2022高考数学狠抓基础题专题01集合与常用逻辑用语理.doc

专题01 集合与常用逻辑用语
一、集合
1．元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一.
2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
3．常用数集及其记法：
集合
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号

或

注意：实数集不能表示为{x|x为所有实数}或{}，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义.
4．理解子集、真子集的概念，知道由“若，有”得是的子集，记作；
上述条件下，若“，”得是的真子集，记作.
注意子集表示符号“”与元素和集合关系符号“”的区别.
5．给定一个集合，能够写出其子集、真子集、非空子集的个数，如给定集合的元素个数为，则其子集、真子集、非空子集的个数分别为.
6．交集：，取两个集合的公共元素组成集合；
并集：，取两个集合所有元素组成集合；
补集：，取全集中不属于集合A的元素组成集合.
注意：（1）空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.
（2）集合的运算顺序，如表示先计算A的补集，再进行并集计算；则表示先进行A与B的并集计算，再进行补集计算.
二、四种命题及其关系
1．四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若，则
逆否命题
若，则
2．四种命题间的关系
三、充分条件、必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；
（3）若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；
（5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
2．判断充分条件、必要条件的方法：
（1）定义法：寻找之间的推理关系，即对“若则”的真假进行判断，获得结论；
（2）集合法：借助集合间的基本关系进行充分性与必要性的判断；
（3）等价法：借助原命题与逆否命题的真假等价性进行判断.
四、逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．常见的逻辑联结词：或、且、非
一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p且q”；
用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p或q”；
对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作，读作“非p”．
2．复合命题的真假判断
“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：
p
q

真
真
假
假
真
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
真
真
假
假
3．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等

存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等

4．含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：
命题
命题的否定

一、考查集合间的基本关系
【例1】已知集合，则集合的子集的个数为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】集合，，故集合的子集的个数为.故选B.
【名师点睛】对于集合间的基本关系，高考中一般考查求子集的个数或由集合间的关系求参数的取值范围问题.
二、考查集合的基本运算
【例2】已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，则，又，故，故选C.
【例3】已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】集合间的运算问题，常和函数等其他知识相结合，求解时注意区分是求有限集间集合的运算还是无限集间集合的运算，若是有限集间集合的运算问题，一般使用定义法和Venn图法；若是无限集间集合的运算，则一般用数轴求解.
三、充分条件、必要条件
【例4】已知条件p：函数的定义域，条件，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】依题意，要使函数有意义，则，得或，故命题：或.
由得，则，
则，但p不能推出q，
故是的充分不必要条件．
【例5】已知，，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【名师点睛】注意区分A是B的充分条件与A的充分条件是B：（1）“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，即B⇒A且AB；
（2）“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A，即A⇒B且.
四、含有逻辑联结词的命题真假的判断
【例6】已知命题： ，；命题：，，则下列命题中为真命题的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【名师点睛】（1）判断“”、“”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式；
第二步，判断简单命题p、q的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
（2）不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．
（3）当为真，p与q一真一假；为假时，p与q至少有一个为假.
五、全称命题与特称命题
【例7】下列命题中是假命题的是
A．使
B．，函数都不是偶函数
C．使是幂函数，且在上单调递减
D．，函数有零点
【答案】B
【解析】对于选项A，如当时，所以选项A的命题为真命题；
对于选项B，当时，函数
是偶函数，因此选项B中的命题为假命题；
对于选项C，如当时，，在上单调递减，所以选项C中的命题为真命题；对于选项D，当时，，则，所以，函数有零点，所以选项D中的命题为真命题.
【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.
【例8】已知命题，则命题的否定为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为.故选C.
【名师点睛】全称（或特性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或特性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特征命题，特征命题的否定是全称命题．
1．已知集合，则实数a的值为
A．−1 B．0
C．1 D．2
【答案】A
2．命题“∃x0∈R,+x0+1<0”的否定为
A．“∃x0∈R,+x0+1≥0” B．“∃x0∈R,+x0+1≤0”
C．“∀x∈R,x2+x+1≥0” D．“∀x∈R,x2+x+1<0”
【答案】C
【解析】本题考查全称量词与存在量词．易知原命题的否定为“∀x∈R,x2+x+1≥0”．
3．设,那么等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为,所以．
4．已知集合P={x|0<x<4},Q={x|x=,y∈P},则
A．{x|0<x<2} B．{x|0<x<4}
C．{x|2≤x<4} D．{x|x≤0或x>2}
【答案】C
【解析】因为P={x|0<x<4},所以Q={x|0<x<2},所以={x|x≤0或x≥2},
则,故选C．
5．已知命题p:∀x>0,x+≥4,命题q:∃x0∈(0,+∞),,则下列判断正确的是
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(¬q)是真命题 D．( ¬p)∧q是真命题
【答案】C
6．已知命题: “关于的方程有实根”,若非为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由命题：“关于的方程有实根”，得，则，所以非为真命题时，.又是的充分不必要条件，所以，即，则m的取值范围为.所以选A.
7．命题:若，则，其否命题是___________.
【答案】若，则
【解析】根据否命题的定义，原命题为：若，则，则否命题为：若，则.
8．已知条件p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是____________．
【答案】[3,8)
【解析】由p(1)是假命题,知12+2×1-m=3-m≤0,得m≥3;
又由p(2)是真命题,知22+2×2-m=8-m>0,得m<8．
所以m的取值范围是[3,8).
9．下面四个命题：
：命题“”的否定是“”；
:向量，则是的充分且必要条件；
：“在中，若，则”的逆否命题是“在中，若，则”；
：若“”是假命题，则是假命题.
其中为真命题的是_________.（填所有真命题的序号）
【答案】
对于：若“”是假命题，则p或q是假命题，所以是假命题.
故填.
10．设有两个命题，:关于的不等式（,且）的解集是；:函数
的定义域为.如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是
_________.
【答案】
【解析】易知p:0<a<1.
函数的定义域为R，等价于，
则：，解得：，即，
所以实数的取值范围是.
1．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
2．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易得集合,所以，故选C．
3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合，则中元素的个数为
A．9 B．8
C．5 D．4
【答案】A
【解析】，当时，；当时，；当时，,所以共有9个元素，选A．
4．（2018天津理科）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
9