2023版高考数学一轮复习第7章不等式第4节基本不等式课时跟踪检测文新人教A版.doc

第四节　根本不等式
A级·根底过关|固根基|
1.假设a，b∈R，且ab>0，那么以下不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
解析：选D　对于A，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误；对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误；
对于D，因为ab>0，所以>0，>0，
所以＋≥2＝2，正确．
2．(2023届安徽省六校联考)假设正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，那么M的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　因为正实数x，y满足x＋y＝2，
所以0<xy≤＝＝1，
所以≥1.
又因为≥M恒成立，
所以M≤1，即M的最大值为1.
3．a>0，b>1，且a＋b＝2，那么＋的最小值为(　　)
A．4＋2 B．8
C．4 D．2
解析：选A　因为a>0，b>1，a＋b＝2，
所以＋＝(a＋b－1)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，
当且仅当a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为4＋2.应选A.
4．(2023届长春市质量检测一)x>0，y>0，且4x＋y＝xy，那么x＋y的最小值为(　　)
A．8 B．9
C．12 D．16
解析：选B　由4x＋y＝xy，得＋＝1，那么x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝〞，应选B.
5.函数f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，那么＋的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．9 D．10
解析：选C　由f(x)＝ax3＋bx2－x，得f′(x)＝ax2＋bx－1，那么f′(1)＝a＋b－1＝0，
即a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，应选C.
6．x>0，y>0，2x＋y＝3，那么xy的最大值为________．
解析：xy＝＝×2xy≤×＝，当且仅当2x＝y＝时取等号．
答案：
7．某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x的值是________．
解析：一年购置次，那么总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
8．在各项都为正数的等比数列{an}中，假设a2 018＝，那么＋的最小值为________．
解析：∵{an}为各项都为正数的等比数列，∴a2 017·a2 019＝a＝.
∴＋≥2＝2＝4，
当且仅当＝，即a2 019＝2a2 017时取得等号．
∴＋的最小值为4.
答案：4
9．x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.
又x>0，y>0，那么1＝＋≥2＝ ，
解得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时等号成立，
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
那么x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
10．(1)0<x<，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．
解：(1)0<x<，所以0<3x<4.
所以x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝〞成立，
所以当x＝时，x(4－3x)取最大值为.
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，
所以x＋2y＝3.又2x>0，4y>0.
所以2x＋4y≥2＝2＝2＝4.
当且仅当即x＝，y＝时“＝〞成立，
所以当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.
B级·素养提升|练能力|
11.x>0，y>0，且2x＋4y＋xy＝1，那么x＋2y的最小值是________．
解析：令t＝x＋2y，那么2x＋4y＋xy＝1可化为1＝2x＋4y＋xy≤2(x＋2y)＋＝2t＋.因为x>0，y>0，所以x＋2y>0，即t>0，所以t2＋16t－8≥0，解得t≥6－8，即x＋2y的最小值是6－8.
答案：6－8
12．正实数a，b满足a＋b＝4，那么＋的最小值为________．
解析：因为a＋b＝4，所以a＋1＋b＋3＝8，所以＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]
＝≥(2＋2)＝，
当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，
所以＋的最小值为.
答案：
13．当t∈[1，＋∞)时，不等式mt2＋4t＋2m<0恒成立，那么实数m的取值范围是________．
解析：由题意及不等式别离参数得，m<－＝－(t≥1)恒成立，由根本不等式可得t＋≥2＝2(当且仅当t＝时取等号)，所以－的最小值为－，所以m<－.
答案：(－∞，－)
14．如图，某生态园将一块三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
(1)假设围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
(2)AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．假设围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
解：设AP＝x米，AQ＝y米．
(1)那么x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin 120°＝xy，所以S≤ ＝2 500.
当且仅当即x＝y＝100时取“＝〞，
那么AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大．
(2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75＋，当y＝时，PQ有最小值，此时x＝，即AP长为米，AQ长为米时，可使竹篱笆用料最省．
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