2017年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷.doc

2017年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（　　）
A．﹣π B．﹣3.14 C． D．0
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．﹣（﹣a+b）=a+b B．3a3﹣3a2=a C．（x6）2=x8 D．1÷（）﹣1=
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（　　）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
5．（3分）如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（　　）

A．80° B．90° C．100° D．102°
6．（3分）已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′于点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（　　）
A．（3，0） B．（3，﹣3） C．（3，﹣1） D．（﹣1，3）
7．（3分）几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共21分）
9．（3分）分解因式：a3﹣4a2b+4ab2=　　．
10．（3分）南海是我国固有领海，南海面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米．360万平方千米用科学记数法可表示为　　平方千米．
11．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为　　．

12．（3分）在一个不透明的口袋中装有若干只有颜色不同的球，如果口袋中装有3个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中共有　　个球．
13．（3分）不等式组的解集为　　．
14．（3分）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为　　°．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为　　．

三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中x=3tan30°+1．
17．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．

18．（9分）某市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图（部分信息未给出）．

（1）实验所用的乙种树苗的数量是　　株．
（2）求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整．
（3）你认为应选哪种树苗进行推广？
（4）请通过计算说明理由．
19．（9分）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为14.4km（即MC=14.4km）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的北偏东42°方向；航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东56°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）

20．（9分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值．

21．（10分）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．
（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
22．（10分）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：=　　，并结合图②证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）
23．（11分）已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2017年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2017•禹州市一模）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（　　）
A．﹣π B．﹣3.14 C． D．0
【解答】解：∵|﹣π|=π，|﹣3.14|=3.14，
∴﹣π＜﹣3.14，
∴﹣π，﹣3.14，0，这四个数的大小关系为﹣π＜﹣3.14＜0＜．
故选A．

2．（3分）（2017•禹州市一模）下列运算正确的是（　　）
A．﹣（﹣a+b）=a+b B．3a3﹣3a2=a C．（x6）2=x8 D．1÷（）﹣1=
【解答】解：A、﹣（﹣a+b）=a﹣b≠a+b，计算错误，本选项错误；
B、3a3﹣3a2≠a，计算错误，本选项错误；
C、（x6）2=x12≠x8，计算错误，本选项错误；
D、1÷（）﹣1=，本选项正确；
故选D．

3．（3分）（2013•北京）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
故选：A．

4．（3分）（2017•禹州市一模）小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（　　）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
【解答】解：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．
故选：B．

5．（3分）（2017•禹州市一模）如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（　　）

A．80° B．90° C．100° D．102°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠3=40°，
∵∠1=120°，
∴∠2=∠1﹣∠A=80°，
故选A．

6．（3分）（2017•禹州市一模）已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′于点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（　　）
A．（3，0） B．（3，﹣3） C．（3，﹣1） D．（﹣1，3）
【解答】解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A′的坐标为（1，﹣3），
∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴B（1，2）平移后B′的坐标是：（3，﹣1）．
故选：C．

7．（3分）（2012•孝感）几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，
所以这个几何体的体积是5．
故选：B．

8．（3分）（2015•威海）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AC，
∴∠EDF=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDB是等边三角形．
∴ED=DB=2﹣x，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴EF=ED=（2﹣x）．
∴y=ED•EF=（2﹣x）•（2﹣x），
即y=（x﹣2）2，（x＜2），
故选A．

二、填空题（每小题3分，共21分）
9．（3分）（2017•禹州市一模）分解因式：a3﹣4a2b+4ab2=　a（a﹣2b）2　．
【解答】解：原式=a（a2﹣4ab+4b2）=a（a﹣2b）2．
故答案是：a（a﹣2b）2．

10．（3分）（2017•禹州市一模）南海是我国固有领海，南海面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米．360万平方千米用科学记数法可表示为　3.6×106　平方千米．
【解答】解：360万平方千米=3.6×106平方千米．
故答案为：3.6×106．

11．（3分）（2017•禹州市一模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为　62°　．

【解答】解：连接OB．
在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），
∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；
又∵∠OAB=28°，
∴∠OBA=28°；
∴∠AOB=180°﹣2×28°=124°；
而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠C=62°；
故答案是：62°．

12．（3分）（2017•禹州市一模）在一个不透明的口袋中装有若干只有颜色不同的球，如果口袋中装有3个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中共有　9　个球．
【解答】解：∵口袋中装有5个红球，且摸出红球的概率为，
∴袋中共有球：3÷=9（个）．
故答案为：9．

13．（3分）（2017•禹州市一模）不等式组的解集为　﹣1＜x≤1　．
【解答】解：，
由①得x＞﹣1，
由②得x≤1，
∴不等式组的就为﹣1＜x≤1．
故答案为﹣1＜x≤1．

14．（3分）（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为　45　°．

【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
故填45．

15．（3分）（2015•滨州）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为　（10，3）　．

【解答】解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中，OF==6，
∴FC=10﹣6=4，
设EC=x，则DE=EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，
即EC的长为3．
∴点E的坐标为（10，3），
故答案为：（10，3）．

三、解答题（共75分）
16．（8分）（2012•铁岭）先化简，再求值：，其中x=3tan30°+1．
【解答】解：÷（﹣）
=÷[﹣]
=÷
=•
=，
当x=3tan30°+1=3×+1=+1时，
原式===．

17．（9分）（2015•呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：
解：由（1）可得BE=DF，
又∵AB∥CD，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF∥AE，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵∠ADB是直角，
∴AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．

18．（9分）（2017•禹州市一模）某市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图（部分信息未给出）．

（1）实验所用的乙种树苗的数量是　100　株．
（2）求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整．
（3）你认为应选哪种树苗进行推广？
（4）请通过计算说明理由．
【解答】解：（1）500×（1﹣25%﹣25%﹣30%）=100（株）．
故答案为100；

（2）500×25%×89.6%=112（株），
补全统计图如图；

（3）应选择丁种品种进行推广；

（4）甲种树苗成活率为：×100%=90%，
乙种果树苗成活率为：×100%=85%，
丁种果树苗成活率为：×100%=93.6%，
∵93.6%＞90%＞89.6%＞85%，
∴应选择丁种品种进行推广，它的成活率最高，为93.6%

19．（9分）（2017•禹州市一模）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为14.4km（即MC=14.4km）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的北偏东42°方向；航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东56°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）

【解答】解：在Rt△ACM中，tan∠CAM=tan42°==1，
∴AC≈16km，
∴BC=AC﹣AB=16﹣4=12km，
在Rt△BCN中，tan∠CBN=tan56°=，
∴CN≈17.76km，
∴MN≈3.4km．
答：钓鱼岛东西两端MN之间的距离约为3.4km．

20．（9分）（2017•禹州市一模）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值．

【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1=1，x2=3，
∴点B坐标（3，1）；

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，
∴D（3，﹣1），
∵A（1，3），
∴AD==2，
∴PA+PB的最小值为2．

21．（10分）（2011•宁波）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．
（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设购买甲种树苗x株，则乙种树苗y株，由题意得：

解得
答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株．
（2）设甲种树苗购买z株，由题意得：
85%z+90%（800﹣z）≥800×88%，
解得z≤320．
答：甲种树苗至多购买320株．
（3）设购买两种树苗的费用之和为m，则
m=24z+30（800﹣z）=24000﹣6z，
在此函数中，m随z的增大而减小
所以当z=320时，m取得最小值，其最小值为24000﹣6×320=22080元
答：购买甲种树苗320株，乙种树苗480株，即可满足这批树苗的成活率不低于88%，又使购买树苗的费用最低，其最低费用为22080元．

22．（10分）（2017•禹州市一模）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：=　　，并结合图②证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中，，
∴△BOG≌△POE（ASA）；

（2）解：猜想 =．
证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中，，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM=PE．
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP=∠MFP=90°．
在△BPF和△MPF中，，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．
∴BF=MF．
即BF=BM．
∴BF=PE．
即 ；
故答案为；
（3）解：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°．
由（2）同理可得BF=BM，∠MBN=∠EPN，
∴△BMN∽△PEN，
∴．
在Rt△BNP中，tanα=，
∴=tanα．即=tanα．
∴tanα．

23．（11分）（2008•重庆）已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意，得
解得（2分）
∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4．

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．
由﹣x2+x+4=0，
得x1=﹣2，x2=4
∴点B的坐标为（﹣2，0）
∴AB=6，BQ=m+2
∵QE∥AC
∴△BQE∽△BAC
∴
即
∴
∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ
=BQ•CO﹣BQ•EG
=（m+2）（4﹣）
=
=﹣（m﹣1）2+3
又∵﹣2≤m≤4
∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）．

（3）存在．在△ODF中．
（ⅰ）若DO=DF
∵A（4，0），D（2，0）
∴AD=OD=DF=2
又在Rt△AOC中，OA=OC=4
∴∠OAC=45度
∴∠DFA=∠OAC=45度
∴∠ADF=90度．此时，点F的坐标为（2，2）
由﹣x2+x+4=2，
得x1=1+，x2=1﹣
此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1﹣，2）．
（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M
由等腰三角形的性质得：OM=OD=1
∴AM=3
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3
∴F（1，3）
由﹣x2+x+4=3，
得x1=1+，x2=1﹣
此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1﹣，3）．
（ⅲ）若OD=OF
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°
∴AC=
∴点O到AC的距离为，而OF=OD=2，与OF≥2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形
所求点P的坐标为：P（1+，2）或P（1﹣，2）或P（1+，3）或P（1﹣，3）．

参与本试卷答题和审题的老师有：HLing；王学峰；gbl210；放飞梦想；zjx111；szl；lantin；守拙；zhxl；dbz1018；733599；弯弯的小河；Linaliu；bjy；1339885408；sks；wd1899；CJX；HJJ；星月相随；wdxwzk；MMCH（排名不分先后）
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2017年4月8日
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