2022年北京市中考数学试卷-答案.docx

北京市 2015 年高级中学招生考试
数学答案解析
第Ⅰ卷

一、选择题
1. 【答案】B
【解析】科学记数法是将一个数写成a ´10n 的形式，其中1 £| a |< 10 ， n 为整数。用科学计数法表示一个数的关键是确定 a 和 n 的值。①确定a ： a 是只有一位整数的数，即1£ a <10 ；②确定 n ：当| 原数|³10 时， n 等于原数的整数位数减去 1（或等于原数变为a 时，小数点移动的位数）；当0 <| 原数|<1时，n 是负整数，
n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零）（或n 的绝对值等于原数变a 时，小数点移动的位数）。140 000 =1.4´105 ，故选 B。
【考点】科学记数法
2. 【答案】A
【解析】数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，所以a 的绝对值最大，故选A。
【考点】有理数绝对值大小的比较
3. 【答案】B
【解析】从 3 个红球，2 个黄球，1 个绿球中随机摸出一个小球是黄球的概率是 2 = 1 ，故选 B。
6 3

【考点】概率的计算
4. 【答案】D
【解析】轴对称图形为沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能重合的图形，四个选项中只有 D 选项可以沿一条直线折叠，且折叠后直线两侧的部分能够重合，故选 D。
【考点】轴对称图形的判断
5. 【答案】B
【解析】因为l1 //l2 ，所以Ð1=Ð3+Ð4=124° ，因为Ð2=Ð4=88° ，所以Ð3=124° -Ð4=124° -88°=36° ，故选
B。
【考点】平行线性质的应用

13 / 13

6. 【答案】D
【解析】由题意及图形知 MC = 1 AB = AM = 1.2 km ，故选 D。
2

【考点】直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
7. 【答案】C
【解析】观察条形图可知 6 月份气温是20℃的天数有 4 天，气温是21℃的天数有 10 天，气温是22℃的天数有 8 天，气温是23℃的天数有 6 天，气温是24℃的天数有 2 天，共 30 天，第 15，16 两个数均处于22℃， 所以中位数为22℃，从条形图可以看出众数为21℃，故选 C。
【提示】解题的关键在于根据条形图观察出隐含信息，然后作答，难度中等。
【考点】众数、中位数的计算
8. 【答案】B
【解析】根据太和门及九龙{壁的坐标建立平面直角坐标系，其中，中和殿的坐标为(0，0) ，则景仁宫的坐标为(2，4) ，养心殿的坐标为(-2，3) ，保和殿的坐标为(0，1) ，武英殿的坐标为(- 3.5，-3) ，故选 B。
【提示】原点的位置找错或是观察图形时在确定点的坐标过程出现错误。
【考点】根据实际已知点的坐标建立平面直角坐标系，判断相应点的坐标
9. 【答案】C
【解析】由于题目所给的条件是一个范围(45~55 次)，根据特殊与一般的关系，为使计算方便选择次数为 50
进行计算，购买 A 类会员年卡游泳 50 次的费用为50 + 25´50 =1 300 元；购买 B 类会员年卡游泳 50 次的
费用为200 + 20´50 =1 200 元；购买 C 类会员年卡游泳 50 次的费用为400 +15´50 =1 150 元，不购买会员卡需要的费用为30´50 =1 500 元，所以最省钱的方式为购买 C 类会员年卡，故选C。
【提示】解题的关键在于根据题意建立费用关系式，不能根据范围进行特殊化处理解题。
【考点】多种消费方式的费用比较
10. 【答案】C
【解析】从各选项出发，探究 y 与 x 的函数关系大致图象：A ® O ® B 的路线与到M 点的距离先减小，再增大的过程，函数图象没有对称关系，不符合图 2，故错误； B ® A ® C 的路线与到 M 点的距离先减小， 再增大，达到最大值后再减小，减小到最小值后再增大，且在图象中两个最小值点靠近外侧图象成对称关系，不符合图 2，故错误； B ® O ® C 的路线，作 ME ^ OB 于点E。 MF ^ OC 于点 F，从 B 出发，到M

点的距离越来越小，当到点E 时达到最小值，后 y 变得越来越大，当到达点 O 时达到一较大值，然后又逐渐减小，到点 F 时达到最小值，后又逐渐增大，到点 C 时达到最大，符合图 2，故正确； C ® B ®O的路线由C 到B 的过程中 y 的值可以等于 0，而图象中没有这种情况，故错误，故选C。

【提示】不能将运动路径上的 x 与 y 建立关系，从而无法解决问题。

【考点】根据实际问题确定函数的图象

第Ⅱ卷

二、填空题
11. 【答案】5x(x -1)2

【解析】原式= 5x(x2 - 2x +1) = 5x(x -1)2

【考点】分解因式
12. 【答案】360°
【解析】凸多边形的外角和等于360° ，所以这 5 个角的和为360° 。
【提示】不能将问题转化为求多边形的外角和从而不能快速解决问题。
【考点】多边形外角和的计算
ì5x + 2 y=10,
î
13. 【答案】í2x + 5 y=8

í2x + 5 y=8
【解析】依题意得5x + 2y =10 ； 2x + 5y = 8 ，所以此方程组为ì5x + 2 y=10,
î

【考点】用二元一次方程组解决实际问题
14. 【答案】a = 1， b = 1

【解析】由题意得D = b2 - 4ac =
b = 1或-1 等。
b2 - a = 0 ，所以a = b2 ，写出满足此条件的一对未知数的值即可，如a = 1 ，

【考点】一元二次方程根的情况的讨论
15. 【答案】1 000

增长趋势变缓
【解析】从折线图分析 2013 年比 2012 年增加了 210 万人，2014 年比 2013 年增加了 50 万人，由于 2014 年
的比 2013 年的增速变缓，所以 2015 年北京市轨道交通日均客运量约 1 000 万人次，预估理由是轨道交通日均客运量增长趋势变缓。
【提示】预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据。
【考点】对统计图的意义的理解
16. 【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
【解析】依据线段垂直平分线的逆定理和直线公理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线，从而做出线段 AB 的垂直平分线。
【考点】线段垂直平分线的尺规作图

三、解答题

3
17. 【答案】5+

【解析】解：原式=4 -1+2 -

3
=5+


3+4 ´ 3
2

【考点】实数的相关计算
18. 【答案】7
【解析】解：原式=6a2 + 3a - 4a2 +1 = 2a2 + 3a +1
=(2a2 + 3a- 6) + 7 = 7

【提示】解题关键在于运用整式乘法则化简代数式，然后利用整体代入法求代数式的值。

【考点】代数式的化简求值
19.【答案】0，1，2，3


ì4(x+1) 7x+10 ， ①
ï

【解析】解：原不等式组为íx - 5< x - 8 ②
ïî 3

解不等式①得 x ³ -2 ，
解不等式②得 x< 7 ，
2
\原不等式组的解集为-2 £ x < 7 ，
2
\原不等式组的所有非负整数解为 0，1，2，3
【提示】分别解两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在不等式组的解集中确定它所有的非负整数解。

【考点】不等式组的解法

20. 【答案】证明：
AB = AC ， AD 是 BC 边上的中线，

\ AD ^ BC ，ÐBAD = ÐCAD
BE ^ AC ，\ÐBEC = ÐADC=90°
\ÐCBE = 90° -ÐC ，ÐCAD = 90° -ÐC
\ÐCBE = ÐCAD ，\ÐCBE = ÐBAD
【解析】
【考点】等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质
21. 【答案】1 000
【解析】解：设预计到 2015 年底，全市将有租赁点 x 个。
由题意得1.2 ´ 25 000 = 50 000 ，
600 x
解得 x =1 000 ，
经检验， x =1 000 是原方程的解，且符合题意。
答：预计到 2015 年底，全市将有租赁点 1 000 个。
【提示】解题关键在于根据题意列出分式方程求解，最后要对方程的解进行检验。
【考点】分式方程的应用
22. 【答案】（1）证明：∵在 ABCD ， AB//CD

∵ DF = BE ，∴四边形 BFDE 是平行四边形
DE ^ AB ，∴ ÐDEB = 90° ，
∴四边形 BFDE 是矩形；
（2）证明：由（1）得ÐBFC = 90°

在 RtDBFC 中，由勾股定理可得 BC = 5 ，
\ AD = BC = 5 ，\ AD = DF
\ÐDAF = ÐDFA.
AB//CD ，\ÐDFA = ÐFAB
\ÐDAF = ÐFAB ，\ AF 平分
【解析】（1）
（2）
【提示】解题的关键在于根据勾股定理 BC 的长
【考点】矩形的判定，平行线的性质，角平分线的判定
23. 【答案】（1） m = 4
（2） k = 1或k = 3
【解析】（1）解：∵双曲线 y = 8 经过 P（2，m），\m = 4
x
（2）由题意可知k > 0
当直线经过第一、二、三象限时，如图 1

过点 P 作 PH ^ x 轴于点 H ，
可得△PHA △BOA ，
PA = 2 AB ，\ PH = PA = 2
BO BA
PH = 4
，\OB = 2
\点 B 的坐标为(0，2) ．
由直线经过点 P，B ，可得k = 1
当直线经过第一、三、四象限时，如图 2

同理，由 PA = 2AB ，
可得点 B 的坐标为（0，- 2） 由直线经过点 P, B ，可得k = 3 综上所述， k = 1或k = 3
【提示】解题的关键在于根据题意结合图形进行分类讨论，从而确定k 的值
【考点】一次函数与反比例函数的综合，相似三角形的判定及性质
24. 【答案】（1）证明： AB 是 O 的直径， BM 是 O 的切线，

\ AB ^ BM
CD//BM ，\ AB ^ CD ，\ AD = AC

DA=DC ，\ AD= AC=DC

\ AD = AC = DC
\△ACD 是等边三角形
（2）连接 BD ，如图.

AB 是 O 的直径，\ÐADB = 90°
ÐABD = ÐC = 60° ，\ÐDBE = 30°
3
在 RtDBDE 中， DE = 2 ，可得 BE = 4, BD = 2

3
在 RtDABD 中，可得 AB = 4

\OB = 2 3.

7
在 RtDOBE 中，有勾股定理可得OE = 2

【考点】圆的相关性质，三角函数，勾股定理
25.【答案】解：（1）40
（2）统计表如下：
2013~2015 年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量统计表（单位：万人次）

游客接待量 公园年份

玉渊潭公园

颐和园

北京动物园
2013 年
32
21.8
14.9
2014 年
40
26.2
22
2015 年
38
26
18

【解析】（1）2013 年的人数乘以（1+ 25%）即可求解；
（2） 求出 2014 年颐和园的游客接待量，然后利用统计表即可表示
【提示】根据相关材料分析数据，再利用统计图表反映事物之间规律，解题的关键在于根据题意选择合适的统计图表展现此规律。

【考点】综合与实践
26.【答案】（1） x ¹ 0
（2） 29
6
（3） 该函数的图象如下图所示.
（4） 该函数的其他性质：
①当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小； 当0 < x <1时， y 随 x 的增大而减小； 当 x ³ 1 时， y 随 x 的增大而增大.
②函数的图象经过第一、二、三象限.
③函数的图象与 y 轴无交点，图象由两部分组成.
【解析】（1）由图表可知 x ¹ 0 ；
（2）当 x = 3 时， y = 29 ，\m = 29
6 6

（3） 根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4） 观察图象即可得出该函数的其他性质
【提示】解题关键在于根据题意进行操作与计算，然后通过观察图形确定相关的结论。
【考点】归纳探究能力
27.【答案】（1） (-1，2)
（2） (1 ，- 2)
（3） 2 £ a < 2
9
【解析】解：（1）由题意可得点 A 的纵坐标为 2，
\x -1 = 2 ，解得 x = 3 ，\点 A 的坐标为(3 ，2)

\点 B 与点 A 关于直线 x = 1 对称，
\点 B 的坐标为(-1，2)
1
（2） 抛物线C ： y = x2 + bx + c 经过点 A ， B ，

ìï32 + 3b + c = 2 ，
\ í(-1)2 - b - +c = 2
ìb = -2 ，
解得íc = -1 ，

ïî ， î

1
\抛物线C 的表达式为 y = x2 - 2x -1，

y = x2 - 2x -1=(x -1)2 - 2 ，

\抛物线C1 的顶点坐标为(1 ，- 2)
（3） 由题意可知a > 0
当抛物线C2 经过点 B 时， a = 2 ，此时抛物线C2 与线段 AB 有两个公共点，不符合题意
当抛物线C 经过点 A 时， a = 2

2 9
结合函数的图象可知a 的取值范围为 2 £ a < 2
9

【提示】解题的关键在于根据题意画出图形，然后根据图形，通过数形结合、分类讨论进行分析得出结论。
【考点】二次函数
28.【答案】（1）解：①补全图形，如图 1 所示

② AH 与 PH 的数量关系： AH = PH ，位置关系： AH ^ PH
证明：如图 1
由平移可知 PQ = DC
四边形 ABCD 是正方形，
\ AD = DC ，ÐADB = ÐBDQ = 45° ，\ AD = PQ QH ^ BD ，\ÐHQD = ÐHDQ = 45° ，
\HD = HQ ，ÐADB = ÐDQH ，\△ADH≌△PQH ，
\ AH = PH ，ÐAHD = ÐPHQ ，

\ ÐAHD+ÐDHP = ÐPHQ+ÐDHP
即ÐAHP=ÐDHQ = 90° ，\ AH ^ PH
（2） 求解思路如下：
a . ÐAHQ =152° 画出图形，如图 2 所示.
b .与②同理证△AHD @ △PHQ ，可得 AH = PH ；
c .由ÐAHP = ÐAHD - ÐPHD = ÐPHQ - ÐPHD = 90° ，
可得△AHP 是等腰直角三角形；
d .由ÐAHQ =152° ，ÐBHQ = 90° ，
可求ÐBHA ，ÐDAH ，ÐPAD 的度数；
e .在 RtDADP 中，由ÐPAD 的度数和 AD 的长，可求 DP 的长
【提示】解题的关键在于根据题意画出图形，利用图形通过数形结合及相关知识求得结论。
【考点】正方形的性质，三角形全等的判定及性质
29．【答案】（1）① (0，0)
② 0 < x < 2
（2） 2 £ x £ 8
【解析】（1）①点 M 关于 O 的反称点不存在；点 N 关于 O 的反对称点存在，坐标为（1 ，0）；
2
点T 关于 O 的反称点存在，坐标为(0，0)
②如图 1，直线 y = -x + 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 E(2，0) ，点 F(0，2)

设点 P 的横坐标为 x
（i） 当点 P 在线段 EF 上，即0 £ x £ 2 时， 0 < OP £ 2 ，
\在射线OP 上一定存在一点 P¢ ，使得OP + OP¢ = 2 ，
\点 P 关于 O 的反称点存在，其中点 P 与点 E 或点 F 重合时， OP = 2 ，点 P 关于 O 的反称点为 0，不符合题意，\ 0 < x < 2
（ii） 当点 P 不在线段 EF 上，即 x < 0 或 x > 2 时， OP > 2 ，
\对于射线OP 上任意一点 P¢ ，总有OP + OP ' > 2 ，
\点 P 关于 O 的反称点不存在
综上所述，点 P 的横坐标 x 的取值范围是0 < x < 2
（2）若线段 AB 上存在点 P ，使得点 P 关于 C 的反称点 P¢ 在 C 的内部，则1< CP £ 2
依题意可知点 A 的坐标为(6，0) ，点 B 的坐标为（0，2 3）ÐBAO = 30°

设圆心C 的坐标为(x，0)
①当 x < 6 时，过点C 作CH ^ AB 于点 H ，如图 2，

\0 < CH £ CP £ 2 ，\0 < CA £ 4 ，
\0 < 6 - x £ 4 ，\2 £ x<6 ，
并且，当2 £ x < 6 时， CB > 2 ， CH £ 2 ，
\在线段 AB 上一定存在点 P ，使得CP = 2 ，
\此时点 P 关于 C 的反称点为C ，且点C 在 C 的内部，\ 2 £ x < 6
②当 x ³ 6 时，如图 3．

\0 £ CA £ CP £ 2 ，

\0 £ x - 6 £ 2 ，\6 £ x £ 8
并且，当6 £ z £ 8时， CB > 2 ， CA £ 2 ，
\在线段 AB 上一定存在一点 P ，使得CP = 2 ，
\此时点 P 关于 C 的反称点为C ，且点C 在 C 的内部，\ 6 £ x £ 8
综上所述，圆心C 的横坐标 x 的取值范围是2 £ x £ 8 ．
【提示】理解新定义，然后利用新定义的思想方法解决问题，解题的关键在于根据题意画出图形，然后根据图形进行分类讨论确定问题的结果
【考点】新定义