资源描述
4.3 三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简求值
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈ ,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )
A. B. C. D.
2.计算: =________.
3.化简: =________.
【解析】1.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,
即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α= .
2.
=
=
=
= =2 .
答案:2
3.原式=
=
= =1.
答案:1
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2.三角函数式化简的方法
弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,
根号中含有三角函数式时,一般需要升次.
【一题多解】
倍角降次解T3,原式=
= = = =1.
三角形法解T1,因为α∈ ,
所以sin α>0,cos α>0,
由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,
tan α= ,画直角三角形如图,
不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为 ,sin α= .
· 考点二 条件求值问题
命
题
精
解
读
考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.
(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.
怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.
学
霸
好
方
法
条件求值的四个必备结论
(1)降幂公式:cos2α= ,sin2α= .
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)辅助角公式:asin x+bcos x= sin(x+φ) 其中sin φ= ,cos φ=
给角求值
【典例】(2019·沈阳四校联考)化简: - =________.
【解析】 - = = = =4.
答案:4
给角求值如何求解?
提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.
(2)观察名,尽可能使函数统一名称.
(3)观察结构,利用公式,整体化简.
给值求值
【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
则sin(α+β)=________.
2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan = ,则tan α=________.
【解析】1.由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+
2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2 β=1,即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,
所以sin(α+β)=- .
答案:-
2.因为tan =tan = ,
所以 = ,解得tan α= .
答案:
给值求值问题如何求解?
提示:(1)化简所求式子.
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
给值求角
【典例】(2020·长春模拟)已知sin α= ,sin(α-β)=- ,
α,β均为锐角,则角β值是________.
【解析】因为α,β均为锐角,所以- <α-β< .
又sin(α-β)=- ,所以cos(α-β)= .
又sin α= ,所以cos α= ,sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
= × - × = ,所以β= .
答案:
如何选取合适的三角函数求角?
提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是 ,选正、余弦
函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为 ,选正弦函数较好.
(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.
1.化简: =________.
【解析】原式= = = .
答案:
2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,sin2 +cos = ,且
sin B= ,则A+B= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为sin2 +cos = ,
所以 + cos A- sin A= ,
即 - sin A= ,解得sin A= .
因为A为钝角,所以cos A=- =- =- .由sin B= ,
且B为钝角,
得cos B=- =- =- .所以cos(A+B)=cos Acos B
-sin Asin B= × - × = .又A,B都为钝角,即A,B∈ ,所以A+B∈(π,2π),所以A+B= .
3.(2020·佛山模拟)已知cos α= ,α∈(-π,0),则cos
= ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选A.因为cos α= ,α∈(-π,0),
所以sin α=- =- ,
所以cos =cos αcos +sin αsin = × + × =- .
1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°= ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+
cos215°)=sin215°-cos215°=-cos 30°=- .
2.定义运算 =ad-bc.若cos α= , = ,0<β<α< ,则β=________.
【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= .
又0<β<α< ,所以0<α-β< ,所以cos(α-β)= = ,
而cos α= ,所以sin α= ,于是sin β=sin[α-(α-β)]=
sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)= × - × = ,
所以β= .
答案:
考点三 三角恒等变换的综合应用
【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.
【解析】连接BP,设∠CBP=α,其中0≤α< ,
则PM=1-sin α,PN=2-cos α,
则周长C=6-2(sin α+cos α)=6-2 sin ,
因为0≤α< ,所以 ≤α+ < ,
故当α+ = ,即α= 时,周长C有最小值6-2 .
2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.
(2)求函数y= + 的值域.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)
(2)
看到“求函数y= + 的值域”,想到先化简y= +
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ= 或 .
(2)y= +
=sin2 +sin2
= +
=1- =1- cos .
因此,函数的值域是 .
1.三角函数应用题的处理方法
(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.
(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.
2.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin +b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图象变换.
(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;
②利用公式T= (ω>0)求周期;
③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+b或
y=Acos(ωx+φ)+b的单调区间.
1.如图是半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,求α为何值时矩形的面积最大,并求出最大值.
【解析】因为∠SOP=α,所以PS=sin α,SR=2cos α,故S矩形PQRS=SR·PS
=2cos α·sin α=sin 2α,
故当α= 时,矩形的面积有最大值1.
2.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.
【解析】(1)由已知得f(x)= -
= - cos 2x
= sin 2x- cos 2x= sin .
所以f(x)的最小正周期T= =π.
(2)由(1)知f(x)= sin .因为- ≤x≤ ,
所以- ≤2x- ≤ ,所以当2x- =- ,
即x=- 时,f(x)有最小值- ;
当2x- = ,即x= 时,f(x)有最大值 .所以f(x)在 上的最大值为 ,最小值为- .
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