2022届高考数学总复习教学案圆的方程.docx

圆_的_方_程知识能否忆起1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径：2点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)假设M(x0，y0)在圆外，那么(x0a)2(y0b)2r2.(2)假设M(x0，y0)在圆上，那么(x0a)2(y0b)2r2.(3)假设M(x0，y0)在圆内，那么(x0a)2(y0b)2r2.小题能否全取1(教材习题改编)方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()A.m1Bm或m1CmDm1解析：选B由(4m)2445m0得m或m1.2(教材习题改编)点(1,1)在圆(xa)2(ya)24内，那么实数a的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) D(1，)解析：选A点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)24，1a1.3圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21解析：选A设圆心坐标为(0，b)，那么由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.4(2022潍坊调研)圆x22xy230的圆心到直线xy30的距离为_解析：圆心(1,0)，d1.答案：15(教材习题改编)圆心在原点且与直线xy20相切的圆的方程为_解析：设圆的方程为x2y2a2(a0)a，a，x2y22.答案：x2y221.方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：(1)B0；(2)AC0；(3)D2E24AF0.2求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在任一弦的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线圆的方程的求法典题导入例1(1)(2022顺义模拟)圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为12，那么圆C的方程为()A.2y2B.2y2Cx22Dx22(2)圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，那么圆C的方程为_自主解答(1)由知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，半径为r，那么rsin1，rcos|b|，解得r，|b|，即b.故圆的方程为x22.(2)圆C的方程为x2y2DxF0，那么解得圆C的方程为x2y24x60.答案(1)C(2)x2y24x60由题悟法1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，表达了数形结合思想的运用以题试法1(2022浙江五校联考)过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，那么ABP的外接圆的方程是()A(x4)2(y2)21Bx2(y2)24C(x2)2(y1)25D(x2)2(y1)25解析：选D易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OAPA，OBPB，因此P，A，O，B四点共圆，PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x2)2(y1)25.与圆有关的最值问题典题导入例2(1)(2022湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为()Axy20By10Cxy0Dx3y40(2)P(x，y)在圆C：(x1)2(y1)21上移动，那么x2y2的最小值为_自主解答(1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件圆心O与P点连线的斜率k1，直线OP垂直于xy20.(2)由C(1,1)得|OC|，那么|OP|min1，即()min1.所以x2y2的最小值为(1)232.答案(1)A(2)32由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如A级T9)；(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2)；(3)形如(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2)以题试法2(1)(2022东北三校联考)与曲线C：x2y22x2y0相内切，同时又与直线l：y2x相切的半径最小的圆的半径是_(2)实数x，y满足(x2)2(y1)21那么2xy的最大值为_，最小值为_解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(1，1)为圆心，为半径的圆，圆心C(1，1)到直线y2x即xy20的距离等于2，易知所求圆的半径等于.(2)令b2xy，那么b为直线2xyb在y轴上的截距的相反数，当直线2xyb与圆相切时，b取得最值由1.解得b5，所以2xy的最大值为5，最小值为5.答案：(1)(2)55与圆有关的轨迹问题典题导入例3(2022正定模拟)如图，点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程自主解答设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心由A(1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)，那么D(2x01,2y0)，由重心坐标公式得那么代入x2y21，整理得2y2(y0)，故所求轨迹方程为2y2(y0)由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与点的关系，代入点满足的关系式等以题试法3(2022郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么动点P的轨迹方程为()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216Dx2(y1)216解析：选B设P(x，y)，那么由题意可得2，化简整理得x2y216.1圆(x2)2y25关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A(x2)2y25Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25Dx2(y2)25解析：选A圆上任一点(x，y)关于原点对称点为(x，y)在圆(x2)2y25上，即(x2)2(y)25.即(x2)2y25.2(2022辽宁高考)将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10Bxy30Cxy10Dxy30解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心3(2022青岛二中期末)假设圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，那么该圆的标准方程是()A(x3)221B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21D.2(y1)21解析：选B依题意设圆心C(a,1)(a0)，由圆C与直线4x3y0相切，得1，解得a2，那么圆C的标准方程是(x2)2(y1)21.4(2022海淀检测)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：选A设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，那么解得因为点Q在圆x2y24上，所以(2x4)2(2y2)24，即(x2)2(y1)21.5(2022杭州模拟)假设圆x2y22x6y5a0，关于直线yx2b成轴对称图形，那么ab的取值范围是()A(，4) B(，0)C(4，) D(4，)解析：选A将圆的方程变形为(x1)2(y3)2105a，可知，圆心为(1，3)，且105a0，即a2.圆关于直线yx2b对称，圆心在直线yx2b上，即312b，解得b2，ab4.6点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，那么|MN|的最小值是()A.B1C.D.解析：选C圆心(1，1)到点M的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点N到点M的距离的最小值为d1.7如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，那么它的内切圆方程为_解析：因为AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r3，圆心坐标为(3,3)，故内切圆方程为(x3)2(y3)29.答案：(x3)2(y3)298(2022河南三市调研)圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，那么圆C的方程为_解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，那么圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，那么R2d2210，因此圆C的方程是x2(y1)210.答案：x2(y1)2109(2022南京模拟)x，y满足x2y21，那么的最小值为_解析：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率设直线PQ的方程为y2k(x1)即kxy2k0.由1得k，结合图形可知，故最小值为.答案：10过点C(3,4)且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，求r1r2.解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，且在直线yx上，故可设两圆方程为(xa)2(ya)2a2，(xb)2(yb)2b2，且r1a，r2b.由于两圆都过点C，那么(3a)2(4a)2a2，(3b)2(4b)2b2即a214a250，b214b250.那么a、b是方程x214x250的两个根故r1r2ab25.11以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)那么直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，那么由P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2，(a1)2b240.由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.12(2022吉林摸底)关于x，y的方程C：x2y22x4ym0.(1)当m为何值时，方程C表示圆；(2)在(1)的条件下，假设圆C与直线l：x2y40相交于M、N两点，且|MN|，求m的值解：(1)方程C可化为(x1)2(y2)25m，显然只要5m0，即m5时方程C表示圆(2)因为圆C的方程为(x1)2(y2)25m，其中m5，所以圆心C(1,2)，半径r，那么圆心C(1,2)到直线l：x2y40的距离为d，因为|MN|，所以|MN|，所以5m22，解得m4.1(2022常州模拟)以双曲线1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是()A(x)2y21B(x3)2y23C(x)2y23D(x3)2y29解析：选B双曲线的渐近线方程为xy0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r，所求圆方程为(x3)2y23.2由直线yx2上的点P向圆C：(x4)2(y2)21引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是()A(1,1) B(0,2)C(2,0) D(1,3)解析：选B根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知|PT|，故|PT|最小时，即|PC|最小，此时PC垂直于直线yx2，那么直线PC的方程为y2(x4)，即yx2，联立方程解得点P的坐标为(0,2)3圆M过两点C(1，1)，D(1,1)，且圆心M在xy20上(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值解：(1)设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)根据题意，得解得ab1，r2，故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形PAMB的面积SSPAMSPBM|AM|PA|BM|PB|，又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|，即S2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PAMB面积的最小值为S222.1在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为()A5B10C15D20解析：选B由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|22(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|2，且ACBD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|BD|2210.2两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，那么ABC面积的最小值是_解析：lAB：xy20，圆心(1,0)到l的距离d，那么AB边上的高的最小值为1.故ABC面积的最小值是23.答案：33(2022抚顺调研)圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)假设PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，那么ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.