得公差d＝3，
所以a1＝a2－d＝－5－3＝－8．]
4．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于(　　)
A．10 B．18
C．20 D．28
C　[设公差为d，则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10．
∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20．]
5．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差数列，则a11等于(　　)
A．0 B．
C． D．
A　[∵＝，＝，
∴＝，＝－×2＝，
∴＝＋(n－1)·，
∴＝＋＝＝1，∴a11＝0．]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则数列{an}的公差d＝________．
－　[因为a3＝0，a7－2a4＝－1，
即4d－2d＝－1，得d＝－．]
7．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________．
　[∵数列x，a1，a2，y成等差数列，
∴y－x＝3(a2－a1)，∴a2－a1＝(y－x)，
∵x，b1，b2，b3，y成等差数列，
∴y－x＝4(b2－b1)⇒b2－b1＝(y－x)，
∴＝＝．]
8．已知等差数列{an}的公差d≠0且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0．则n＝________．
5　[因为a3＋a9＝a10－a8，
所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，
解得a1＝－4d，
所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，
令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5．]
三、解答题
9．若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，求证：数列{an}为等差数列．
[证明]　因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2．所以数列{an}为等差数列．
10．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值，如果1 km高度的气温是8．5 ℃，5 km高度的气温是－17．5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温．
[解]　用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8．5，a5＝－17．5，
由a5＝a1＋4d＝8．5＋4d＝－17．5，
解得d＝－6．5，
∴an＝15－6．5n．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．
1．数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4为(　　)
A． B．
C． D．
D　[法一：a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝．
法二：取倒数得＝＋3，∴－＝3，
∴是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)·3＝3n－＝，
∴an＝，∴a4＝．]
2．古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金(　　)
A．斤 B．斤
C．2斤 D．斤
D　[由题意可知等差数列{an}中
，即，
解得d＝－，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝．故选D．]
3．首项为－24的等差数列{an}，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是________．
　[设等差数列的公差为d，则通项公式an＝－24＋(n－1)d，
由
解得<d≤3，
即公差的取值范围是．]
4．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________．
(n∈N＋)　[∵a－a＝4，∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3．又an＞0，∴an＝(n∈N＋)．]
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1．
(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；
(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．
[解]　(1)证明：(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1．
(2)由(1)可知，
an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，
所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n．
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