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2017年上海市黄浦区中考数学一模试卷

一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（4分）下列抛物线中，与抛物线y=x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（　　）
A．y=4x2+2x+1 B．y=2x2﹣4x+1 C．y=2x2﹣x+4 D．y=x2﹣4x+2
2．（4分）如图，点D、E位于△ABC的两边上，下列条件能判定DE∥BC的是（　　）

A．AD•DB=AE•EC B．AD•AE=BD•EC C．AD•CE=AE•BD D．AD•BC=AB•DE
3．（4分）已知一个坡的坡比为i，坡角为α，则下列等式成立的是（　　）
A．i=sinα B．i=cosα C．i=tanα D．i=cotα
4．（4分）已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．||﹣||=0
5．（4分）已知二次函数y=x2，将它的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的表达式为（　　）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
6．（4分）Word文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知AB=AC，当它以底边BC水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC以腰AB水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（　　）

图形
图①
图②
图③
图④
图⑤
绝对高度
1.50
2.00
1.20
2.40
？
绝对宽度
2.00
1.50
2.50
3.60
？
A．3.60和2.40 B．2.56和3.00 C．2.56和2.88 D．2.88和3.00

二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a=3，b=2，那么c=　　．
8．（4分）化简：=　　．
9．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则AP﹣BP=　　．
10．（4分）已知二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，则f（1）　　f（5）（填“＞”或“＜”）
11．（4分）求值：sin60°•tan30°=　　．
12．（4分）已知G是等腰直角△ABC的重心，若AC=BC=2，则线段CG的长为　　．
13．（4分）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为　　．
14．（4分）等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式为　　．
15．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为　　．

16．（4分）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是　　米．

17．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为　　．

18．（4分）如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的，则cosA=　　．

三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19．（10分）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在两腰上，
且EF∥AD，AE：EB=2：1；
（1）求线段EF的长；
（2）设=，=，试用、表示向量．

21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=，将△ABC沿直线l翻折，恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin∠CBE的值．

22．（10分）如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在地面C处和坡面D处各装一根等长的引拉线BC和BD，过点D作地面MN的垂线DH，H为垂足，已知点C、A、H在一直线上，若测得AC=7米，AD=12米，坡角为30°，试求电线杆AB的高度；（精确到0.1米）

23．（12分）如图1，点D位于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比例中项．
（1）求证：∠ACB=∠ABD；
（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，CA=6时，求证：DE=DF．

24．（12分）平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；
（1）求抛物线的表达式；
（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．

25．（14分）如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

2017年上海市黄浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（4分）（2017•黄浦区一模）下列抛物线中，与抛物线y=x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（　　）
A．y=4x2+2x+1 B．y=2x2﹣4x+1 C．y=2x2﹣x+4 D．y=x2﹣4x+2
【解答】解：抛物线y=x2﹣2x+4的对称轴为x=1；
A、y=4x2+2x+1的对称轴为x=﹣，不符合题意；
B、y=2x2﹣4x+1的对称轴为x=1，符合题意；
C、y=2x2﹣x+4的对称轴为x=，不符合题意；
D、y=x2﹣4x+2的对称轴为x=2，不符合题意，
故选B．

2．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，点D、E位于△ABC的两边上，下列条件能判定DE∥BC的是（　　）

A．AD•DB=AE•EC B．AD•AE=BD•EC C．AD•CE=AE•BD D．AD•BC=AB•DE
【解答】解：∵AD•CE=AE•BD，
∴，
∴DE∥BC，
故选C．

3．（4分）（2017•黄浦区一模）已知一个坡的坡比为i，坡角为α，则下列等式成立的是（　　）
A．i=sinα B．i=cosα C．i=tanα D．i=cotα
【解答】解：i=tanα．
故选C．

4．（4分）（2017•黄浦区一模）已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．||﹣||=0
【解答】解：∵已知向量和都是单位向量，
∴||=||=1，
∴||﹣||=0，
故选D．

5．（4分）（2017•黄浦区一模）已知二次函数y=x2，将它的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的表达式为（　　）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=x2的图象向左平移个单位得到y=（x+2）2，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=（x+2）2的图象向上平移3个单位可得到函数y=（x+2）2+3，
故选：A．

6．（4分）（2017•黄浦区一模）Word文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知AB=AC，当它以底边BC水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC以腰AB水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（　　）

图形
图①
图②
图③
图④
图⑤
绝对高度
1.50
2.00
1.20
2.40
？
绝对宽度
2.00
1.50
2.50
3.60
？
A．3.60和2.40 B．2.56和3.00 C．2.56和2.88 D．2.88和3.00
【解答】解：图④，过A点作AD⊥BC于D，
BD=3.60÷2=1.80，
在Rt△ABD中，AB==3，
图⑤绝对宽度为3；
图⑤绝对高度为：
2.40×3.60÷2×2÷3
=4.32×2÷3
=2.88．
故选：D．

二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）（2017•黄浦区一模）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a=3，b=2，那么c=　　．
【解答】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，
∴a2=bc，
即32=2×c，
∴c=．
故答案是：．

8．（4分）（2017•黄浦区一模）化简：=　﹣﹣7　．
【解答】解：=2﹣4﹣3﹣3=﹣﹣7．
故答案为：．

9．（4分）（2017•黄浦区一模）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则AP﹣BP=　2﹣4　．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP=AB=﹣1，
则BP=2﹣AP=3﹣，
∴AP﹣BP=（﹣1）﹣（3﹣）=2﹣4，
故答案为：2﹣4．

10．（4分）（2017•黄浦区一模）已知二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，则f（1）　＞　f（5）（填“＞”或“＜”）
【解答】解：∵二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，
∴当x的取值越靠近4函数值就越小，反之越大，
∴f（1）＞f（5），
故答案为：＞．

11．（4分）（2017•黄浦区一模）求值：sin60°•tan30°=　　．
【解答】解：原式=×
=．
故答案为：．

12．（4分）（2017•黄浦区一模）已知G是等腰直角△ABC的重心，若AC=BC=2，则线段CG的长为　　．
【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC=BC=2，
∴CG=，
故答案为：

13．（4分）（2017•黄浦区一模）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为　4：9　．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积之比为4：9．
故答案为：4：9

14．（4分）（2017•黄浦区一模）等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式为　S=C2　．
【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的周长为C，
∴AB=BC=AC=，
∴DC=BD=，
∴AD==C，
∴S=×C×=C2．
故答案为：S=×C×=C2．

15．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为　4　．

【解答】解：作AH⊥BC于H，交DG于P，如图所示：
∵△ABC的面积=BC•AH=9，BC=6，
∴AH=3，
设正方形DEFG的边长为x．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴．
∵PH⊥BC，DE⊥BC
∴PH=ED，AP=AH﹣PH，
即，
由BC=6，AH=3，DE=DG=x，
得，
解得x=2．
故正方形DEFG的面积=22=4；
故答案为：4．

16．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是　27　米．

【解答】解：作PE⊥AB于点E，
在直角△AEP中，∠APE=∠α，
则AE=PE•tan∠APE=30×0.45=13.5（米），
则AB=2AE=27（米）．
故答案是：27．

17．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为　4或　．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时，=，即=，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时，=，即=，解得AP=．
故答案为：4或．

18．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的，则cosA=　　．

【解答】解：如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．

∵AB⊥BN，AD⊥DN，
∴∠ABN=∠ADN=90°，
在Rt△ANB和Rt△AND中，
，
∴△ABN≌△ADN，
∴∠BAN=∠DAN，
∴AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于点O，
易知四边形BMDN是菱形，设S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a，
∵四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的，
∴S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a，
∴AM=4OM，CN=4ON，设ON=OM=k，则AM=CN=4k，
∵△ABO∽△BNO，
∴OB2=OA•ON=5k2，
∴OB=k，AB=AD==k，
∵AD•BH=•BD•AO，
∴BH==，
∴AH===k，
∴cosA===．

故答案为

三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19．（10分）（2017•黄浦区一模）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解答】解：y=x2﹣4x+5=（x﹣4）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴x=4，顶点（4，﹣3）．

20．（10分）（2017•黄浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在两腰上，
且EF∥AD，AE：EB=2：1；
（1）求线段EF的长；
（2）设=，=，试用、表示向量．

【解答】解：（1）作BM∥CD交AD、EF于M、N两点，

又AD∥BC，EF∥AD，
∴四边形BCFN与MNFD均为平行四边形．
∴BC=NF=MD=2，
∴AM=AD﹣MD=1．
又=2，
∴=，
∵EF∥AD，
∴△BEN∽△BAM，
∴，即，
∴EN=，
则EF=EN+NF=；

（2）∵=，=，
∴BC=AD，EB=AB，
∴==，==，
则==+．

21．（10分）（2017•黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=，将△ABC沿直线l翻折，恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin∠CBE的值．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，tanA=，
∴=，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
即BC2+4BC2=25，
解得BC=，
所以，AC=2，
△ABC的面积=AC•BC=××2=5；

（2）设CE=x，则AE=AC﹣CE=2﹣x，
∵△ABC沿直线l翻折点A与点B重合，
∴BE=AE=2﹣x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
即2+x2=（2﹣x）2，
解得x=，
所以，CE=，
BE=2﹣x=2﹣=，
所以，sin∠CBE===．

22．（10分）（2017•黄浦区一模）如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在地面C处和坡面D处各装一根等长的引拉线BC和BD，过点D作地面MN的垂线DH，H为垂足，已知点C、A、H在一直线上，若测得AC=7米，AD=12米，坡角为30°，试求电线杆AB的高度；（精确到0.1米）

【解答】解：作BE⊥AD于点E，设AB=x米，
在直角△ABE中，∠BAE=90°﹣∠DAH=90°﹣30°=60°，
则AE=AB•cos∠BAE=xcos60°=x（米），
BE=AB•sin∠BAE=xsin60°=x（米）．
则DE=AD﹣AE=12﹣x，
在直角△BED中，BD2=BE2+DE2=（x）2+（12﹣x）2=144+x2﹣12x，
在直角△ABC中，BC2=AC2+AB2=72+x2=49+x2．
∵BC=BD，
∴144+x2﹣12x=49+x2．
解得x=≈7.9
答：电线杆AB的高度约是7.9米．

23．（12分）（2017•黄浦区一模）如图1，点D位于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比例中项．
（1）求证：∠ACB=∠ABD；
（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，CA=6时，求证：DE=DF．

【解答】（1）证明：∵AB是AD与AC的比例中项．
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ACB=∠ABD；
（2）证明：∵△ABD∽△ACB，
∴，即，
解得：AD=，BD=，
∴CD=AC﹣AD=6﹣=，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ABD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠EDF=∠A+∠C，∠A+∠C=180°﹣∠ABC，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴点B、E、D、F四点共圆，
∴，
∴DE=DF．

24．（12分）（2017•黄浦区一模）平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；
（1）求抛物线的表达式；
（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．

【解答】解：（1）∵抛物线过点A（1，0）、B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），
∵C（4，6），
∴6=a（4﹣1）（4﹣3），
∴a=2，
∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2﹣8x+6；
（2）如图，设点D（m，0），E（n，0），
∵A（1，0），
∴AD=m﹣1，AE=n﹣1
由（1）知，抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2；
∴将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，得到抛物线的解析式为y=2（x﹣8）2﹣2；
∴再沿y轴方向平移k个单位，得到的抛物线的解析式为y=2（x﹣8）2﹣2﹣k；
令y=0，则2（x﹣8）2﹣2﹣k=0，
∴2x2﹣32x+126﹣k=0，
根据根与系数的关系得，
∴m+n=16，mn=63﹣，
∵A（1，0），C（4，6），
∴AC2=（4﹣1）2+62=45，
∵△ACD∽△AEC，
∴，
∴AC2=AD•AE，
∴45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，
∴45=63﹣﹣16+1，
∴k=6，
即：k=6，向下平移6个单位．

25．（14分）（2017•黄浦区一模）如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

【解答】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，sinA=，tanB=，
如图，当CD⊥AB时，△ACD为直角三角形，
∴CD=AC•sinA=，
∴AD==，
又∵∠DCE=∠ABC，
∴在Rt△CDE中，DE=CD•tan∠DCE=×=，
∴BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣﹣=；

（2）当△CDE时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，
∴唯有∠CED=∠CDE，
又∵∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，
∴∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，
∴BD=BC=4，
∴AD=5﹣4=1；

（3）如图所示，作CH⊥AB于H，
∵×BC×AC=AB×CH，
∴CH=，
∴Rt△ACH中，AH==，
∴在Rt△CDH中，CD2=CH2+DH2=（）2+（﹣x）2=x2﹣x+9，
又∵∠CDE=∠BDC，∠DCE=∠B，
∴△BDC∽△CDE，
∴CD2=DE•DB，
即x2﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），
解得．

参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；王学峰；zhjh；弯弯的小河；nhx600；HJJ；zcx；知足长乐；CJX；1987483819；gbl210；家有儿女；ZJX；三界无我；星期八；星月相随；szl（排名不分先后）
菁优网
2017年4月8日
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