2022高二上学期期中考试理科数学试题4.docx

2022 高二(上)期中试题
数 学(理科)
本卷须知：
1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两局部．本试卷总分值为100分，考试时间为100分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．
一、填空题(本大题共14小题，每题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
1．空间一点A的坐标是(5， 2， －6)，P点在x轴上，假设PA＝7，那么P点的坐标是．
2．命题“∃x∈[－1，1]，x2－3x＋1＜0〞的否认是．
3．圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1和圆C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的位置关系是．
4．点A(－1， 0)，B(1， 0) ，假设点C满足条件AC＝2BC，那么点C的轨迹方程是．
5．过点(2，－2)的抛物线的标准方程是．
6．假设点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，那么t的取值范围是．
7．曲线C：y2－4x2 n＝0，那么“n为正奇数〞是“曲线C关于y轴对称〞的条件(填“充分不必要〞，“必要不充分〞，“充要〞，“既不充分又不必要〞中的一个)．
8．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，那么△PF1F2的面积是．
9．双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y＝－1，那么其渐近线方程为．
10．圆心在y轴上，且与直线2x＋3y－10＝0相切于点A(2，2)的圆的方程是．
11．假设“(x－a)(x－a－1)＜0〞是“1＜2x＜16〞的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是．
12．直线y＝x＋b与曲线x＋＝0恰有一个公共点，那么b的取值范围是．
13．曲线＝(2－x) 的焦点是双曲线C的焦点，点(3，－)在C上，那么C的方程是．
14．圆 (x－a)2＋(y－b)2＝4过坐标原点，那么a＋b的最大值是．
二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题总分值8分)写出命题“假设直线l的斜率为－1，那么直线l在两坐标轴上截距相等〞的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题
16．(本小题总分值9分)某企业方案生产A，B两种产品．生产每吨A产品需3名工人，耗电4 kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5 kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元．
(1)用x，y表示z的关系式是；
(2)该企业有工人300名，供电局只能供电200 kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元
17．(本小题总分值10分)直线l：2x＋y＋4＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点分别为A，B．
(1)求A，B的坐标；
(2)点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标．
18．(本小题总分值10分)设直线l的方程是x＋my＋2＝0，圆O的方程是x2 ＋y2＝r2 (r >0)．
(1)当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
(2)r＝4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．
19．(本小题总分值10分)双曲线C1：－8y2＝1(a＞0)的离心率是，抛物线C2：y2＝2px的准线过C1的左焦点．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，4)是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．
20．(本小题总分值11分)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点．
(1) 求椭圆方程；
(2)设Q(0，－m)(m＞0)是y轴上定点，假设当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值．
高二〔文〕数学参考答案
一、填空题(每题3分，共42分)
1．(8，0，0)或(2，0，0)
2．∀x∈[－1，1]，x2－3x＋1≥0
3．相交
4．3x2＋3y2－10x＋3=0
5．y2＝2x或x2＝－2y
6．(，＋∞)
7．充分不必要
8．24
9．y＝±x
10．x2＋(y＋1)2=13
11．[0，3]
12．{b|－1≤b<1，或b=}
13．3x2－y2＝1
14．2
二、解答题(本大题有6小题，共58分)
15．逆命题
假设直线l在两坐标轴上截距相等，那么直线l的斜率为－1；该命题是假命题；……3分
否命题
假设直线l的斜率不为－1，那么直线l在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命题；……6分
逆否命题
假设直线l在两坐标轴上截距不相等，那么直线l的斜率为不－1；该命题是真命题．……8分
(说明，对一个得3分，对两个得6分，对三个得8分)
16．(1)z＝7x＋12 y；……2分
(2)根据题意得……4分
由得……5分
记点A(20，24)．
(作出可行域)如右图，当斜率为－的直线经过点A(20，24)时，在y轴上的截距最大．……8分
此时，z取得最大值，为(万元)．
所以，x，y分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是万元．……………………………9分
17．(1)由可得两交点的坐标不妨分别为A (－，)，B (－3，2)．……3分
(2)①当DA＝DB时，易得直线l的斜率为－2，线段AB的垂直平分线的斜率为，中点为 (－，)，
所以线段AB的垂直平分线的方程为x－2y＋5＝0．
所以点D的坐标为(－5，0)．……………………………………………………………………………6分
②当DA＝BA时，以A为圆心，AB为半径的圆A的方程为(x＋) 2＋(y－) 2＝．
圆A与x轴的交点为(－＋，0)和(－－，0)．………………………………………9分
③当BA＝BD时，以B为圆心，AB为半径的圆与x轴无交点．……………………………………10分
所以，点D的坐标为 (－5，0)或(－＋，0)或(－－，0)．
18．(1)直线l过定点(－2，０)，当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点(－2，０)在圆O内或在圆O上，……………………………………………………………………………………2分
所以r的取值范围是[，＋∞)；………………………………………………………………………5分
(其他解法，类比赋分，如≤r恒成立，等)
(2)设坐标为(－2，０) 的点为点A，
当直线l与OA垂直时，直线l被圆O截得的弦长为4；………………………………………………7分
x轴被圆O截得的弦长为8；………………………………………………8分
直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[4，8)．………………………………………………………10分
(其他解法，类比赋分，如弦长2取值范围是[4，8)，等)
19． (1)因为双曲线C1：－8y2＝1(a＞0)的离心率是，
所以a2＝，c2＝， …………………………………………………………2分
所以抛物线C2：y2＝2px的准线方程是x＝－，
所以p＝1，抛物线C2的方程是y2＝2x． ………………………………………………4分
(2)不妨设C(8，4)，
(第一类解法)
设AC的斜率为k，那么直线AC的方程是y－4＝k(x－8)，
x＝代入并整理，得ky2－2y＋8－8k＝0，
方程的两根是4和－4，所以y1＝－4，x1＝，
A点的坐标是〔，－4〕，
同理可得B点的坐标〔2(2＋k)2，－2k－4〕，　　 ………………………………………………7分
直线AB的斜率KAB＝＝，
直线AB的方程是y－(－2k－4)＝[x－2(2＋k)2]，
即y＝(x－10)－4，………………………………………………9分
直线AB过定点，定点坐标是〔10，－4〕．　………………………………………………10分
(第二类解法)
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在C2上，
所以x1＝，x2＝．显然，y1≠4， y2≠4，y1＋y2≠0．
因为CA⊥CB，所以(－8)(－8)＋(y1－4)( (y2－4)＝0．
所以(y1＋4)(y2＋4)＝－4，y1y2＝－4(y1＋y2)－20 (*)， …………………………………6分
直线AB的方程是y－y1＝(x－)，
解法一直线AB的方程即y＝x＋，
将(*)式代入，得y＝(x－10)－4，………………………………………………9分
所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． ………………………………10分
解法二由(*)得y2＝－．
把y2＝－代入直线方程，整理得y12(－y－4)＋y1(2x－10)＋8 x＋20 y＝0．…………8分
由得
所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． …………………………10分
解法三由(*)式得y2＝－．
可得
进而得A(18，－6)，B(2，－2)，
进而得直线AB：x＋4y＋6＝0．(其它方程类比赋分) ………………………………………7分
由(*)式得还可得
进而得A(，－3)，B(32，－8)，
进而得另一直线AB：2x＋11y＋24＝0．………………………………………………8分
由得
因为适合直线AB的方程(y＝x＋)，……………………………………9分
所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． ……………………………………10分
20．(1)由题意得解得
所以，所求方程为＋=1．………………………………………………………………………4分
(2) PQ2=x02＋(y0＋m)2=－(y0－3m)2＋4m2＋4，………………………………………………………6分
①当0<m≤时，PQmax=2，令2=，得m=；………………………………8分
②当m>时，PQmax=m＋，令m＋=，得m=－(舍去)；………………… 10分
所以m的值是．………………………………………………………………………………………11分