2022届高考数学总复习教学案数列求和.docx

第四节数_列_求_和知识能否忆起一、公式法1如果一个数列是等差数列或等比数列，那么求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q1或q1.2一些常见数列的前n项和公式：(1)1234n；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的2分组转化求和法假设一个数列的通项公式是由假设干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，那么求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和小题能否全取1(2022沈阳六校联考)设数列(1)n的前n项和为Sn，那么对任意正整数n，Sn()A.B.C.D.解析：选D因为数列(1)n是首项与公比均为1的等比数列，所以Sn.2等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项的和为Sn，那么数列的前10项的和为()A120B70C75D100解析：选CSnn(n2)，n2.故75.3数列a12，ak2k，a1020共有十项，且其和为240，那么a1aka10的值为()A31B120C130D185解析：选Ca1aka10240(22k20)240240110130.4假设数列an的通项公式为an2n2n1，那么数列an的前n项和为_解析：Sn2n12n2.答案：2n1n225数列，的前n项和为_解析：因an那么Sn.答案：数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，假设无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择适宜的方法求和(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和分组转化法求和典题导入例1(2022山东高考)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)假设数列bn满足：bnan(1)nlnan，求数列bn的前2n项和S2n.自主解答(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an23n1.(2)因为bnan(1)nlnan23n1(1)nln(23n1)23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，所以S2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln2ln3)123(1)2n2nln32nln332nnln31.由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)假设anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.以题试法1数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和Sn的公式解：(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.错位相减法求和典题导入例2(2022江西高考)数列an的前n项和Snkcnk(其中c，k为常数)，且a24，a68a3.(1)求an；(2)求数列nan的前n项和Tn.自主解答(1)由Snkcnk，得anSnSn1kcnkcn1(n2)由a24，a68a3，得kc(c1)4，kc5(c1)8kc2(c1)，解得所以a1S12，ankcnkcn12n(n2)，于是an2n.(2)Tnai2i，即Tn2222323424n2n.Tn2TnTn22223242nn2n12n12n2n1(n1)2n12.由题悟法用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn与“qSn的表达式时应特别注意将两式“错项对齐以便下一步准确写出“SnqSn的表达式(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解以题试法2(2022济南模拟)等比数列an的前n项和为Sn，且满足Sn3nk.(1)求k的值及数列an的通项公式；(2)假设数列bn满足(4k)anbn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当n2时，由anSnSn13nk3n1k23n1，得等比数列an的公比q3，首项为2.a1S13k2，k1，数列an的通项公式为an23n1.(2)由(4k)anbn，可得bn，即bn.Tn，Tn，Tn，Tn.裂项相消法求和典题导入例3数列an的前n项和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.自主解答(1)Snnann(n1)，当n2时，Sn1(n1)an1(n1)(n2)，anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)(n2)，即anan12.数列an是首项a11，公差d2的等差数列，故an1(n1)22n1，nN*.(2)由(1)知bn，故Tnb1b2bn1.本例条件不变，假设数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.解：Snnann(n1)n(2n1)n(n1)n2.bn，Tn1.由题悟法利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：假设an是等差数列，那么，.以题试法3(2022“江南十校联考)在等比数列an中，a10，nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4an，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得k对任意nN*恒成立假设存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由解：(1)设数列an的公比为q，由题意可得a316，a3a28，那么a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，0)，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设数列an的首项为a1，公差为d，那么由a59，a2a614，得解得所以an的通项an2n1.(2)由an2n1得bn2n1q2n1.当q0且q1时，Sn135(2n1)(q1q3q5q2n1)n2；当q1时，bn2n，那么Snn(n1)所以数列bn的前n项和Sn12(2022“江南十校联考)假设数列an满足：a1，a22,3(an12anan1)2.(1)证明：数列an1an是等差数列；(2)求使成立的最小的正整数n.解：(1)由3(an12anan1)2可得：an12anan1，即(an1an)(anan1)，故数列an1an是以a2a1为首项，为公差的等差数列(2)由(1)知an1an(n1)(n1)，于是累加求和得ana1(23n)n(n1)，3，3，n5，最小的正整数n为6.1数列an的前n项和Snn26n，那么|an|的前n项和Tn()A6nn2Bn26n18C.D.解析：选C由Snn26n得an是等差数列，且首项为5，公差为2.an5(n1)22n7，n3时，an3时，an0，Tn2(2022成都二模)假设数列an满足a12且anan12n2n1，Sn为数列an的前n项和，那么log2(S20222)_.解析：因为a1a2222，a3a42423，a5a62625，.所以S2022a1a2a3a4a2022a2022212223242202222022220222.故log2(S2 0122)log222 0132 013.答案：20223递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)假设bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.解：(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解得或又an为递增数列，an2n.(2)bn2nlog2nn2n，Sn12222323n2n.2Sn122223324(n1)2nn2n1.得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.Sn2n1n2n12.1an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项；(2)求数列2an的前n项和Sn.解：(1)由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1或d0(舍去)，故an的通项an1(n1)1n.(2)由(1)知2an2n，由等比数列前n项和公式得Sn222232n2n12.2设函数f(x)x3，在等差数列an中，a37，a1a2a312，记Snf()，令bnanSn，数列的前n项和为Tn.(1)求an的通项公式和Sn；(2)求证：Tn.解：(1)设数列an的公差为d，由a3a12d7，a1a2a33a13d12，解得a11，d3，那么an3n2.f(x)x3，Snf()an13n1.(2)证明：bnanSn(3n2)(3n1)，.Tn.Tn.3二次函数f(x)x25x10，当x(n，n1(nN*)时，把f(x)在此区间内的整数值的个数表示为an.(1)求a1和a2的值；(2)求n3时an的表达式；(3)令bn，求数列bn的前n项和Sn(n3)解：(1)f(x)x25x10，又x(n，n1(nN*)时，f(x)的整数个数为an，所以f(x)在(1,2上的值域为4,6)a12；f(x)在(2,3上的值域为a21.(2)当n3时，f(x)是增函数，故anf(n1)f(n)2n4.(3)由(1)和(2)可知，b12，b22.而当n3时，bn2.所以当n3时，Snb1b2b3b4bn222425.