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课时分层作业(十二) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
(建议用时：40分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝( )
A．－ B. C．－ D.
D [由题图可知A＝2，T＝4×＝π，故ω＝2，又f＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ＋，又|φ|<，∴φ＝.]
2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C．π D.
C [∵f＝f，∴x＝＝为函数f(x)的图象的一条对称轴．
∵f＝－f，f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)图象的一条对称轴，且与x＝相邻，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.]
3．点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋mω＞0，|φ|＜的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则正确的是( )
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的值域为[0,4]
C．f(x)的初相φ＝
D．f(x)在上单调递增
D [由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的值域为[1,3]，初相为，排除A、B、C项，选D.]
4．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．2 B. C．1 D.
A [f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2.]
5．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数，结论正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
B [∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，
∴φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．]
二、填空题
6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________.
[由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f，注意到π与关于对称，
所以f＝－f＝.]
7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝________.
±3 [由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3.]
8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；φ＝________.
2 － [T＝－＝，∴T＝＝π，
∴ω＝2.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.]
三、解答题
9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知， f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)的图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.
10．已知函数f(x)＝3sin的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ值；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．
[解] (1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴，
∴sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵0＜φ＜，∴φ＝.
(2)由(1)知y＝3sin.
由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)，
故该函数的对称中心为(k∈Z)．
[等级过关练]
1．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于点对称；
④y＝f(x)图象关于直线＝－对称．
其中正确命题的序号为( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
C [对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，
∴①错误；对于②，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos，∴②正确；对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．∴④错误．]
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A＝________；最小正周期T＝________.
π [由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为，半个周期为－＝，故周期为π.]
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
[解] (1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，
∴f(x)＝2sin，
∴f(0)＝2sin φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，
∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2].
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