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第5节 探究弹性势能的表达式
一、选择题
1．关于弹簧的弹性势能，以下说法中正确的选项是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹性势能是弹簧和使它发生形变的物体所共有的
解析：选C 弹簧的弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关，如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该减小，当它变短时，弹性势能应该增大，在原长处它的弹性势能最小，A、B错误；形变量相同时，k越大的弹簧，弹性势能越大，C正确；弹性势能属于弹簧，D错误．
2．(多项选择)某缓冲装置可抽象成图所示的简单模型，图中k1、k2为原长相等、劲度系数不同的轻质弹簧．以下表述正确的选项是( )
A．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关
B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等
C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等
D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变
解析：选BD 弹簧劲度系数k越大，向右压缩单位长度弹力越大，物体减速越快，缓冲效果越好，A错；由牛顿第三定律可知两弹簧弹力总是大小相等，B对；由于k1x1＝k2x2，k1≠k2，所以x1≠x2，又因原长相等，故压缩后两弹簧的长度不相等，C错；弹簧形变量越来越大，弹性势能越来越大，D对．
3．关于弹性势能和重力势能，以下说法错误的选项是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的
D．重力势能和弹性势能都是状态量
解析：选B 重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体，重力势能、弹性势能都是相对于势能零点的，能量是状态量，B错，A、C、D对．故只选B.
4．如下图，撑杆跳是运动会中常见的比赛工程，用于撑起运发动的杆要求具有很好的弹性，以下关于运发动撑杆跳起过程的说法正确的选项是( )
A．运发动撑杆刚刚触地时，杆弹性势能最大
B．运发动撑杆跳起到达最高点时，杆弹性势能最大
C．运发动撑杆触地后上升到最高点之前某时刻，杆弹性势能最大
D．以上说法均有可能
解析：选C 杆形变量最大时，弹性势能最大，杆刚触地时没有形变，人到最高点时，杆已由弯曲到根本完全伸直．应选项C正确．
5．如下图，某同学利用橡皮条将模型飞机弹出，在弹出过程中，下述说法错误的选项是( )
A．橡皮条收缩，弹力对飞机做功
B．飞机的速度增加
C．橡皮条的弹性势能减小
D．飞机的重力势能减小，转化为飞机的动能
解析：选D 橡皮条收缩，弹力对飞机做功，橡皮条的弹性势能减小，飞机的重力势能和动能都增加，选项A、B、C正确，D错误．
6．自由下落的小球，从接触竖直放置的轻弹簧开始，至压缩弹簧到最大形变的过程中，以下说法中正确的选项是( )
A．小球的速度逐渐减小
B．小球、地球组成系统的重力势能逐渐减小
C．弹簧的弹性势能先逐渐增大再逐渐减小
D．小球的加速度逐渐增大
解析：选B 小球做加速度先减小到0后逐渐增大的变速运动，小球速度先增大后减小，故A、D错误；小球的重力势能逐渐减小，由于弹簧的压缩量逐渐增大，因此弹簧的弹性势能逐渐增大，故B正确，C错误．
7．在光滑的水平面上，物体A以较大速度va向前运动，与以较小速度vb向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如下图．在相互作用的过程中，当系统的弹性势能最大时( )
A．va>vb B．va＝vb
C．va<vb D．无法确定
解析：选B 只要va>vb，A、B就有相对运动，弹簧就会被压缩，弹力做负功，弹性势能增加，当va＝vb时，A、B相距最近，弹簧的形变量最大，弹性势能最大，应选项B正确．
8．(多项选择)如下图，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中以下说法正确的选项是( )
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
解析：选BD 由功的计算公式W＝Flcos θ知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力F＝kl，所以A错误；弹簧开始被压缩时弹力小，物体移动相同位移，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，弹力也变大，物体移动相同的距离做的功多，故B正确；物体压缩弹簧的过程，弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C错误，D正确．
9．如下图，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速释放，让它自由摆下．不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中( )
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做正功
C．假设用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D．假设用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
解析：选C 用细绳拴住小球向下摆动时重力做正功，弹力不做功，C正确；用弹簧拴住小球下摆时，弹簧要伸长，重力做正功，小球轨迹不是圆弧，弹力做负功，A、B、D错误．
10．如下图，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h.拉力F做功WF，不计弹簧的质量，那么以下说法正确的选项是( )
A．重力做功－mgh，重力势能减少mgh
B．弹力做功－WF，弹性势能增加WF
C．重力势能增加mgh，弹性势能增加FH
D．重力势能增加mgh，弹性势能增加WF－mgh
解析：选D 可将整个过程分为两个阶段：一是弹簧伸长到m刚要离开地面阶段，拉力克服弹力做功WF1＝－W弹，等于弹性势能的增加；二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力势能的增加，又由WF＝WF1＋WF2可知A、B、C错误，D正确．
二、非选择题
11．如下图，有一原长为l0的橡皮筋，上端固定，在下端拴一质量为M的物体时，橡皮筋伸长为a且恰好断裂．假设该橡皮筋下端拴一质量为m(m<M)的物体，将m从橡皮筋没有形变的位置，竖直向上举高h后，由静止释放，也恰能使橡皮筋伸长为a时断裂，求橡皮筋的劲度系数和h的表达式．(设橡皮筋遵守胡克定律)
解析：橡皮筋挂质量为M的物体，伸长a时，物体所受重力等于弹力；当m由静止下落至最低点的过程中，始、未位置速度为零，重力克服弹力做功，橡皮筋的弹性势能增加．
Mg＝ka，故k＝.
mg(h＋a)＝＝··a2＝Mga，
解得h＝a.
答案：k＝ h＝a
12．通过探究得到弹性势能的表达式为Ep＝kx2，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长(或缩短)的长度，请利用弹性势能表达式计算以下问题．
放在地面上的物体上端系在劲度系数k＝400 N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如下图，缓慢拉动绳子的另一端，当往下拉0.1 m物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5 m高处．如果不计弹簧重和滑轮跟绳的摩擦，求物体重力势能的变化量和弹性势能的大小．
解析：用力向下拉绳子右端的过程中，物体上升的高度h＝0.5 m，故重力作功WG＝－mgh.
用手向下拉绳子0.1 m物体开始上升说明：mg＝kx，x＝0.1 m为物体上升过程中弹簧的最大伸长量．
故有：mg＝400×0.1 N＝40 N，
WG＝－40×0.5 J＝－20 J，
物体重力势能增大，ΔEp＝－WG＝20 J，
弹簧的弹性势能Ep＝kx2＝×400×0.12 J＝2 J.
答案：增大20 J 2 J
13．如下图，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ.以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为常量．
(1)请画出F随x变化的示意图；并根据Fx图象求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功；
(2)物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比拟，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能〞的概念．
解析：(1)Fx图象如下图．
物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中，弹力做负功；Fx图线下的面积等于弹力做功大小．弹力做功
WT＝－·kx·x＝－kx2.
(2)a.物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做功
WT1＝－·(kx1＋kx3)·(x3－x1)＝kx12－kx32，
物块由x3向左运动到x2的过程中，弹力做功
WT2＝·(kx2＋kx3)·(x3－x2)＝kx32－kx22，
整个过程中，弹力做功
WT＝WT1＋WT2＝kx12－kx22，
弹性势能的变化量ΔEp＝－WT＝kx22－kx12.
b．整个过程中，摩擦力做功Wf＝－μmg(2x3－x1－x2)，
与弹力做功比拟，弹力做功与x3无关，即与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能．而摩擦力做功与x3有关，即与实际路径有关，所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能〞．
答案：(1)见解析图 －kx2 (2)a.kx12－kx22 kx22－kx12 b．－μmg(2x3－x1－x2) 见解析
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