2022-2022学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末综合检测三新人教B版选修2-1.doc

章末综合检测(三)(时间：120分钟，总分值：150分)一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1以下说法中不正确的选项是()A平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量解析：选D只有当a、b不共线且a，b时，D才正确2假设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1，0，1)，n(2，0，0)Ba(1，3，5)，n(1，0，1)Ca(0，2，1)，n(1，0，1)Da(1，1，3)，n(0，3，1)解析：选D假设l，那么an0，只有选项D中an0.3假设向量a(1，2)，b(2，1，2)，a，b夹角的余弦值为，那么()A2B2C2或 D2或解析：选Ccosa，b，所以2或.4A(1，2，1)，B(1，3，4)，C(1，1，1)，2，那么|为()A BC D解析：选A设P(x，y，z)，由2得：(x1，y2，z1)2(1x，3y，4z)，所以x，y，z3，即P，所以，所以|.应选A5两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n(1，0，1)，那么两平面间的距离是()A BC D3解析：选B两平面的一个单位法向量，故两平面间的距离d|.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，假设E为A1C1的中点，那么与直线CE垂直的直线是()AAC BBDCA1D DA1A解析：选B以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为1，那么A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，1)显然00，所以，即CEBD.7a，b是两条异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，那么直线a，b所成的角为()A30 B60C90 D45解析：选B因为，所以()21.cos，60，应选B8将图中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图)，那么在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直解析：选C在题图中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，那么ADBC，翻折后如题图，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC.9对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：623，那么()A四点O，A，B，C必共面B四点P，A，B，C必共面C四点O，P，B，C必共面D五点O，P，A，B，C必共面解析：选B由得，而1，所以四点P，A，B，C共面10.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，假设点P满足，那么|2的值为()A B3C D解析：选D由题可知|1，|1，|.，45，45，60.所以|2()222221111.11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，那么直线EF与BC1所成的角是()A45B60C90D120解析：选B以点B为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，设各棱长为2，那么E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2)，B(0，0，0)那么(0，1，1)，(2，0，2)，所以cos，所以，60，所以直线EF与BC1所成的角为60.12正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，那么AE与平面SBC所成的角的余弦值为()A BC D解析：选B设AE与平面SBC所成的角为，以底面中心O为原点，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，那么A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，S(0，0，1)，E，所以(1，1，0)，(0，1，1)，设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，那么即令x1，所以n(1，1，1)，因为cos，所以cos .应选B二、填空题：此题共4小题，每题5分13假设a(2，3，5)，b(3，1，4)，那么|a2b|_解析：因为a2b(8，5，13)，所以|a2b| .答案：14a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，假设a，b，c共面，那么_解析：易知a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，那么必存在实数x，y，使得cxayb，即解得答案：15在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-ABCD中，AB1，AD2，AA3，BAD90，BAADAA60，那么AC的长为_解析：因为，所以2|2|2|22 2 2 149212cos 90213cos 60223cos 6023，即|.故AC的长为.答案：16.如图，二面角l的平面角为，ABBC，BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，假设ABBCCD1，那么AD的长为_解析：，所以22222221112cos()32cos .所以|，即AD的长为.答案：三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题总分值10分)设a(1，5，1)，b(2，3，5)(1)当(ab)(a3b)时，求的值；(2)当(a3b)(ab)时，求的值解：(1)因为a(1，5，1)，b(2，3，5)，所以a3b(1，5，1)3(2，3，5)(1，5，1)(6，9，15)(7，4，16)ab(1，5，1)(2，3，5)(，5，)(2，3，5)(2，53，5)因为(ab)(a3b)，所以，解得.(2)由(a3b)(ab)(7，4，16)(2，53，5)07(2)4(53)16(5)0，解得.18(本小题总分值12分)如下图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60，N是CM的中点，设a，b，c，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长解：()().所以abc，|22(a2b2c22ab2ac2bc)，所以|，即BN的长为.19. (本小题总分值12分)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，CPm，试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60.解：建立如下图的空间直角坐标系，那么A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)那么(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，m)，(1，1，0)又由0，0知，那么为平面BB1D1D的一个法向量设AP与平面BB1D1D所成的角为，那么sin |cos，|.依题意得sin 60，解得m.故当m时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60.20. (本小题总分值12分)如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解：(1)证明：连接OC，因为BODO，ABAD，所以AOBD.因为BODO，BCCD，所以COBD.在AOC中，由可得AO1，CO.而AC2，所以AO2CO2AC2，所以AOC90，即AOOC.因为BDOCO，所以AO平面BCD.(2)以O为原点，如图建立空间直角坐标系，那么B(1，0，0)，D(1，0，0)，C(0，0)，A(0，0，1)，(1，0，1)，(1，0)，所以cos，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.21. (本小题总分值12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值解：(1)证明：由得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz.那么H(0，0，0)，A(3，1，0)，B(0，5，0)，C(3，1，0)，D(0，0，3)，(3，4，0)，(6，0，0)，(3，1，3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，那么即所以可取m(4，3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，那么即所以可取n(0，3，1)于是cosm，n，sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.22(本小题总分值12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)假设AD，求二面角AECD的平面角的余弦值解：(1)如图，以A为坐标原点，射线AB、AD，AP分别为x轴、y轴，z轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.设D(0，a，0)，那么B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E.因此，(0，a，0)，(，a，)那么0，0，所以AE平面PBC.又由ADBC知AD平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为|.(2)设平面AEC的法向量为n1(x1，y1，z1)，因为，(，0)，所以令x11，得y1，z11，所以n1(1，1)设平面EDC的法向量为n2(x2，y2，z2)，因为，(，0，0)，所以令z2，得y21.所以n2(0，1，)故cosn1，n2.所以二面角AECD的平面角的余弦值为.