2022届高考数学总复习教学案集合.docx

第一节集__合
[知识能否忆起]
一、元素与集合
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．集合中元素与集合的关系：
元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.
3．常见集合的符号表示：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示
N
N*或N＋
Z
Q
R
4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．
二、集合间的根本关系
描述关系
文字语言
符号语言
集合间的根本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
A中任意一元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆B
空集是任何非空集合的真子集
∅B(B≠∅)
三、集合的根本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
假设全集为U，那么集合A的补集为∁UA
图形表示

意义
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
[小题能否全取]
1．(2022·大纲全国卷)集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，那么(　　)
A．A⊆BB．C⊆B
C．D⊆CD．A⊆D
解析：选B选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.
2．(2022·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，那么A∩(∁RB)＝(　　)
A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3)D．(1,2)∪(3,4)
解析：选B因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．
3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，那么A∩B＝B时a的值是(　　)
A．2B．2或3
C．1或3D．1或2
解析：选D验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．
4.(2022·盐城模拟)如图，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影局部表示的集合为________．
解析：阴影局部表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2,8}．
答案：{2,8}
5．(教材习题改编)全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝，那么∁UA＝________.
解析：因为A＝，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；
n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.
故A＝{－2,2,1，－1}，
又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．
答案：{0}
1.正确理解集合的概念
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，假设未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，那么需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．

元素与集合
典题导入
[例1](1)(2022·新课标全国卷)集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，那么B中所含元素的个数为(　　)
A．3B．6
C．8D．10
(2)集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，假设M＝N，那么(m－n)2022＝________.
[自主解答](1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
(2)由M＝N知
或
∴或
故(m－n)2022＝－1或0.
[答案](1)D　(2)－1或0
由题悟法
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2．对于集合相等首先要分析元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．
以题试法
1．(1)(2022·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，假设P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，那么P＋Q中元素的个数为(　　)
A．9B．8
C．7D．6
(2)集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，那么a＝________.
解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．
(2)∵－3∈A，
∴－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，
与元素互异性矛盾，应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3.
∴a＝－满足条件．
答案：(1)B　(2)－

集合间的根本关系
典题导入
[例2](1)(2022·湖北高考)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，那么满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)
A．1B．2
C．3D．4
(2)集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，假设A⊆B，那么实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
[自主解答](1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
(2)由log2x≤2，得0<x≤4，
即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，
由于A⊆B，如下列图，那么a>4，即c＝4.
[答案](1)D(2)4
由题悟法
1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
以题试法
2．(文)(2022·郑州模拟)集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，假设B⊆A，那么实数m的值为(　　)
A．3B．2
C．2或3D．0或2或3
解析：选D当m＝0时，B＝∅⊆A；
当m≠0时，由B＝⊆{2,3}可得
＝2或＝3，
解得m＝3或m＝2，
综上可得实数m＝0或2或3.
(理)集合A＝{y|y＝}，B＝{x||x－m|<2022}，假设A∩B＝A，那么m的取值范围是(　　)
A．[－2 012,2 013]B．(－2022,2022)
C．[－2 013,2 011]D．(－2022,2022)
解析：选B集合A表示函数y＝的值域，由t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，可得0≤y≤1，故A＝[0,1]．
集合B是不等式|x－m|<2022的解集，解之得m－2022<x<m＋2022，所以B＝(m－2022，m＋2022)．
因为A∩B＝A，所以A⊆B.
如图，由数轴可得

解得－2022<m<2022.

集合的根本运算
典题导入
[例3](1)(2022·江西高考)假设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，那么集合{5,6}等于(　　)
A．M∪NB．M∩N
C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)
(2)(2022·安徽合肥质检)设集合A＝{x|x2＋2x－8<0}，B＝{x|x<1}，那么图中阴影局部表示的集合为(　　)
A．{x|x≥1}B．{x|－4<x<2}
C．{x|－8<x<1}D．{x|1≤x<2}
[自主解答](1)∵M∪N＝{1,2,3,4}，
∴(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5,6}．
(2)∵x2＋2x－8<0，
∴－4<x<2，
∴A＝{x|－4<x<2}，
又∵B＝{x|x<1}，
∴图中阴影局部表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．
[答案](1)D　(2)D
将例3(1)中的条件“M＝{2,3}〞改为“M∩N＝N〞，试求满足条件的集合M的个数．
解：由M∩N＝N得M⊇N.
含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，
含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，
含有6个元素的集合M有1个．
因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．
由题悟法
1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．
2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
以题试法
3． (2022·锦州模拟)全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，那么(∁UA)∩B等于(　　)
A．{x|x>2，或x<0}B．{x|1<x<2}
C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x≤2}
解析：选CA＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2，或x<0}，
B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，
∁UA＝{x|0≤x≤2}．
∴(∁UA)∩B＝{x|1<x≤2}．
1．(2022·新课标全国卷)集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，那么(　　)
A．A⊂BB．B⊂A
C．A＝BD．A∩B＝∅
解析：选BA＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，
B＝{x|－1<x<1}，
所以B⊂A.
2．(2022·山西四校联考)集合M＝{0,1}，那么满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是(　　)
A．2B．3
C．4D．8
解析：选C依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4个．
3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，假设P∩Q＝{0}，那么P∪Q＝(　　)
A．{3,0}B．{3,0,1}
C．{3,0,2}D．{3,0,1,2}
解析：选B因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0.所以P∪Q＝{3,0,1}．
4．(2022·辽宁高考)全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，那么(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)
A．{5,8}B．{7,9}
C．{0,1,3}D．{2,4,6}
解析：选B因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．
5．(2022·合肥质检)集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，那么满足AB的实数a的一个值为(　　)
A．0B．1
C．2D．3
解析：选D当a＝0时，B＝{0}；
当a＝1时，B＝{－1,0,1}；
当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；
当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，
显然只有a＝3时满足条件．
6．全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，那么∁U(A∩B)＝(　　)
A．(－∞，3)∪(5，＋∞) B．(－∞，3]∪[5，＋∞)
C．(－∞，3)∪[5，＋∞) D．(－∞，3]∪(5，＋∞)
解析：选Cx2－7x＋10<0⇔(x－2)·(x－5)<0⇒2<x<5，A∩B＝{x|3≤x<5}，
故∁U(A∩B)＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．
7．(2022·大纲全国卷)集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，那么m＝(　　)
A．0或B．0或3
C．1或D．1或3
解析：选B法一：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1,3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝.
由m＝得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.
法二：∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C、D.
又当m＝3时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，满足A∪B＝{1,3，}＝A，应选B.
8．设S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，那么a的取值范围是(　　)
A．(－3，－1) B．[－3，－1]
C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
解析：选A在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，由图可得解得－3<a<－1.
9．假设集合U＝R，A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x≥1}，那么A∩(∁UB)＝________.
解析：由题意得∁UB＝(－∞，1)，
又因为A＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，
于是A∩(∁UB)＝(－2,1)．
答案：(－2,1)
10．(2022·武汉适应性训练)A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{1}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,4}，那么B∩(∁UA)＝________.
解析：依题意及韦恩图得，B∩(∁UA)＝{5,6}．
答案：{5,6}
11．R是实数集，M＝，N＝{y|y＝}，那么N∩(∁RM)＝________.
解析：M＝{x|x<0，或x>2}，所以∁RM＝[0,2]，
又N＝[0，＋∞)，所以N∩(∁RM)＝[0,2]．
答案：[0,2]
12．(2022·吉林模拟)U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，那么m＝________.
解析：A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－.
答案：0,1，－
13．(2022·苏北四市调研)集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A中所有整数元素的和为28，那么实数a的取值范围是________．
解析：不等式x2＋a≤(a＋1)x可化为(x－a)(x－1)≤0，由题意知不等式的解集为{x|1≤x≤a}．A中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为＝28，所以7≤a<8，即实数a的取值范围是[7,8)．
答案：[7,8)
14．(2022·安徽名校模拟)设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，假设X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(假设X中只有一个元素，那么该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．假设X的容量为奇(偶)数，那么称X为Sn的奇(偶)子集．那么S4的所有奇子集的容量之和为________．
解析：∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.
答案：7
1．(2022·杭州十四中月考)假设集合A＝，B＝{－2，－1,1,2}，全集U＝R，那么以下结论正确的选项是(　　)
A．A∩B＝{－1,1}B．(∁UA)∪B＝[－1,1]
C．A∪B＝(－2,2) D．(∁UA)∩B＝[－2,2]
解析：选A∵x∈，∴y∈[－1,1]，
∴A∩B＝{－1,1}．
2．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元〞，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，且集合M中的两个元素都是“酷元〞，那么这样的集合M有(　　)
A．3个B．4个
C．5个D．6个
解析：选C由36－x2>0，解得－6<x<6.又因为x∈N，所以S＝{0,1,2,3,4,5}．
依题意，可知假设k是集合M的“酷元〞是指k2与都不属于集合M.显然k＝0,1都不是“酷元〞．
假设k＝2，那么k2＝4；假设k＝4，那么＝2.所以2与4不同时在集合M中，才能成为“酷元〞．
显然3与5都是集合S中的“酷元〞．
综上，假设集合M中的两个元素都是“酷元〞，那么这两个元素的选择可分为两类：
(1)只选3与5，即M＝{3,5}；
(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．
所以满足条件的集合M共有5个．
3．(2022·河北质检)全集U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，假设M∩(∁UN)＝{x|x＝1，或x≥3}，那么(　　)
A．a＝－1B．a≤1
C．a＝1D．a≥1
解析：选A由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1<x<3}，所以∁UN＝{x|x≤1，或x≥3}，又M∩(∁UN)＝{x|x＝1，或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1.
4．给定集合A，假设对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，那么称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③假设集合A1，A2为闭集合，那么A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确；
②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，那么n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；
③令A1＝{－4,0,4}，A2＝{－2,0,2}，那么A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．
答案：②
5．集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)假设A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)假设A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[1,3]，∴得m＝3.
(2)∁RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．
∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1.
∴m＞5或m＜－3.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
6．(2022·衡水模拟)设全集I＝R，集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(∁IM)∩N；
(2)记集合A＝(∁IM)∩N，集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，假设B∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(∁IM)∩N＝{2}．
(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}，
当B＝∅时，a－1>5－a，∴a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
1．现有含三个元素的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，那么a2022＋b2022＝________.
解析：由得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2022＋b2022＝(－1)2022＝－1.
答案：－1
2．集合S＝{a，b，c，d，e}，包含{a，b}的S的子集共有(　　)
A．2个B．3个
C．5个D．8个
解析：选D包含{a，b}的S的子集有：{a，b}；{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}；{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}；{a，b，c，d，e}共8个．
3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，那么同时参加数学和化学小组的有________人．
解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x，Venn图如下列图，
∴(20－x)＋6＋5＋4＋(9－x)＋x＝36，解得x＝8.
答案：8
4．集合A＝{x|x2＋2x＋a≤0}，B＝{x|a≤x≤4a－9}，假设A，B中至少有一个不是空集，那么a的取值范围是________．
解析：假设A，B全为空集，那么实数a满足4－4a<0且a>4a－9，即1<a<3，那么满足题意的a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
5．(2022·重庆高考)设平面点集A＝(x，y)(y－x)·，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，那么A∩B所表示的平面图形的面积为(　　)
A.πB.π
C.πD.
解析：选DA∩B表示的平面图形为图中阴影局部，由对称性可知，SC＝SF，SD＝SE.因此A∩B所表示的平面图形的面积是圆面积的一半，即为.