资源描述
图形的变化——图形的平移1
一．选择题〔共8小题〕
1．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，假设△ABC的周长为16cm，那么四边形ABFD的周长为〔 〕
A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm
2．如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，那么线段A′B与线段AC的关系是〔 〕
A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直
3．线段CD是由线段AB平移得到的，点A〔﹣1，4〕的对应点为C〔4，7〕，那么点B〔﹣4，﹣1〕的对应点D的坐标为〔 〕
A．〔1，2〕 B．〔2，9〕 C．〔5，3〕 D．〔﹣9，﹣4〕
4如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，那么四边形ABFD的周长为〔 〕
A．12 B．16 C．20 D．24
5如图，∠EFD=∠BCA，BC=EF，AF=DC．假设将△ABC沿AD向右平移，使点C与点D重合，那么所得到的图形形状是〔 〕
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．等边三角形
6．如图将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，假设BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠局部面积为2，那么BB1=〔 〕
A．1 B． C． D．2
7．如图，EF是△ABC的中位线，AD是中线，将△AEF沿AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1、F1落在BC边上，此时点A1恰好落在EF上，△AEF的面积是7，那么阴影局部的面积是〔 〕
A．7 B．14 C．21 D．28
8如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，假设四边形ABED的面积等于8，那么平移距离等于〔 〕
A．2 B．4 C．8 D．16
二．填空题〔共8小题〕
9．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠局部的面积为32时，它移动的距离AA′等于 _________ ．
10．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，那么△A′B′C的周长为 _________ ．
11．如图，在直角坐标系中，点A〔﹣3，﹣1〕，点B〔﹣2，1〕，平移线段AB，使点A落在A1〔0，﹣1〕，点B落在点B1，那么点B1的坐标为 _________ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为〔1，3〕，将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，那么点A的对应点A′的坐标为 _________ ．
13在平面直角坐标系中，将点A〔﹣1，2〕向右平移3个单位长度得到点B，那么点B关于x轴的对称点C的坐标是 _________ ．
14如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．沿对角线AC剪开，将△ABC向右平移至△A1BC1位置，成图〔2〕的形状，假设重叠局部的面积为3cm2，那么平移的距离AA1= _________ cm．
15．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，那么四边形ABFD的周长为 _________ ．
16．如图，A〔﹣3，1〕，B〔﹣1，﹣1〕，C〔﹣2，0〕，曲线ACB是以C为对称中心的中心对称图形，把此曲线沿x轴正方向平移，当点C运动到C′〔2，0〕时，曲线ACB描过的面积为 _________ ．
三．解答题〔共7小题〕
17．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
〔1〕B点关于y轴的对称点坐标为 _________ ；
〔2〕将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
〔3〕在〔2〕的条件下，A1的坐标为 _________ ．
18．如图，△ABC中，AB=BC，将△ABC沿直线BC平移到△DCE〔使B与C重合〕，连接BD，求∠BDE的度数．
19．如图，在方格纸中〔小正方形的边长为1〕，△ABC的三个顶点均为格点，将△ABC沿x轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系〔O是坐标原点〕，解答以下问题：
〔1〕画出平移后的△A′B′C′，并直接写出点A′、B′、C′的坐标；
〔2〕求出在整个平移过程中，△ABC扫过的面积．
20．如图，△ABC的面积为16，BC=8．现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位到△DEF的位置．
〔1〕当a=4时，求△ABC所扫过的面积；
〔2〕连接AE、AD，设AB=5，当△ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值．
21．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
〔1〕证明△A′AD′≌△CC′B；
〔2〕假设∠ACB=30°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．
22．如图，在三角形ABC中，AC=BC，假设将△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，得到△CEF，连接AE．
〔1〕试猜想，AE与CF有何位置上的关系并对你的猜想给予证明；
〔2〕假设BC=10，tan∠ACB=时，求AB的长．
23如图，△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
〔1〕求四边形CEFB的面积；
〔2〕试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
〔3〕假设∠BEC=15°，求AC的长．
图形的变化——图形的平移1
参考答案与试题解析
一．选择题〔共8小题〕
1．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，假设△ABC的周长为16cm，那么四边形ABFD的周长为〔 〕
A． 16cm B．18cm C．20cm D． 22cm
考点： 平移的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据平移的根本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC即可得出答案．
解答： 解：根据题意，将周长为16cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF，
∴AD=CF=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=20cm．
应选：C．
点评： 此题考查平移的根本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
2．如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，那么线段A′B与线段AC的关系是〔 〕
A． 垂直 B．相等 C．平分 D． 平分且垂直
考点： 平移的性质；勾股定理．
专题： 网格型．
分析： 先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系．
解答： 解：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．
∵A′O=OB=，AO=OC=2，
∴线段A′B与线段AC互相平分，
又∵∠AOA′=45°+45°=90°，
∴A′B⊥AC，
∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．
应选：D．
点评： 此题考查了平移的性质，勾股定理，正确利用网格求边长长度及角度是解题的关键．
3．线段CD是由线段AB平移得到的，点A〔﹣1，4〕的对应点为C〔4，7〕，那么点B〔﹣4，﹣1〕的对应点D的坐标为〔 〕
A． 〔1，2〕 B〔2，9〕 C〔5，3〕 D． 〔﹣9，﹣4〕
考点： 坐标与图形变化-平移．
专题： 常规题型．
分析： 根据点A、C的坐标确定出平移规律，再求出点D的坐标即可．
解答： 解：∵点A〔﹣1，4〕的对应点为C〔4，7〕，
∴平移规律为向右5个单位，向上3个单位，
∵点B〔﹣4，﹣1〕，
∴点D的坐标为〔1，2〕．
应选：A．
点评： 此题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，那么四边形ABFD的周长为〔 〕
A． 12 B．16 C．20 D． 24
考点： 平移的性质；等边三角形的性质．
专题： 数形结合．
分析： 根据平移的性质易得AD=BE=2，那么四边形ABFD的周长即可求得．
解答： 解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．
应选B．
点评： 此题考查平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长．
5．如图，∠EFD=∠BCA，BC=EF，AF=DC．假设将△ABC沿AD向右平移，使点C与点D重合，那么所得到的图形形状是〔 〕
A． 梯形 B．平行四边形 C矩形 D． 等边三角形
考点： 平移的性质；平行四边形的判定．
分析： 首先根据平移后点C与点D重合，AF=DC，得到点A和点F重合，然后根据∠EFD=∠BCA，得到BC∥EF，从而判定所得到的图形形状是平行四边形．
解答： 解：∵平移后点C与点D重合，AF=DC，
∴点A和点F重合，
∵∠EFD=∠BCA，
∴BC∥EF，
∵BC=EF，
∴所得到的图形形状是平行四边形，
应选B．
点评： 此题考查了平移的性质及平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的判定定理，难度不大．
6．如图将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，假设BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠局部面积为2，那么BB1=〔 〕
A． 1 B． C． D． 2
考点： 平移的性质；等腰直角三角形．
分析： 重叠局部为等腰直角三角形，设B1C=2x，那么B1C边上的高为x，根据重叠局部的面积列方程求x，再求BB1．
解答： 解：设B1C=2x，
根据等腰三角形的性质可知，重叠局部为等腰直角三角形，
那么B1C边上的高为x，
∴×x×2x=2，解得x=〔舍去负值〕，
∴B1C=2，
∴BB1=BC﹣B1C=．
应选：B．
点评： 此题考查了等腰直角三角形的性质，平移的性质．关键是判断重叠局部图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求斜边长．
7．如图，EF是△ABC的中位线，AD是中线，将△AEF沿AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1、F1落在BC边上，此时点A1恰好落在EF上，△AEF的面积是7，那么阴影局部的面积是〔 〕
A． 7 B14 C．21 D． 28
考点： 平移的性质．
分析： 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可知S△ABC=4S△AEF，再根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知S△A1E1F1=S△AEF，然后列式计算即可得解．
解答： 解：∵EF是△ABC的中位线，
∴S△ABC=4S△AEF=4×7=28，
∵△AEF沿AD方向平移到△A1E1F1，
∴S△A1E1F1=S△AEF=7，
∴阴影局部的面积=28﹣7﹣7=14．
应选B．
点评： 此题考查了平移的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质是解题的关键，难点在于理解三角形的中位线把三角形分成的小三角形的面积等于原三角形的面积的．
8如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，假设四边形ABED的面积等于8，那么平移距离等于〔 〕
A． 2 B4 C．8 D． 16
考点： 平移的性质．
分析： 根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
解答： 解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，四边形ABED的面积等于8，AC=4，
∴平移距离=8÷4=2．
应选A．
点评： 此题主要考查平移的根本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
二．填空题〔共8小题〕
9．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠局部的面积为32时，它移动的距离AA′等于 4或8 ．
考点： 平移的性质；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 几何动点问题．
分析： 根据平移的性质，结合阴影局部是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，那么假设设AA′=x，那么阴影局部的底长为x，高A′D=2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
解答： 解：设AC交A′B′于H，
∵∠A=45°，∠D=90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′=x，那么阴影局部的底长为x，高A′D=12﹣x
∴x•〔12﹣x〕=32
∴x=4或8，
即AA′=4或8cm．
故答案为：4或8．
点评： 考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决此题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
10．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，那么△A′B′C的周长为 12 ．
考点： 平移的性质．
分析： 根据平移性质，判定△A′B′C为等边三角形，然后求解．
解答： 解：由题意，得BB′=2，
∴B′C=BC﹣BB′=4．
由平移性质，可知A′B′=AB=4，∠A′B′C=∠ABC=60°，
∴A′B′=B′C，且∠A′B′C=60°，
∴△A′B′C为等边三角形，
∴△A′B′C的周长=3A′B′=12．
故答案为：12．
点评： 此题考查的是平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
11．如图，在直角坐标系中，点A〔﹣3，﹣1〕，点B〔﹣2，1〕，平移线段AB，使点A落在A1〔0，﹣1〕，点B落在点B1，那么点B1的坐标为 〔1，1〕 ．
考点： 坐标与图形变化-平移．
分析： 根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标即可．
解答： 解：通过平移线段AB，点A〔﹣3，﹣1〕落在〔0，﹣1〕，
即线段AB沿x轴向右移动了3格．
如图，点B1的坐标为〔1，1〕．
故答案为：〔1，1〕．
点评： 此题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构准确找出点的位置是解题的关键．
12如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为〔1，3〕，将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，那么点A的对应点A′的坐标为 〔﹣1，3〕 ．
考点： 坐标与图形变化-平移．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据点向左平移a个单位，坐标P〔x，y〕⇒P〔x﹣a，y〕进行计算即可．
解答： 解：∵点A坐标为〔1，3〕，
∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为〔1﹣2，3〕，
即〔﹣1，3〕，
故答案为：〔﹣1，3〕．
点评： 此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13在平面直角坐标系中，将点A〔﹣1，2〕向右平移3个单位长度得到点B，那么点B关于x轴的对称点C的坐标是 〔2，﹣2〕 ．
考点： 坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
专题： 几何图形问题．
分析： 首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
解答： 解：点A〔﹣1，2〕向右平移3个单位长度得到的B的坐标为〔﹣1+3，2〕，即〔2，2〕，
那么点B关于x轴的对称点C的坐标是〔2，﹣2〕，
故答案为：〔2，﹣2〕．
点评： 此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
14如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．沿对角线AC剪开，将△ABC向右平移至△A1BC1位置，成图〔2〕的形状，假设重叠局部的面积为3cm2，那么平移的距离AA1=2 cm．
考点： 平移的性质．
专题： 压轴题．
分析： 首先假设AA1=x，DA1=4﹣x，再利用平移的性质以及相似三角形的性质得出，求出x的值即可．
解答： 解：∵矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．沿对角线AC剪开，将△ABC向右平移至△A1BC1位置，成图〔2〕的形状，重叠局部的面积为3cm2，
设AA1=x，∴DA1=4﹣x，
∴NA1×DA1=3，
∴NA1=，
∵NA1∥CD，
∴，
∴，
解得：x=2
那么平移的距离AA1=2，
故答案为：2．
点评： 此题主要考查了平移的性质以及相似三角形的性质，根据题意得出是解决问题的关键．
15如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，那么四边形ABFD的周长为 10 ．
考点： 平移的性质．
分析： 根据平移的根本性质解答即可．
解答： 解：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
那么AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=10，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故答案为：10．
点评： 此题考查平移的根本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
16．如图，A〔﹣3，1〕，B〔﹣1，﹣1〕，C〔﹣2，0〕，曲线ACB是以C为对称中心的中心对称图形，把此曲线沿x轴正方向平移，当点C运动到C′〔2，0〕时，曲线ACB描过的面积为 8 ．
考点： 平移的性质；坐标与图形性质．
专题： 计算题．
分析： 连接AB和A′B′，根据平移的性质可知，平行四边形ABB′A′的面积即是曲线ACB描过的面积，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
解答： 解：连接AB和A′B′，过点B作BD⊥AA′，如以下列图所示：
根据平移的性质可知，平行四边形ABB′A′的面积即是曲线ACB描过的面积，
∵S▱ABB′A′=AA′×BD=CC′×BD=4×2=8．
∴曲线ACB描过的面积为8．
故答案为：8．
点评： 此题考查平移的性质及坐标与图形的性质，难度适中，解题关键是将曲线ACB描过的面积转化为求平行四边形ABB′A′的面积．
三．解答题〔共7小题〕
17．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
〔1〕B点关于y轴的对称点坐标为 〔﹣3，2〕 ；
〔2〕将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
〔3〕在〔2〕的条件下，A1的坐标为 〔﹣2，3〕 ．
考点： 作图-平移变换；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
专题： 作图题．
分析： 〔1〕根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；
〔2〕根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；
〔3〕根据平面直角坐标系写出坐标即可．
解答： 解：〔1〕B点关于y轴的对称点坐标为〔﹣3，2〕；
〔2〕△A1O1B1如下列图；
〔3〕A1的坐标为〔﹣2，3〕．
故答案为：〔1〕〔﹣3，2〕；〔3〕〔﹣2，3〕．
点评： 此题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18．如图，△ABC中，AB=BC，将△ABC沿直线BC平移到△DCE〔使B与C重合〕，连接BD，求∠BDE的度数．
考点： 平移的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据平移的性质得AB=DC，AB∥CD，AC∥DE，利用AB=BC可判断四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质得AC⊥BD，而AC∥DE，所以BD⊥DE，那么∠BDE=90°．
解答： 解：∵△ABC沿直线BC平移到△DCE〔使B与C重合〕，
∴AB=DC，AB∥CD，AC∥DE，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
而AC∥DE，
∴BD⊥DE，
∴∠BDE=90°．
点评： 此题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了菱形的判定与性质．
19如图，在方格纸中〔小正方形的边长为1〕，△ABC的三个顶点均为格点，将△ABC沿x轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系〔O是坐标原点〕，解答以下问题：
〔1〕画出平移后的△A′B′C′，并直接写出点A′、B′、C′的坐标；
〔2〕求出在整个平移过程中，△ABC扫过的面积．
考点： 作图-平移变换．
专题： 作图题．
分析： 〔1〕根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出坐标即可；
〔2〕观图形可得△ABC扫过的面积为四边形AA′B′B的面积与△ABC的面积的和，然后列式进行计算即可得解．
解答： 解：〔1〕平移后的△A′B′C′如下列图；
点A′、B′、C′的坐标分别为〔﹣1，5〕、〔﹣4，0〕、〔﹣1，0〕；
〔2〕由平移的性质可知，四边形AA′B′B是平行四边形，
∴△ABC扫过的面积=S四边形AA'B'B+S△ABC=B′B•AC+BC•AC=5×5+×3×5=25+=．
点评： 此题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．如图，△ABC的面积为16，BC=8．现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位到△DEF的位置．
〔1〕当a=4时，求△ABC所扫过的面积；
〔2〕连接AE、AD，设AB=5，当△ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值．
考点： 平移的性质．
专题： 计算题．
分析： 〔1〕要求△ABC所扫过的面积，即求梯形ABFD的面积，根据题意，可得AD=4，BF=2×8﹣4=12，所以重点是求该梯形的高，根据直角三角形的面积公式即可求解；
〔2〕此题注意分两种情况进行讨论：
①当AD=DE时，根据平移的性质，那么AD=DE=AB=5；
②当AE=DE时，根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算．
解答： 解：〔1〕△ABC所扫过面积即梯形ABFD的面积，作AH⊥BC于H，
∴S△ABC=16，BC•AH=16，AH===4，
∴S梯形ABFD=×〔AD+BF〕×AH
=〔4+12〕×4
=32；
〔2〕①当AD=DE时，a=5；
②当AE=DE时，取BE中点M，那么AM⊥BC，
∵S△ABC=16，
∴BC•AM=16，
∴×8×AM=16，
∴AM=4；
在Rt△AMB中，
BM===3，
此时，a=BE=6．
综上，a=5，6．
点评： 熟悉平移的性质以及等腰三角形的性质和直角三角形的性质．考查了学生综合运用数学的能力．
21．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
〔1〕证明△A′AD′≌△CC′B；
〔2〕假设∠ACB=30°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．
考点： 平移的性质；全等三角形的判定；菱形的判定．
专题： 几何综合题．
分析： 〔1〕根据利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；
〔2〕由可推出四边形ABC′D′是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC′D′是菱形，由可得到BC′=AC，AB=AC，从而得到AB=BC′，所以四边形ABC′D′是菱形．
解答： 〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，
△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴∠D′A′C′=∠BCA．
∴△A′AD′≌△CC′B．
〔2〕解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴C′D′=CD=AB．
由〔1〕知AD′=C′B．
∴四边形ABC′D′是平行四边形．
在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，
∴BC′=AC．
而∠ACB=30°，
∴AB=AC．
∴AB=BC′．
∴四边形ABC′D′是菱形．
点评： 此题即考查了全等的判定及菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握．考查了学生综合运用数学的能力．
22．如图，在三角形ABC中，AC=BC，假设将△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，得到△CEF，连接AE．
〔1〕试猜想，AE与CF有何位置上的关系并对你的猜想给予证明；
〔2〕假设BC=10，tan∠ACB=时，求AB的长．
考点： 平移的性质；勾股定理；菱形的判定．
专题： 探究型．
分析： 〔1〕由平移可得，∠ACB=∠FEC，AC=CE=EF=AF，那么四边形ACEF是菱形，由邻边相等可得到是菱形，所以对角线互相垂直；
〔2〕作出BC边上高AD，利用AC，及tan∠ACB的值，求得AD，CD长，进而得到BD长，利用勾股定理求解即可．
解答： 解：〔1〕AE⊥CF
证明：如图，连接AF，
∵AC=BC，
又∵△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，
∴AC=CE=EF=AF．
∴四边形ACEF是菱形．
∴AE⊥CF．
〔2〕如图，作AD⊥BC于D．
∵tan∠ACB=，
设AD=3KDC=4K，
在Rt△ADC中，AC=10，
∵AD2+DC2=AC2
∴K=2．
∴AD=6cm，DC=8cm．
∴BD=2cm．
在Rt△ADB中，根据勾股定理：AB=2cm．
点评： 平移前后对应线段，对应角相等，作高构造已给三角函数所在的直角三角形是常用的辅助线作法．
23．如图，△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
〔1〕求四边形CEFB的面积；
〔2〕试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
〔3〕假设∠BEC=15°，求AC的长．
考点： 平移的性质；全等三角形的判定；菱形的判定．
专题： 综合题．
分析： 〔1〕根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；
〔2〕由可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；
〔3〕作BD⊥AC于D，结合三角形的面积求解．
解答： 解：〔1〕由平移的性质得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四边形AFBC为平行四边形
S△EFA=S△BAF=S△ABC=3
∴四边形EFBC的面积为9；
〔2〕BE⊥AF
证明：由〔1〕知四边形AFBC为平行四边形
∴BF∥AC，且BF=AC
又∵AE=CA
∴四边形EFBA为平行四边形又AB=AC
∴AB=AE
∴平行四边形EFBA为菱形
∴BE⊥AF；
〔3〕如上图，作BD⊥AC于D
∵∠BEC=15°，AE=AB
∴∠EBA=∠BEC=15°
∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中，AB=2BD
设BD=x，那么AC=AB=2x
∵S△ABC=3，且S△ABC=AC•BD=•2x•x=x2
∴x2=3
∵x为正数
∴x=
∴AC=2．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．
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