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2017年上海市奉贤区中考数学一模试卷

一、选择题
1．（6分）下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（　　）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2
2．（6分）如果在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式正确的是（　　）
A．tanB= B．cotB= C．sinB= D．cosB=
3．（6分）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
4．（6分）对于非零向量、、下列条件中，不能判定与是平行向量的是（　　）
A．∥，∥ B．+3=，=3 C．=﹣3 D．||=3||
5．（6分）在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是（　　）
A．= B．= C．∠A=∠E D．∠B=∠D
6．（6分）一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣t2+t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（　　）
A．1米 B．1.5米 C．1.6米 D．1.8米

二、填空题
7．（4分）如果线段a、b、c、d满足==，那么=　　．
8．（4分）计算：（2+6）﹣3=　　．
9．（4分）已知线段a=3，b=6，那么线段a、b的比例中项等于　　．
10．（4分）用一根长为8米的木条，做一个矩形的窗框．如果这个矩形窗框宽为x米，那么这个窗户的面积y（米2）与x（米）之间的函数关系式为　　（不写定义域）．
11．（4分）如果二次函数y=ax2（a≠0）的图象开口向下，那么a的值可能是　　（只需写一个）．
12．（4分）如果二次函数y=x2﹣mx+m+1的图象经过原点，那么m的值是　　．
13．（4分）如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是　　．
14．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果=，AE=4，那么当EC的长是　　时，DE∥BC．
15．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB=6，BC=10，那么的值是　　．

16．（4分）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是　　．
17．（4分）如图，如果在坡度i=1：2.4 的斜坡上两棵树间的水平距离AC为3米，那么两树间的坡面距离AB是　　米．

18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点P是边AD上的一点，联结BP，将△ABP沿着BP所在直线翻折得到△EBP，点A落在点E处，边BE与边CD相交于点G，如果CG=2DG，那么DP的长是　　．

三、解答题
19．计算：．
20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
2
3
4
…
y
…
5
2
2
5
10
…
（1）根据上表填空：
①这个抛物线的对称轴是　　，抛物线一定会经过点（﹣2，　　 ）；
②抛物线在对称轴右侧部分是　　（填“上升”或“下降”）；
（2）如果将这个抛物线y=ax2+bx+c向上平移使它经过点（0，5），求平移后的抛物线表达式．
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，延长AD至点E，使DE=AD，过点A作AF∥BC，交EC的延长线于点F．
（1）设=，=，用、的线性组合表示；
（2）求的值．

22．如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E、D，现测得DE=20厘米，DC=40厘米，∠AED=58°，∠ADE=76°．
（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面MN之间的距离）（精确到1厘米）
（2）求椅子两脚B、C之间的距离（精确到1厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）

23．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：
（1）△ABF∽△BED；
（2）=．

24．如图，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D，联结AC、BC、DB、DC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）求证：△ACO∽△DBC；
（3）如果点E在x轴上，且在点B的右侧，∠BCE=∠ACO，求点E的坐标．

25．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE=∠BAC，点F在线段AE上，∠ACF=∠B．设BD=x．

（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；
（2）若y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长．

2017年上海市奉贤区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题
1．（6分）（2017•奉贤区一模）下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（　　）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2
【解答】解：
∵抛物线顶点坐标是（﹣2，0），
∴可设其解析式为y=a（x+2）2，
∴只有选项C符合，
故选C．

2．（6分）（2017•奉贤区一模）如果在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式正确的是（　　）
A．tanB= B．cotB= C．sinB= D．cosB=
【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=3，
∴AB==，
∴tanB==，
cotB==，
sinB==，
cosB==，
故选：A/．

3．（6分）（2017•奉贤区一模）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．
故选：C．

4．（6分）（2017•奉贤区一模）对于非零向量、、下列条件中，不能判定与是平行向量的是（　　）
A．∥，∥ B．+3=，=3 C．=﹣3 D．||=3||
【解答】解：A、由∥，∥推知非零向量、、的方向相同，则∥，故本选项错误；
B、由+3=，=3推知与方向相反，与方向相同，则非零向量与的方向相反，所以∥，故本选项错误；
C、由=﹣3推知非零向量与的方向相反，则∥，故本选项错误；
D、由||=3||不能确定非零向量、的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确．
故选D．

5．（6分）（2017•奉贤区一模）在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是（　　）
A．= B．= C．∠A=∠E D．∠B=∠D
【解答】解：在△ABC和△DEF中，
∵==，
∴△ABC∽△DEF，
故选B．

6．（6分）（2017•奉贤区一模）一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣t2+t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（　　）
A．1米 B．1.5米 C．1.6米 D．1.8米
【解答】解：h=﹣t2+t+1=﹣（t2﹣16t+64﹣64）+1=﹣（t﹣8）2++1=﹣（t﹣8）2+1.8．
故选：D．

二、填空题
7．（4分）（2017•阳谷县一模）如果线段a、b、c、d满足==，那么=　　．
【解答】解：∵==，
∴由等比性质，得=．
故答案为：．

8．（4分）（2017•奉贤区一模）计算：（2+6）﹣3=　﹣2+3　．
【解答】解：原式=×2+×6﹣3，
=+3﹣3，
=﹣2+3，
故答案是：﹣2+3．

9．（4分）（2017•奉贤区一模）已知线段a=3，b=6，那么线段a、b的比例中项等于　3　．
【解答】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a=3，b=6，
∴=，
∴x2=ab=3×6=18，
∴x=±3（负值舍去）．
故答案为：3．

10．（4分）（2017•奉贤区一模）用一根长为8米的木条，做一个矩形的窗框．如果这个矩形窗框宽为x米，那么这个窗户的面积y（米2）与x（米）之间的函数关系式为　y=﹣x2+4x　（不写定义域）．
【解答】解：设这个矩形窗框宽为x米，可得：y=﹣x2+4x，
故答案为：y=﹣x2+4x

11．（4分）（2017•奉贤区一模）如果二次函数y=ax2（a≠0）的图象开口向下，那么a的值可能是　﹣1　（只需写一个）．
【解答】解：
∵二次函数y=ax2（a≠0）的图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a=﹣1，
故答案为：﹣1．

12．（4分）（2017•奉贤区一模）如果二次函数y=x2﹣mx+m+1的图象经过原点，那么m的值是　﹣1　．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣mx+m+1的图象经过原点，
∴m+1=0，
解得m=﹣1，
故答案为：﹣1．

13．（4分）（2017•奉贤区一模）如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是　4：9　．
【解答】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，
∴它们的相似比为4：9，
∴它们的周长比为4：9．
故答案为：4：9．

14．（4分）（2017•奉贤区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果=，AE=4，那么当EC的长是　6　时，DE∥BC．
【解答】解：
当EC=6时，DE∥BC，
理由是：∵=，AE=4，EC=6，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
故答案为：6．

15．（4分）（2017•奉贤区一模）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB=6，BC=10，那么的值是　　．

【解答】解：∵AD∥BE∥FC，
∴=，
又∵AB=6，BC=10，
∴=，
∴的值是．
故答案为：．

16．（4分）（2017•奉贤区一模）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是　　．
【解答】解：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC，交BC于点D，
则BD=AB=1，AB=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD==，
则重心到边的距离是为：×=，
故答案为：．

17．（4分）（2017•奉贤区一模）如图，如果在坡度i=1：2.4 的斜坡上两棵树间的水平距离AC为3米，那么两树间的坡面距离AB是　　米．

【解答】解：∵坡度i=1：2.4，
∴设BC=x，则AC=2.4x，
∴AB===2.6x．
∵AC=3米，
∴==，解得AB=．
故答案为：．

18．（4分）（2017•奉贤区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点P是边AD上的一点，联结BP，将△ABP沿着BP所在直线翻折得到△EBP，点A落在点E处，边BE与边CD相交于点G，如果CG=2DG，那么DP的长是　1　．

【解答】解：∵CG=2DG，CD=6，
∴CG=4，DG=2，
由勾股定理得，BG==5，
∴EG=1，
由折叠的性质可知，∠E=∠A=90°，又∠EGD=∠CGB，
∴△HEG∽△BCG，
∴==，
∴HG=，
∴DH=DG﹣HG=，
同理，DP=1，
故答案为：1．

三、解答题
19．（2017•奉贤区一模）计算：．
【解答】解：原式===2．

20．（2017•奉贤区一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
2
3
4
…
y
…
5
2
2
5
10
…
（1）根据上表填空：
①这个抛物线的对称轴是　x=1　，抛物线一定会经过点（﹣2，　10　 ）；
②抛物线在对称轴右侧部分是　上升　（填“上升”或“下降”）；
（2）如果将这个抛物线y=ax2+bx+c向上平移使它经过点（0，5），求平移后的抛物线表达式．
【解答】解：（1）①∵当x=0和x=2时，y值均为2，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=﹣2和x=4时，y值相同，
∴抛物线会经过点（﹣2，10）．
故答案为：x=1；10．
②∵抛物线的对称轴为x=1，且x=2、3、4时的y的值逐渐增大，
∴抛物线在对称轴右侧部分是上升．
故答案为：上升．
（2）将点（﹣1，5）、（0，2）、（2，2）代入y=ax2+bx+c中，
，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x+2．
∵点（0，5）在点（0，2）上方3个单位长度处，
∴平移后的抛物线表达式为y=x2﹣2x+5．

21．（2017•奉贤区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，延长AD至点E，使DE=AD，过点A作AF∥BC，交EC的延长线于点F．
（1）设=，=，用、的线性组合表示；
（2）求的值．

【解答】解：（1）∵如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC，
∵=，=，
∴=+=+．
又∵DE=AD，
∴==+，
∴=+=+++=+；

（2）∵DE=AD，AF∥BC，
∴=，==，
∴==•=×=，
即=．

22．（2017•奉贤区一模）如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E、D，现测得DE=20厘米，DC=40厘米，∠AED=58°，∠ADE=76°．
（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面MN之间的距离）（精确到1厘米）
（2）求椅子两脚B、C之间的距离（精确到1厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）

【解答】解：（1）如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC=90°，

∵DE∥MN，
∴∠DCP=∠ADE=76°，
则在Rt△CDP中，DP=CDsin∠DCP=40×sin76°≈39（cm），
答：椅子的高度约为39厘米；

（2）作EQ⊥MN于点Q，
∴∠DPQ=∠EQP=90°，
∴DP∥EQ，
又∵DF∥MN，∠AED=58°，∠ADE=76°，
∴四边形DEQP是矩形，∠DCP=∠ADE=76°，∠EBQ=∠AED=58°，
∴DE=PQ=20，EQ=DP=39，
又∵CP=CDcos∠DCP=40×cos76°≈9.6（cm），
BQ==≈24.4（cm），
∴BC=BQ+PQ+CP=24.4+20+9.6≈54（cm），
答：椅子两脚B、C之间的距离约为54cm．

23．（2017•奉贤区一模）已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：
（1）△ABF∽△BED；
（2）=．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∵BE⊥DC，
∴∠FEC=∠BED，
由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，
∴△BED∽△CEF，
∴△ABF∽△BED；
（2）∵AB∥CD，
∴，
∴，
∵△ABF∽△BED，
∴，
∴=．

24．（2017•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D，联结AC、BC、DB、DC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）求证：△ACO∽△DBC；
（3）如果点E在x轴上，且在点B的右侧，∠BCE=∠ACO，求点E的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）∵当y=0时，0=﹣x2+2x+3，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴B（3，0），
又∵A（﹣1，0），D（1，4），
∴CD=，BC=3，BD=2，AO=1，CO=3，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴∠AOC=∠DCB，
又∵=，=，
∴=，
∴△ACO∽△DBC；

（3）设CE与BD交于点M，
∵△ACO∽△DBC，
∴∠DBC=∠ACO，
又∵∠BCE=∠ACO，
∴∠DBC=∠BCE，
∴MC=MB，
∵△BCD是直角三角形，
∴∠BCM+∠DCM=90°=∠CBM+∠MDC，
∴∠DCM=∠CDM，
∴MC=MD，
∴DM=BM，即M是BD的中点，
∵B（3，0），D（1，4），
∴M（2，2），
设直线CE的解析式为y=kx+b，则
，
解得，
∴直线CE为：y=﹣x+3，
当y=0时，0=﹣x+3，
解得x=6，
∴点E的坐标为（6，0）．

25．（2017•奉贤区一模）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE=∠BAC，点F在线段AE上，∠ACF=∠B．设BD=x．

（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；
（2）若y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=，
∴AC=6，AB=10，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠FAC=∠DAB，
∵∠ACF=∠B，
∴△ABD∽△ACF，
∴，
在Rt△ABC中，点F恰好是AE的中点，
∴CF=AE=AF，
∴AD=BD，
在Rt△ACD中，AC=6，CD=BC﹣BD=BC﹣AD=8﹣AD，
根据勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
∴36+（8﹣AD）2=AD2，
∴AD=，
∴BD=AD=，
（2）如图1，过点F作FM⊥AC于M，
由（1）知，∴=，
∴CF==×x=x，
由（1）△ABD∽△ACF，
∴∠B=∠ACF，
∴tan∠ACF=tanB===，
∴MC=x，
∴y===（0＜x＜8）
（3）∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，
∴①当AD=AE时，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠ACD=90°，
∴∠EAC=∠DAC=∠DAB，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴，
∵AC=6，AB=10，CD=8﹣BD，
∴，
∴BD=5，
当AD=DE时，
∴∠DAE=∠DEA=∠BAC，
∴∠ADE=2∠B，
∴∠B=∠DAB，
∴AD=BD=（是（1）的那种情况）．
即：BD=5或BD=时，△ADE是以AD为腰的等腰三角形．

参与本试卷答题和审题的老师有：Ldt；知足长乐；nhx600；HLing；梁宝华；HJJ；1987483819；守拙；zcx；zjx111；szl；CJX；曹先生；三界无我；家有儿女；星月相随（排名不分先后）
菁优网
2017年4月8日
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