2022高考数学一轮复习统考第7章不等式第4讲基本不等式课时作业含解析北师大版.doc

第4讲 根本不等式
课时作业
1．(2022·河北保定统考)x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy(　　)
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值 D．有最小值
答案　C
解析　因为x>0，y>0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．所以xy有最大值，且最大值为.
2．假设a，b都是正数，那么的最小值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　C
解析　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．故的最小值为9.
3．(2022·长春质量监测一)x>0，y>0，且4x＋y＝xy，那么x＋y的最小值为(　　)
A．8 B．9
C．12 D．16
答案　B
解析　由4x＋y＝xy得＋＝1，那么x＋y＝(x＋y)·＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝〞，即x＋y的最小值为9.应选B.
4．“a>b>0”是“ab<〞的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由a>b>0得，a2＋b2>2ab，即ab<；但由a2＋b2>2ab不能得到a>b>0，故“a>b>0”是“ab<〞的充分不必要条件，应选A.
5．(2022·河北石家庄模拟)假设正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，那么xy的最大值为(　　)
A. B.
C. D．2
答案　D
解析　因为30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，即30≥15xy，所以xy≤2，当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．故xy的最大值为2.
6．a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，那么m＋n的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　B
解析　∵ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.应选B.
7．(2022·秦皇岛模拟)函数y＝(x>1)的最小值是(　　)
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
答案　A
解析　∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2(当且仅当x＝1＋时取“＝〞)，即函数y＝(x>1)的最小值是2＋2.应选A.
8．(2022·陕西咸阳质检)x＋y＝3，那么2x＋2y的最小值是(　　)
A．8 B．6
C．3 D．4
答案　D
解析　因为2x>0,2y>0，x＋y＝3，所以由根本不等式得2x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝2y，即x＝y＝时等号成立，即2x＋2y的最小值是4.应选D.
9．(2022·湖南长沙模拟)假设实数a，b满足＋＝，那么ab的最小值为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
答案　C
解析　由＋＝，知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝〞，所以ab的最小值为2.应选C.
10．(2022·郑州质检)a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋＋＝5，那么a＋b的取值范围是(　　)
A．[1,4] B．[2，＋∞)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
答案　A
解析　因为a＋b＋＋＝(a＋b)＝5，又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋b＝≤，当且仅当a＝b时等号成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4.
11．(2022·合肥市高三调研)a>b>0，那么a＋＋的最小值为(　　)
A. B．4
C．2 D．3
答案　D
解析　因为a>b>0，所以a＋＋＝≥＋＝2＋＝3，当且仅当
即a＝，b＝时等号成立，所以a＋＋的最小值为3.应选D.
12．(2022·上海模拟)设x，y均为正实数，且＋＝1，那么xy的最小值为(　　)
A．4 B．4
C．9 D．16
答案　D
解析　＋＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.应选D.
13．(2022·天津高考)设x>0，y>0，x＋2y＝4，那么的最小值为________．
答案　
解析　＝＝
＝2＋.
∵x>0，y>0，且x＋2y＝4，
∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，
∴2xy≤4，∴≥，∴2＋≥2＋＝.
故的最小值为.
14．(2022·北京朝阳区摸底)x>1，且x－y＝1，那么x＋的最小值是________．
答案　3
解析　∵x>1且x－y＝1，∴y＝x－1>0，
∴x＋＝x＋＝(x－1)＋＋1
≥2＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)．∴x＋的最小值为3.
15．x，y都是非负实数，且x＋y＝2，那么的最小值为________．
答案　
解析　∵x，y都是非负实数，且x＋y＝2，∴x＋2＋y＋4＝8，∴8≥2，即≥，当且仅当x＝2，y＝0时取等号，那么≥＝，即的最小值为.
16．(2022·湖北八校联考)正数a，b满足2a2＋b2＝3，那么a的最大值为________．
答案　
解析　∵正数a，b满足2a2＋b2＝3，∴a＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝，当且仅当a＝，即a＝1，b＝1时，等号成立．故a的最大值为.
17．(2022·贵阳模拟)正实数x，y满足等式＋＝2.
(1)求xy的最小值；
(2)假设3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.
(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.
18．(2022·郑州模拟)假设a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解　(1)因为a>0，b>0，且＋＝，
所以＝＋≥2，所以ab≥2，
当且仅当a＝b＝时取等号．
因为a3＋b3≥2≥2＝4，
当且仅当a＝b＝时取等号，
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)可知，2a＋3b≥2＝2≥4>6，
故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立．