2015年北京市中考数学试卷.docx

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绝密★ 启用前

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此

北京市 2015 年高级中学招生考试
数 学
本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)
6. 如图,公路 AC , BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点C
被湖隔开,若测得 AM 的长为1.2 km ,则 M , C 两点间的
距离为 ( )
A. 0.5 km B. 0.6 km
C. 0.9 km D.1.2 km
7. 某市 6 月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)

1. 截止到 2015 年 6 月 1 日,北京市已建成34 个地下调蓄设施,蓄水能力达到140 000 立
方米.将140 000 用科学记数法表示应为 ( )
这组数据中,众数和中位数分别是 ( )
A. 21, 21
B. 21, 21.5
C. 21, 22

考生号
卷 A. 14 ´104
B.1.4´105
C.1.4´106
D. 0.14´106
D. 22, 22

2. 实数 a, b, c, d 在数轴上的对应点的位置如
图所示,这四个数中,绝对值最大的是
( )
上 A. a B. b C. c D. d
3. 一个不透明的盒子中装有3 个红球、 2 个黄球和1个绿球,这些球除了颜色外无其他差别,从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为 ( )
8. 如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图.若这个坐标系分别以正东、正北方向为 x 轴、
y 轴的正方向.表示太和门的点坐标为(0, -1) ,表示九龙壁的点的坐标为(4,1) ,则表示下列宫殿的点的坐标正确
的是 ( )
A.景仁宫(4, 2)

姓名
A. 1
答 6
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
B.养心殿(-2,3)
C.保和殿(1,0)

4.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为 ( )
题
D.武英殿(-3.5, -4)
会员年卡类型
办卡费用(元)
每次游泳收费(元)
A 类
50
25
B 类
200
20
C 类
400
15

9. 一家游泳馆的游泳收费标准为30 元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠：

毕业学校
A
B
C
D

5.如图,直线 l1 , l2 , l3 交于一点,直线 l4∥l1 ,若Ð1 =124 ,
Ð2 = 88,则Ð3 的度数为 ( )


例如,购买A 类会员卡,一年内游泳20 次,消费50 + 25´ 20 = 550 元,若一年内在该游

无
A. 26
B. 36
C. 46
D. 56
效


数学试卷 第 1 页（共 8 页）
泳馆游泳的次数介于45 55 次之间,则最省钱的方式为 ( )
A.购买A 类会员年卡 B.购买B 类会员年卡
C.购买C 类会员年卡 D.不购买会员年卡

数学试卷 第 2 页（共 8 页）

10. 一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示 , 通道由在同一平面内 的 15.北京市 2009—2014 年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息,

AB, B C, C A,
OO,BA OC, 组成.为记录寻宝者的进行路线,在 BC 的中点 M 处放置了
预估 2015 年北京市轨道交通日均客运量约 万人次, 你的预估理由

O
一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为 x ,寻宝者与定位仪器之间的距离为 y ,若寻宝者匀速行进,且表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示,则寻宝者的行进路线可能为 ( )
是 .

A. A ® O ® B


B. B ® A ® C


C. B ® O ® C


D. C ® B ® O
16.阅读下列材料：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段 AB ．

求作：线段 AB 的垂直平分线
在数学课上,老师提出如下问题：

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.把答案填写在题中的横线上)

11.分解因式： 5x2 -10x2 + 5x = .
12. 如 图 是 由 射 线 AB , BC , CD , DE , EA 组 成 的 平 面 图 形 , 则
Ð1+ Ð2 + Ð3 + Ð4 + Ð5 = .

13. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的


小芸的作法如下：
如图，
（1） 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB
的长为半径作弧，两弧相交于C、D 两点；
（2） 作直线CD
所以直线CD 就是所求作的垂直平分线

老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作图依据是 .
三、解答题(本题共 13 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)
17.(本小题满 5 分)

基本框架.它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术.其中, 方程术是《九章算术》最高的数学成就.
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二,直金十两；牛二、羊五,直
计算： (1)-2 - (π -
2

18.(本小题满 5 分)
7)0 +
3 - 2 + 4sin 60.

金八两.问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5 头牛、 2 只羊,值金10 两； 2 头牛、5 只羊,值金8 两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
已知2a2 + 3a - 6 = 0 .求代数式3a(2a +1) - (2a +1)(2a -1) 的值.

19.(本小题满 5 分)
íx - 5＜
ì4(x + 1)≤7x +10,

设每头牛值金 x 两,每只羊值金 y 两,可列方程组为 .
14. 关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + 1 = 0 有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实
4
数 a,b 的值： a = , b = .
解不等式组ï
ïî
x - 8 , 3
并写出它的所有非负整数解.

数学试卷 第 3 页（共 8 页） 数学试卷 第 4 页（共 8 页）

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20.(本小题满 5 分) 如图, 在 △ABC

中, AB = AC , AD 是 BC 边上 的 中 线 ,
25.(本小题满 5 分)
阅读下列材料：

BE ^ AC 于点 E .
在 求证： ÐCBE = ÐBAD .

21.(本小题满 5 分)
为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到
2013 年底,全市已有公租自行车 25 000 辆,租赁点600 个.预计到 2015 年底,全市将
此 有公租自行车50 000 辆,并且平均每个租赁点的公租自行车数量是 2013 年底平均每
个租赁点的公租自行车数量的1.2 倍.预计到 2015 年底,全市将有租赁点多少个？

考生号
22.(本小题满 5 分)
D
F
C
A
E
B
卷 在□ ABCD 中,过点 D 作 DE ^ AB 于点 E , 点 F 在边
CD 上, DF = BE ,连接
AF, BF .
(1) 求证：四边形 BFDE 是矩形；
(2) 若CF = 3, BF = 4 , DF = 5 ,求证： AF 平分ÐDAB .
上
2015 年清明小长假,北京市属公园开展以 “清明踏青,春色满园”为主题的游园活动,虽然气温小幅走低,但游客踏青赏花的热情很高,市属公园游客接待量约为190 万人次.其中,玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧,两公园的游客接待量分别为38 万人次、21.75 万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地,游客接待量分别为26 万人次、 20 万人次、17.6 万人次；北京动物园游客接待量为18 万人次,熊猫馆的游客密集度较高.
2014 年清明小长假,天气晴好,北京晴好,北京市属公园游客接待量约为 200 万人
次,其中,玉渊潭公园游客接待量比 2013 年清明小长假增加了25% ；颐和园游客接待
量为26.2 万人次,比 2013 年清明小长假增加了4.6 万人次；北京动物园游客接待量为
22 万人次.
2013 年清明小长假,玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32 万人次、13 万人次、14.9 万人次.
根据以上材料回答下列问题：
(1) 2014 年清明小长假,玉渊潭公园游客接待量为 万人次；
(2) 选择统计表或统计图,将 2014—2015 年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来.

26.(本小题满 5 分)
有这样一个问题：探究函数 y= 1 x2 + 1 的图象与性质.

姓名
2 x

答
23.(本小题满 5 分)
在平面直角坐标系 x Oy中, 直线 y = kx+ b( P(2, m),与 x 轴、 y 轴分别交于点 A, B .

k¹0 )与双曲线 y = 8 的一个交点为
x
小东根据学习函数的经验,对函数 y= 1 x2 + 1 的图象与性质进行了探究.
2 x
下面是小东的探究过程,请补充完成：
(1) 函数 y= 1 x2 + 1 的自变量 x 的取值范围是 ；

(1) 求 m 的值； 2 x

(2) 若 PA = 2AB ,求 k 的值.

毕业学校
题
24.(本小题满 5 分)
如图,AB 是 O 的直径,过点 B 作 O 的切线 BM ,弦CD∥BM ,交 AB 于点 F ,且
DA = DC ,连接 AC , AD ,延长 AD 交 BM 地点 E . (1)求证： △ACD 是等边三角形；
无 (2)连接OE ,若 DE = 2 ,求OE 的长.
(2) 下表是 y 与 x 的几组对应值.

x
…
-3
-2
-1
- 1
2
- 1
3
1

3
1

2
1
2
3
…

y

…
25

6
3

2
- 1
2
- 15
8
- 53
18
55

18
17

8
3

2
5

2

m

…
求 m 的值；
(3) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象；
(4) 进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐

标是
3
(1, )
2
.结合函数的图象,写出该函数的其他性质( 一条即

效 数学试卷 第 5 页（共 8 页）
可)： .

数学试卷 第 6 页（共 8 页）

27.(本小题满 7 分)
1
在平面直角坐标系 xOy 中,过点(0, 2) 且平行于 x 轴的直线,与直线 y = x -1交于点 A , 点 A 关于直线 x = 1的对称点为 B ,抛物线C : y = x2 + bx + c 经过点 A, B .
(1) 求点 A, B 的坐标；
(2) 求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标；
2
(3) 若抛物线 C2 : y = ax (a ¹ 0) 与线段 AB 恰有
29.(本小题满 8 分)
C
在平面直角坐标系 xOy 中, C 的半径为 r , P 是与圆 C 不重合的点,点 P 关于 O 的反称点的定义如下：若在射线CP
上存在一点 P¢ ,满足CP + CP¢ = 2r ,则称 P ' 为点 P 关于
的反称点,下图为点 P 及其关于 C 的反称点 P ' 的示意图. 特别地,当点 P ' 与圆心C 重合时,规定CP ' = 0 .

一个公共点,结合函数的图象,求 a 的取值范围.
(1) 当 O 的半径为 1 时：
N ( , 0)
①分别判断点 M (2,1) , 3
2

, T (1, 3) 关于 O 的反称点

是否存在？若存在,求其坐标；
②点 P 在直线 y = -x + 2 上,若点 P 关于 O 的反称点 P¢ 存在,且点P¢ 不在 x 轴上,
3
求点 P 的横坐标的取值范围；

(2) 当 C 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线 y = -
3 x + 2
3
与 x 轴、 y 轴分别交于点

备用图

28.(本小题满 7 分)
在正方形 ABCD 中, BD 是一条对角线.点 P 在射线CD 上(与点C、D 不重合),连接
AP ,平移△ADP ,使点 D 移动到点C ,得到DBCQ ,过点Q 作 QH ^ BD 于 H ,连接
AH , PH .
(1) 若点 P 在线段CD 上,如图 1，
①依题意补全图 1；
②判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明；
(2) 若点 P 在线段CD 的延长线上,且ÐAHQ =152° ,正方形 ABCD 的边长为 1,请写
出求 DP 长的思路.(可以不写出计算结果)
A, B .若线段 AB 上存在点 P ,使得点 P 关于 C 的反称点 P¢ 在 C 的内部,求圆心
C 的横坐标的取值范围.

数学试卷 第 7 页（共 8 页） 数学试卷 第 8 页（共 8 页）