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课时分层作业(三) 组合
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．以下四个命题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )
A．4 B．8
C．28 D．64
C [由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C＝28条公路．]
3．组合数C(n>r≥1，n，r∈N)恒等于( )
A．C B．(n＋1)(r＋1)C
C．nrC D．C
D [C＝·＝＝C.]
4．若A＝12C，则n等于( )
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
A [A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1)．由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.]
5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )
A．C种 B．A种
C．AA种 D．CC种
D [每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．]
二、填空题
6．下列等式中，正确的有________(填序号)．
①C＝；②C＝C；③C＝C；
④C＝C.
①②③ [①②显然正确．
对于③，C＝＝＝C，故③正确，④错误．]
7．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．
252 [所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有CA＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.]
8．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商．则m∶n＝________.
1∶2 [∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2.]
三、解答题
9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C＝＝20个．
10．(1)求式子－＝中的x；
(2)解不等式C>3C.
[解] (1)原式可化为：－＝，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，
∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．
(2)由>，
得>，∴m>27－3m，
∴m>＝7－.
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，
即7≤m≤8，∴m＝7或8.
[能力提升练]
1．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同选法的种数为( )
A．16 B．15
C．17 D．18
A [按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)，故选A.]
2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )
A．140种 B．84种
C．70种 D．35种
C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C·C＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C·C＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]
3．若C∶C∶C＝3∶4∶5，则n－m＝________.
35 [由题意知：
由组合数公式得
解得n＝62，m＝27.
n－m＝62－27＝35.]
4．设x∈N*，则C＋C的值为________．
4,7或11 [由题意，得
解得2≤x≤4.
∵x∈N*，
∴x＝2，x＝3或x＝4.
当x＝2时，原式值为4；当x＝3时，原式值为7；当x＝4时，原式值为11.
∴所求值为4,7或11.]
5．规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求C的值；
(2)组合数的两个性质：①C＝C；
②C＋C＝C是否都能推广到C(x∈R，m是正整数)的情形；若能推广，请写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．
[解] (1)C＝
＝－C＝－11 628.
(2)性质①不能推广，例如当x＝时，
有意义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C，x∈R，m为正整数．
证明：当m＝1时，
有C＋C＝x＋1＝C；
当x≥2时，
C＋C
＝＋
＝
＝
＝C.
综上，性质②的推广得证．
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