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第一章 1.1 1.1.1算法的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列语句中是算法的是( A )
A．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
B．吃饭
C．做饭
D．写作业
[解析] 选项A是解一元一次方程的具体步骤，故它是算法，而B、C、D是说的三个事实，不是算法．
2．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( B )
①S＝1＋2＋3＋…＋100；
②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；
③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，且n∈N)．
A．①② B．①③
C．② D．②③
[解析] 由算法的确定性、有限性知选B．
3．早上从起床到出门需要洗脸、刷牙(5 min)，刷水壶(2 min)，烧水(8 min)，泡面(3 min)，吃饭(10 min)，听广播(8 min)几个过程，下列选项中最好的一种算法是( C )
A．第一步，洗脸刷牙；第二步，刷水壶；第三步，烧水；第四步，泡面；第五步，吃饭；第六步，听广播
B．第一步，刷水壶；第二步，烧水同时洗脸刷牙；第三步，泡面；第四步，吃饭；第五步，听广播
C．第一步，刷水壶；第二步，烧水同时洗脸刷牙；第三步，泡面；第四步，吃饭同时听广播
D．第一步，吃饭同时听广播；第二步，泡面；第三步，烧水同时洗脸刷牙；第四步，刷水壶
[解析] 因为A选项共用时36 min，B选项共有时31 min，C选项共用时23 min，选项D的算法步骤不符合常理，所以最好的一种算法为C选项．
4．对于一般的二元一次方程组，在写求此方程组解的算法时，需要我们注意的是( C )
A．a1≠0 B．a2≠0
C．a1b2－a2b1≠0 D．a1b1－a2b2≠0
[解析] 由二元一次方程组的公式算法即知C正确．
5．下面是对高斯消去法的理解：
①它是解方程的一种方法；
②它只能用来解二元一次方程组；
③它可以用来解多元一次方程组；
④用它来解方程组时，有些方程组的答案可能不准确．
其中正确的是( A )
A．①② B．②④
C．①③ D．②③
[解析] 高斯消去法是只能用来解二元一次方程组的一种方法，故①②正确．
6．一个算法步骤如下：
S1 S取值0，i取值2；
S2 如果i≤10，则执行S3，否则执行S6；
S3 计算S＋i并将结果代替S；
S4 用i＋2的值代替；
S5 转去执行S2；
S6 输出S.
运行以上步骤输出的结果为( B )
A．25 B．30
C．35 D．40
[解析] 按算法步骤一步一步地循环计算替换，该算法作用为求和S＝2＋4＋6＋8＋10＝30.
二、填空题
7．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，求斜边长c的算法如下：
S1 输入两直角边长a、b的值．
S2 计算c＝的值；
S3 ____________.
将算法补充完整，横线处应填__输出斜边长c的值__．
[解析] 算法要有输出，故S3应为输出c的值．
8．一个算法步骤如下：
S1 S取值0，i取值1；
S2 如果i≤12，则执行S3，否则执行S6；
S3 计算S＋i并将结果代替S；
S4 用i＋3的值代替i；
S5 转去执行S2；
S6 输出S.
运行以上步骤输出的结果为S＝__22__.
[解析] 由以上算法可知：S＝1＋4＋7＋10＝22.
三、解答题
9．某年青歌赛流行唱法个人组决赛中，某歌手以99.19分夺得金奖．青歌赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法.
[解析] S1 先假定其中一个为“最高分”；
S2 将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就假定这个分数为“最高分”；否则“最高分”不变；
S3 如果还有其他分数，重复S2；
S4 一直到没有可比的分数为止，这时假定的“最高分”就是所有评委打分中的最高分．
10．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船最多可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法.
[解析] 算法如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
B级 素养提升
一、选择题
1．算法：
S1 输入n；
S2 判断n是否是2.若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行S3；
S3 依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则满足条件．
上述满足条件的数是( A )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．4的倍数
[解析] 根据算法可知，如果n＝2直接就是满足条件的数．n不是2时，验证从2到n－1有没有n的因数，如果没有就满足条件．显然，满足这个算法中条件的数是质数．故选A．
2．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是( B )
A．4 B．5
C．6 D．8
[解析] 按各放3张，可以算出答案是5，各放x张答案也是一样的．
二、填空题
3．下面算法运行后输出结果为__720__.
S1 设i＝1，P＝1；
S2 如果i≤6则执行S3，否则执行S5；
S3 计算P×i，并将结果代替P的值；
S4 用i＋1的值代替i的值，转去执行S2；
S5 输出P.
[解析] 该算法包含一个循环结构，计数变量i的初值为1，每次循环它的值增加1.由1变到6.
P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结果，并用新的结果替代原值．
第一次循环i＝1，P＝1.第二次循环i＝2，P＝2.第三次循环i＝3，P＝6.第四次循环i＝4，P＝24.第五次循环i＝5，P＝120.第六次循环i＝6，P＝720.
4．下面是解决一个问题的算法：
S1 输入x；
S2 若x≥4，转到S3；否则转到S4；
S3 输出2x－1；
S4 输出x2－2x＋3.
当输入x的值为__1__输出的数值最小值为__2__.
[解析] 所给算法解决的问题是求分段函数f(x)＝的函数值的问题
当x≥4时，f(x)＝2x－1≥2×4－1＝7；当x＜4时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.所以f(x)min＝2，此时x＝1.即当输入x的值为1时，输出的数值最小，且最小值是2.
三、解答题
5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积.
[解析] S1 取S＝16π；
S2 计算R＝(由于S＝4πR2)；
S3 计算V＝πR3；
S4 输出运算结果．
6．设火车托运行李，当行李重量为m(kg)时，每千米的费用(单位：元)标准为y＝，试写出当托运路程为S千米时计算运费的算法.
[解析] 算法如下：
S1 输入m；
S2 若m≤30，则执行S3，若m>30，则执行S4；
S3 输出0.3m×S；
S4 输出[0.3×30＋0.5(m－30)]×S.
C级 能力拔高
1．已知函数y＝，请设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值.
[解析] 算法如下：
S1 输入x的值；
S2 当x≤－1时，计算y＝2x－1，否则执行S3；
S3 当x<2时，计算y＝log2(x＋1)，否则执行S4；
S4 计算y＝x2；
S5 输出y.
2．试描述判断圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0的位置关系的算法.
[解析] S1 输入圆心的坐标(x0，y0)，直线方程的系数A，B，C和半径r；
S2 计算z1＝Ax0＋By0＋C；
S3 计算z2＝A2＋B2；
S4 计算d＝；
S5 如果d>r，则相离；如果d＝r，则相切；如果d<r，则相交．
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