2022年湖南省益阳中考数学试题(解析版).docx

益阳市2022年普通初中毕业学业考试试卷
数学
一、选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔2022·益阳〕的相反数是
A．B．C．D．
答案：C
考点：相反数的概念。
解析：的相反数是，注意与倒数的区别。
2．〔2022·益阳〕以下运算正确的选项是
A．B．C．D．
答案：B
考点：考查单项式的四那么运算。
解析：A、把加法误算成乘法，错误；C、正确答案为；D、不是同类项不能相加减，只有B、正确。
3．〔2022·益阳〕不等式组的解集在数轴上表示正确的选项是
A B C D
答案：A
考点：考查不等式组的解法。
解析：不等式组化为：，解为，应选A。
4．〔2022·益阳〕以下判断错误的选项是
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
答案：D
考点：考查特殊四边形的判定。
解析：两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形才是正方形，故D是错误的。
5．〔2022·益阳〕小军为了了解本校运发动百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运发动的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为
A．67、68B．67、67C．68、68D．68、67
答案：C
考点：考查众数和中位数。
解析：将数据由小到大排列：66、67、67、68、68、68、69、71，显然众数是68，中位数也是68，应选C。
6．〔2022·益阳〕将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是
A．360° B．540° C．720° D．900°
答案：D
考点：多边形的内角和，图形的分割，动手能力。
解析：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边〔含三角形〕设为M和N，有以下三种情况，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N=540°+180°=720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N=180°+180°=360°．
应选D．
7．〔2022·益阳〕关于抛物线，以下说法错误的选项是
A．开口向上B．与轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线D．当时，随的增大而减小
答案：D
考点：二次函数的图象及其性质。
解析：因为a＝1＞0，开口向上，故A正确；△＝0，故B也正确；对称轴为，C正确；
当x＞1时，随的增大而增大，故D是错误的。
8．〔2022·益阳〕小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠〔为水平线〕，测角仪的高度为1米，那么旗杆PA的高度为
A．B．
C．D．
答案：A
考点：考查三角函数定义的应用。
解析：依题意，＝PA，设PA＝x，那么PC＝x－1
在Rt△PC中，，解得：，应选A。
二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
9．〔2022·益阳〕将正比例函数的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第象限．
答案：四
考点：考查函数图象的平移，一次函数的图象。
解析：正比例函数的图象向上平移3个单位后变为：，图象经过一、二、三象限，不经过第四象限。
10．〔2022·益阳〕某学习小组为了探究函数的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的=．

…
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
…

…
2
0.75
0
–0.25
0
–0.25
0

2
…
答案：0.75
考点：列表法，实数运算。
解析：x＝1.5代入求解可得：y＝0.75，或者x＝1.5时y的值与x＝－1.5时y的值是相同的。
11．〔2022·益阳〕我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标．
答案：答案不唯一，如：(-3,1)
考点：开放性试题。
解析：答案不唯一，如：(-3,1)，〔1，－3〕都可以。
12．〔2022·益阳〕以下列图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为．〔结果保存〕
答案：
考点：考查三视图，圆柱体的侧面展开图。
解析：由三视图可知，圆柱体的高为6，底面半径为2，圆柱体的侧面展开图为矩形，它的面积为：
S＝＝
13．〔2022·益阳〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，假设∠P=40°，那么∠D的度数为．
答案：115°
考点：圆的切线性质，圆内接四边形性质定理，等腰三角形性质。
解析：连结OC，因为PC为切线，所以，OC⊥PC，所以，∠BOC＝90°－40°＝50°，
又OB＝OC，所以，∠OBC＝〔180°－50°〕＝65°，
又ABCD为圆内接四边形，所以，∠D＝180°－65°＝115°
14．〔2022·益阳〕小李用围棋子排成以下一组有规律的图案，其中第１个图案有１枚棋子，第２个图案有３枚棋子，第３个图案有４枚棋子，第４个图案有６枚棋子，…，那么第９个图案的棋子数是枚．
答案：13
考点：规律探索。
解析：如下表，棋子按照顺序，中间缺少的数字是2、5、8、11等，因此，第9个图案棋子数为13。
序号
1

2
3

4
5

6
7

8
9
棋子
1

3
4

6
7

9
10

12
13

2

5

8

11

三、解答题〔本大题共3小题，每题8分，共24分〕
15．〔2022·益阳〕计算：．
考点：实数的运算。
解析：原式===．…………………………………8分
16．〔2022·益阳〕先化简，再求值：，其中．
考点：分式的化简，求值。
解析：原式． …………………………………6分
当时，原式=4． ………………………………………………8分
17．〔2022·益阳〕如图，在ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE.求证：AF=CE.
第17题图

考点：三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定。
解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADB=∠CBD． …………………………………2分
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB，AE∥CF． …………4分
∴≌．………………………6分
∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF=CE． ………………………………………………………8分
四、解答题〔本大题共3小题，每题10分，共30分〕
18．〔2022·益阳〕在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班局部女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成以下问题：
〔1〕频数分布表中a =，b=，并将统计图补充完整；
〔2〕如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人
〔3〕第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，那么所选两人正好都是甲班学生的概率是多少
分 组
频数
频率
第一组〔〕
3
0.15
第二组〔〕
6
a
第三组〔〕
7
0.35
第四组〔〕
b
0.20
考点：统计知识，会从统计图表中获取信息，解决问题；考查概率，会用列表法或树形图求概率。
解析：解:〔1〕a=0.3，b=4 ………………………………………………………2分
…………………………………4分
〔2〕〔人〕 …………………………………7分
……………………………………………………………10分
19．〔2022·益阳〕某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．
〔1〕该班男生和女生各有多少人
〔2〕某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生
考点：考查二元一次方程组，不等式，应用数学知识解决问题的能力。
解析：〔1〕设该班男生有人，女生有人，
依题意得：，解得．
∴该班男生有27人，女生有15人．…………………………………5分
〔2〕设招录的男生为名，那么招录的女生为名，
依题意得：，解之得，，
答：工厂在该班至少要招录22名男生．…………………………10分
20．〔2022·益阳〕在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁〞，建立方程模型求出x
作AD⊥BC于D，设BD = x，用含x的代数式表示CD
利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积

考点：考查勾股定理，三角形的面积的求法。
解析：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设，∴． ……………………………………………2分
由勾股定理得：，
，
∴，
解之得：．……………………………… 7分
∴． ………………………………………8分
∴．…………10分
五、解答题〔此题总分值12分〕
21．〔2022·益阳〕如图，顶点为的抛物线经过坐标原点O，与轴交于点B．
〔1〕求抛物线对应的二次函数的表达式；
〔2〕过B作OA的平行线交轴于点C，交抛物线于点，求证：△OCD≌△OAB；
〔3〕在轴上找一点，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。
解析：〔1〕∵抛物线顶点为，
设抛物线对应的二次函数的表达式为，
将原点坐标〔0，0〕代入表达式，得．
∴抛物线对应的二次函数的表达式为：． …………3分
〔2〕将代入中，得B点坐标为：，
设直线OA对应的一次函数的表达式为，
将代入表达式中，得，
∴直线OA对应的一次函数的表达式为．
∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为，
将B代入中，得，
∴直线BD对应的一次函数的表达式为．
由得交点D的坐标为，
将代入中，得C点的坐标为，
由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, ．
在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD．……………………8分
〔3〕点关于轴的对称点的坐标为，那么与轴的交点即为点，它使得△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥，垂足为Q，那么PO∥DQ．∴∽．
∴,即，∴，
∴点的坐标为．………………………………………………………12分
六、解答题〔此题总分值14分〕
22．〔2022·益阳〕如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形〔矩形的四个顶点均在△ACD的边上〕．
〔1〕计算矩形EFGH的面积；
〔2〕将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠局部的面积为时，求矩形平移的距离；
〔3〕如图③，将〔2〕中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．
考点：综合应用数学知识解决问题的能力，考查三角形的中位线定理，矩形的面积，三角形的面积公式，勾股定理。
解析：〔1〕如22题解图1，在中，
∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,
22题解图1

又∵D是AB的中点，∴AD=1，．
又∵EF是的中位线，∴，
在中，AD=CD,∠A=60°,
∴∠ADC=60°．
在中,60°，
∴矩形EFGH的面积． ……………………………3分
〔2〕如22题解图2，设矩形移动的距
离为那么，
22题解图2

当矩形与△CBD重叠局部为三角形时，
那么，
，∴．〔舍去〕．
当矩形与△CBD重叠局部为直角梯形时，那么，
重叠局部的面积S=, ∴．
即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠局部的面积是．…………8分
〔3〕如22题解图3，作于．
设，那么，又，．
在Rt△H2QG1中，，
解之得〔负的舍去〕．
∴．……………………………………14分
22题解图3