2022届高考数学总复习教学案圆的方程.docx

圆_的_方_程
[知识能否忆起]
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心：，
半径：
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)假设M(x0，y0)在圆外，那么(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
(2)假设M(x0，y0)在圆上，那么(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)假设M(x0，y0)在圆内，那么(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)
A.＜m＜1B．m＜或m＞1
C．m＜D．m＞1
解析：选B由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.
2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选A∵点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，
∴－1＜a＜1.
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A设圆心坐标为(0，b)，那么由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
4．(2022·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．
解析：圆心(1,0)，d＝＝1.
答案：1
5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为
____________________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)
∴＝a，∴a＝，
∴x2＋y2＝2.
答案：x2＋y2＝2
1.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：
(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.
2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

圆的方程的求法
典题导入
[例1](1)(2022·顺义模拟)圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，那么圆C的方程为(　　)
A.2＋y2＝B.2＋y2＝
C．x2＋2＝D．x2＋2＝
(2)圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，那么圆C的方程为________________．
[自主解答](1)由知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，半径为r，那么rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.
故圆的方程为x2＋2＝.
(2)圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，
那么
解得
圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.
[答案](1)C　(2)x2＋y2－4x－6＝0
由题悟法
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，表达了数形结合思想的运用．
以题试法
1．(2022·浙江五校联考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，那么△ABP的外接圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
解析：选D易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.

与圆有关的最值问题
典题导入
[例2](1)(2022·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为(　　)
A．x＋y－2＝0B．y－1＝0
C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0
(2)P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，那么x2＋y2的最小值为________．
[自主解答](1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.
(2)由C(1,1)得|OC|＝，那么|OP|min＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.
[答案](1)A　(2)3－2
由题悟法
解决与圆有关的最值问题的常用方法
(1)形如u＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如A级T9)；
(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．
以题试法
2．(1)(2022·东北三校联考)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________．
(2)实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1那么2x－y的最大值为________，最小值为________．
解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于＝2，易知所求圆的半径等于＝.
(2)令b＝2x－y，那么b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由＝1.解得b＝5±，所以2x－y的最大值为5＋，最小值为5－.
答案：(1)　(2)5＋5－

与圆有关的轨迹问题
典题导入
[例3](2022·正定模拟)如图，点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
[自主解答]设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．
由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)，
那么D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式得
那么
代入x2＋y2＝1，整理得2＋y2＝(y≠0)，
故所求轨迹方程为2＋y2＝(y≠0)．
由题悟法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与点的关系，代入点满足的关系式等．
以题试法
3．(2022·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B设P(x，y)，那么由题意可得2＝，化简整理得x2＋y2＝16.
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：选A圆上任一点(x，y)关于原点对称点为(－x，－y)在圆(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5.即(x－2)2＋y2＝5.
2．(2022·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0
解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．
3．(2022·青岛二中期末)假设圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，那么该圆的标准方程是(　　)
A．(x－3)2＋2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.2＋(y－1)2＝1
解析：选B依题意设圆心C(a,1)(a＞0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得＝1，解得a＝2，那么圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
4．(2022·海淀检测)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，那么解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．(2022·杭州模拟)假设圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0，关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，那么a－b的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：选A将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a＞0，即a＜2.∵圆关于直线y＝x＋2b对称，∴圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，∴a－b＜4.
6．点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，那么|MN|的最小值是(　　)
A.B．1
C.D.
解析：选C圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝.
7．如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，那么它的内切圆方程为________________．
解析：因为△AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝＝＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.
答案：(x＋3)2＋(y－3)2＝9
8．(2022·河南三市调研)圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，那么圆C的方程为__________．
解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，那么圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，那么R2＝d2＋2＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
答案：x2＋(y－1)2＝10
9．(2022·南京模拟)x，y满足x2＋y2＝1，那么的最小值为________．
解析：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由＝1得k＝，结合图形可知，≥，故最小值为.
答案：
10．过点C(3,4)且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，求r1r2.
解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，
且在直线y＝x上，故可设两圆方程为
(x－a)2＋(y－a)2＝a2，(x－b)2＋(y－b)2＝b2，
且r1＝a，r2＝b.由于两圆都过点C，
那么(3－a)2＋(4－a)2＝a2，(3－b)2＋(4－b)2＝b2
即a2－14a＋25＝0，b2－14b＋25＝0.
那么a、b是方程x2－14x＋25＝0的两个根．
故r1r2＝ab＝25.
11．以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．
那么直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，那么由P在CD上得a＋b－3＝0.①
又∵直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40
或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12．(2022·吉林摸底)关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)在(1)的条件下，假设圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值．
解：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然只要5－m＞0，即m＜5时方程C表示圆．
(2)因为圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，其中m＜5，所以圆心C(1,2)，半径r＝，
那么圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝，
因为|MN|＝，所以|MN|＝，
所以5－m＝2＋2，
解得m＝4.
1．(2022·常州模拟)以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－)2＋y2＝3D．(x－3)2＋y2＝9
解析：选B双曲线的渐近线方程为x±y＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r＝＝，所求圆方程为(x－3)2＋y2＝3.
2．由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是(　　)
A．(－1,1) B．(0,2)
C．(－2,0) D．(1,3)
解析：选B根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知|PT|＝，故|PT|最小时，即|PC|最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，那么直线PC的方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋2，联立方程解得点P的坐标为(0,2)．
3．圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
根据题意，得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM
＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2＝2.
1．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为(　　)
A．5B．10
C．15D．20
解析：选B由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10.
2．两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，那么△ABC面积的最小值是________．
解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝，
那么AB边上的高的最小值为－1.
故△ABC面积的最小值是×2×＝3－.
答案：3－
3．(2022·抚顺调研)圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)假设∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，那么ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.