2022年广东省东莞市高考数学二调试卷(文科).docx

2022年广东省东莞市高考数学二调试卷〔文科〕
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．〔5分〕A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，那么A∩B=〔　　〕
A．{1，2} B．{2，4，8} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8}
2．〔5分〕假设复数z满足〔1+2i〕z=〔1﹣i〕，那么|z|=〔　　〕
A． B． C． D．
3．〔5分〕sinα﹣cosα=，那么sin2α=〔　　〕
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．〔5分〕直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l的距离为其短轴长的，那么该椭圆的离心率为〔　　〕
A． B． C． D．
5．〔5分〕在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，那么sinA=〔　　〕
A． B． C． D．
6．〔5分〕，那么z=22x+y的最小值是〔　　〕
A．1 B．16 C．8 D．4
7．〔5分〕执行如下列图的程序框图，那么输出的结果为〔　　〕
A．7 B．9 C．10 D．11
8．〔5分〕设函数f〔x〕=x3+ax2，假设曲线y=f〔x〕在点P〔x0，f〔x0〕〕处的切线方程为x+y=0，那么点P的坐标为〔　　〕
A．〔0，0〕 B．〔1，﹣1〕 C．〔﹣1，1〕 D．〔1，﹣1〕或〔﹣1，1〕
9．〔5分〕在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，那么异面直线PA与BE所成角为〔　　〕
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．〔5分〕函数f〔x〕=sinx+λcosx〔λ∈R〕的图象关于x=﹣对称，那么把函数f〔x〕的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的一条对称轴方程为〔　　〕
A．x= B．x= C．x= D．x=
11．〔5分〕函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为〔　　〕
A． B． C． D．
12．〔5分〕函数f〔x〕=xsinx+cosx+x2，那么不等式的解集为〔　　〕
A．〔e，+∞〕 B．〔0，e〕 C． D．
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．
13．〔5分〕设向量=〔x，x+1〕，=〔1，2〕，且⊥，那么x=．
14．〔5分〕在各项都为正数的等比数列{an}中，a1=2，，那么数列{an}的通项公式an=．
15．〔5分〕|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为〔x，y〕，当x，y∈R时，点P满足〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2≤4的概率为．
16．〔5分〕函数，其中m＞0，假设存在实数b，使得关于x的方程f〔x〕=b有三个不同的零点，那么m的取值范围是．
三．解答题：共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分．
17．〔12分〕数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2〔n∈N*〕．
〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；
〔Ⅱ〕 求数列{Sn}的前n项和Tn．
18．〔12分〕某城市随机抽取一年〔365天〕内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API
[0，50]
〔50，100]
〔100，150]
〔150，200]
〔200，250]
〔250，300]
＞300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S〔单位：元〕，空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间〔100，300]对企业造成经济损失成直线模型〔当API为150时造成的 经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元〕；当API大于300时造成的 经济损失为2000元；
〔1〕试写出是S〔ω〕的表达式：
〔2〕试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
〔3〕假设本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关
附：
P〔K2≥k0〕
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.32
2.07
2.70
3.84
8.02
6.63
7.87
10.82
K2=

非重度污染
重度污染
合计
供暖季

非供暖季

合计

100
19．〔12分〕如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置〔如图2所示〕，连结AP、PF，其中PF=2．
〔1〕求证：PF⊥平面ABED；
〔2〕求点A到平面PBE的距离．
20．〔12分〕椭圆C：的离心率为，且过点A〔2，1〕．
〔Ⅰ〕 求椭圆C的方程；
〔Ⅱ〕 假设P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值假设是，求出该值；假设不是，说明理由．
21．〔12分〕函数f〔x〕=x2﹣〔a﹣2〕x﹣alnx〔a∈R〕．
〔Ⅰ〕求函数y=f〔x〕的单调区间；
〔Ⅱ〕当a=1时，证明：对任意的x＞0，f〔x〕+ex＞x2+x+2．
〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]
22．〔10分〕在直角坐标系中，直线的参数方程为〔t为参数〕在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．
〔Ⅰ〕 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕 求曲线上的点到直线的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
〔1〕假设f〔1〕＜3，求实数a的取值范围；
〔2〕假设a≥1，x∈R，求证：f〔x〕≥2．
2022年广东省东莞市高考数学二调试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．〔5分〕A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，那么A∩B=〔　　〕
A．{1，2} B．{2，4，8} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8}
【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，
∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={1，2，4}．
应选：C．
2．〔5分〕假设复数z满足〔1+2i〕z=〔1﹣i〕，那么|z|=〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：由〔1+2i〕z=〔1﹣i〕，
得=，
那么|z|=．
应选：C．
3．〔5分〕sinα﹣cosα=，那么sin2α=〔　　〕
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=，
∴〔sinα﹣cosα〕2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，
∴sin2α=﹣，
应选：A．
4．〔5分〕直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l的距离为其短轴长的，那么该椭圆的离心率为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
那么直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，
可得：，
4=b2〔〕，
∴，
=3，
∴e==．
应选：B．
5．〔5分〕在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，那么sinA=〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，
∴AB=BC，
由余弦定理得：AC===BC，
故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，
∴sinA=，
应选：D
6．〔5分〕，那么z=22x+y的最小值是〔　　〕
A．1 B．16 C．8 D．4
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
设m=2x+y，那么得y=﹣2x+m，
平移直线y=﹣2x+m，
由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线的截距最小，
此时m最小，z也最小，
由，解得，得A〔1，1〕
此时m=2×1+1=3，z=22x+y=z=23=8，
应选：C．
7．〔5分〕执行如下列图的程序框图，那么输出的结果为〔　　〕
A．7 B．9 C．10 D．11
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
，否；
，否；
，否；
，否；
，
是，输出i=9，
应选：B．
8．〔5分〕设函数f〔x〕=x3+ax2，假设曲线y=f〔x〕在点P〔x0，f〔x0〕〕处的切线方程为x+y=0，那么点P的坐标为〔　　〕
A．〔0，0〕 B．〔1，﹣1〕 C．〔﹣1，1〕 D．〔1，﹣1〕或〔﹣1，1〕
【解答】解：∵f〔x〕=x3+ax2，
∴f′〔x〕=3x2+2ax，
∵函数在点〔x0，f〔x0〕〕处的切线方程为x+y=0，
∴3x02+2ax0=﹣1，
∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．
当x0=1时，f〔x0〕=﹣1，
当x0=﹣1时，f〔x0〕=1．
应选：D．
9．〔5分〕在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，那么异面直线PA与BE所成角为〔　　〕
A．90° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP
因为E为PC中点，所以OE∥PA，
所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．
因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，
所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，
因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．
所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．
应选：C．
10．〔5分〕函数f〔x〕=sinx+λcosx〔λ∈R〕的图象关于x=﹣对称，那么把函数f〔x〕的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的一条对称轴方程为〔　　〕
A．x= B．x= C．x= D．x=
【解答】解：根据函数f〔x〕=sinx+λcosx〔λ∈R〕的图象关于x=﹣对称，可得，
可得λ=﹣1，所以．
把f〔x〕的图象横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin〔x﹣〕的图象，
再向右平移，得到函数g〔x〕=sin[〔x﹣〕﹣]=sin〔x﹣〕的图象，
即g〔x〕=sin〔﹣〕，
令 =kπ+，求得x=2kπ+，k∈Z，故函数g〔x〕的图象的对称轴方程为 x=2kπ+，k∈Z．
当k=0时，对称轴的方程为，
应选：D．
11．〔5分〕函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵f〔x〕=y=2x2﹣e|x|，
∴f〔﹣x〕=2〔﹣x〕2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2∈〔0，1〕，故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f〔x〕=y=2x2﹣ex，
∴f′〔x〕=4x﹣ex=0有解，
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
应选：D
12．〔5分〕函数f〔x〕=xsinx+cosx+x2，那么不等式的解集为〔　　〕
A．〔e，+∞〕 B．〔0，e〕 C． D．
【解答】解：函数f〔x〕=xsinx+cosx+x2的导数为：
f′〔x〕=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x〔2+cosx〕，
那么x＞0时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增，
且f〔﹣x〕=xsinx+cos〔﹣x〕+〔﹣x〕2=f〔x〕，
那么为偶函数，即有f〔x〕=f〔|x|〕，
那么不等式，即为f〔lnx〕＜f〔1〕
即为f〔|lnx|〕＜f〔1〕，
那么|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．
应选：D．
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．
13．〔5分〕设向量=〔x，x+1〕，=〔1，2〕，且⊥，那么x=．
【解答】解：∵；
∴；
即x+2〔x+1〕=0；
∴．
故答案为：．
14．〔5分〕在各项都为正数的等比数列{an}中，a1=2，，那么数列{an}的通项公式an=．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1=2，，
∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，
解得q2=2，q＞0，解得q=．
那么数列{an}的通项公式an==．
故答案为：．
15．〔5分〕|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为〔x，y〕，当x，y∈R时，点P满足〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2≤4的概率为．
【解答】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部
满足〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2≤4的点位于的区域是
以C〔2，2〕为圆心，半径等于2的圆及其内部
∴P满足〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2≤4的概率为
P1===．
故答案为：
16．〔5分〕函数，其中m＞0，假设存在实数b，使得关于x的方程f〔x〕=b有三个不同的零点，那么m的取值范围是　〔3，+∞〕　．
【解答】解：当m＞0时，函数的图象如下：
∵x＞m时，f〔x〕=x2﹣2mx+4m=〔x﹣m〕2+4m﹣m2＞4m﹣m2，
∴y要使得关于x的方程f〔x〕=b有三个不同的根，
必须4m﹣m2＜m〔m＞0〕，
即m2＞3m〔m＞0〕，
解得m＞3，
∴m的取值范围是〔3，+∞〕，
故答案为：〔3，+∞〕．
三．解答题：共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分．
17．〔12分〕数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2〔n∈N*〕．
〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；
〔Ⅱ〕 求数列{Sn}的前n项和Tn．
【解答】解：〔Ⅰ〕列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2①．
那么：Sn+1=2an+1﹣2②，
②﹣①得：an+1=2an，
即：〔常数〕，
当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，
解得：a1=2，
所以数列的通项公式为：，
〔Ⅱ〕由于：，
那么：，
=，
=2n+1﹣2．
﹣2﹣2﹣…﹣2，
=2n+2﹣4﹣2n．
18．〔12分〕某城市随机抽取一年〔365天〕内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API
[0，50]
〔50，100]
〔100，150]
〔150，200]
〔200，250]
〔250，300]
＞300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S〔单位：元〕，空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间〔100，300]对企业造成经济损失成直线模型〔当API为150时造成的 经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元〕；当API大于300时造成的 经济损失为2000元；
〔1〕试写出是S〔ω〕的表达式：
〔2〕试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
〔3〕假设本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关
附：
P〔K2≥k0〕
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.32
2.07
2.70
3.84
8.02
6.63
7.87
10.82
K2=

非重度污染
重度污染
合计
供暖季

非供暖季

合计

100
【解答】解：〔1〕根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间〔100，300]对企业造成经济损失成直线模型〔当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元〕；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S〔ω〕=；
〔2〕设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元〞为事件A；
由200＜S≤600，得100＜ω≤175，频数为33，
∴P〔A〕=；
〔2〕根据以上数据得到如表：

非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合计
85
15
100
K2的观测值K2=≈4.575＞3.841
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．
19．〔12分〕如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置〔如图2所示〕，连结AP、PF，其中PF=2．
〔1〕求证：PF⊥平面ABED；
〔2〕求点A到平面PBE的距离．
【解答】解：〔1〕连结EF，
由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，
所以PF⊥BF…〔2分〕
在图1中，利用勾股定理，得EF==，
在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，
∴PF⊥EF…〔4分〕
又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，
∴PF⊥平面ABED．…〔6分〕
〔2〕解：由〔1〕知PF⊥平面ABED，
∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…〔8分〕
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得VA﹣PBE=VP﹣ABE，…〔10分〕
即
∴h=，
即点A到平面PBE的距离为．…〔14分〕
20．〔12分〕椭圆C：的离心率为，且过点A〔2，1〕．
〔Ⅰ〕 求椭圆C的方程；
〔Ⅱ〕 假设P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值假设是，求出该值；假设不是，说明理由．
【解答】解：〔Ⅰ〕 因为椭圆C的离心率为，且过点A〔2，1〕，
所以，．…〔2分〕
因为a2=b2+c2，
解得a2=8，b2=2，…〔3分〕
所以椭圆C的方程为．…〔4分〕
〔Ⅱ〕解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．
设直线PA的斜率为k，那么直线AQ的斜率为﹣k．…〔5分〕
所以直线PA的方程为y﹣1=k〔x﹣2〕，直线AQ的方程为y﹣1=﹣k〔x﹣2〕．
设点P〔xP，yP〕，Q〔xQ，yQ〕，
由，消去y，得〔1+4k2〕x2﹣〔16k2﹣8k〕x+16k2﹣16k﹣4=0．①
因为点A〔2，1〕在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，那么，…〔6分〕
所以．…〔7分〕
同理．…〔8分〕
所以．…〔9分〕
又．…〔10分〕
所以直线PQ的斜率为．…〔11分〕
所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…〔12分〕
解法二：设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，
那么直线PA的斜率，直线QA的斜率．
因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．
所以kPA=﹣kQA，即，①…〔5分〕
因为点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕在椭圆C上，
所以，②．③
由②得，得，④…〔6分〕
同理由③得，⑤…〔7分〕
由①④⑤得，
化简得x1y2+x2y1+〔x1+x2〕+2〔y1+y2〕+4=0，⑥…〔8分〕
由①得x1y2+x2y1﹣〔x1+x2〕﹣2〔y1+y2〕+4=0，⑦…〔9分〕
⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2〔y1+y2〕．…〔10分〕
②﹣③得，得．…〔11分〕
所以直线PQ的斜率为为定值．…〔12分〕
解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，
那么y1=kx1+b，y2=kx2+b，
直线PA的斜率，直线QA的斜率．…〔5分〕
因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．
所以kPA=﹣kQA，即=，…〔6分〕
化简得x1y2+x2y1﹣〔x1+x2〕﹣2〔y1+y2〕+4=0．
把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+〔b﹣1﹣2k〕〔x1+x2〕﹣4b+4=0．〔*〕 …〔7分〕
由，消去y得〔4k2+1〕x2+8kbx+4b2﹣8=0，〔**〕
那么，…〔8分〕
代入〔*〕得，…〔9分〕
整理得〔2k﹣1〕〔b+2k﹣1〕=0，
所以或b=1﹣2k．…〔10分〕
假设b=1﹣2k，可得方程〔**〕的一个根为2，不合题意．…〔11分〕
假设时，合题意．
所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…〔12分〕
21．〔12分〕函数f〔x〕=x2﹣〔a﹣2〕x﹣alnx〔a∈R〕．
〔Ⅰ〕求函数y=f〔x〕的单调区间；
〔Ⅱ〕当a=1时，证明：对任意的x＞0，f〔x〕+ex＞x2+x+2．
【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕的定义域是〔0，+∞〕，
f′〔x〕=2x﹣〔a﹣2〕﹣= …〔2分〕
当a≤0时，f′〔x〕＞0对任意x∈〔0，+∞〕恒成立，
所以，函数f〔x〕在区间〔0，+∞〕单调递增；…〔4分〕
当a＞0时，由f′〔x〕＞0得x＞，由f′〔x〕＜0，得0＜x＜，
所以，函数在区间〔，+∞〕上单调递增，在区间〔0，〕上单调递减；
〔Ⅱ〕当a=1时，f〔x〕=x2+x﹣lnx，
要证明f〔x〕+ex＞x2+x+2，
只需证明ex﹣lnx﹣2＞0，设g〔x〕=ex﹣lnx﹣2，
那么问题转化为证明对任意的x＞0，g〔x〕＞0，
令g′〔x〕=ex﹣=0，得ex=，
容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，那么x0满足ex0=，
当x变化时，g′〔x〕和g〔x〕变化情况如下表
x
〔0，x0〕
x0
〔x0，∞〕
g′〔x〕
﹣
0
+
g〔x〕
递减

递增
g〔x〕min=g〔x0〕=ex0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2，
因为x0＞0，且x0≠1，所以g〔x〕min＞2﹣2=0，
因此不等式得证．
〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]
22．〔10分〕在直角坐标系中，直线的参数方程为〔t为参数〕在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．
〔Ⅰ〕 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕 求曲线上的点到直线的距离的最大值．
【解答】解：〔Ⅰ〕直线的参数方程为〔t为参数〕，
转化为：x+y﹣4=0．
曲线C：ρ=2．
转化为：x2+y2=2x+2y，
即：x2+y2﹣2x﹣2y=0．
〔Ⅱ〕圆的方程x2+y2﹣2x﹣2y=0，
转化为标准式为：〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2=2，
那么：圆心〔1，1〕到直线的距离d=，
所以：曲线上的点到直线的最大距离为：．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
〔1〕假设f〔1〕＜3，求实数a的取值范围；
〔2〕假设a≥1，x∈R，求证：f〔x〕≥2．
【解答】解：〔1〕因为f〔1〕＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．
①当a≤0时，得﹣a+〔1﹣2a〕＜3，
解得a＞﹣，所以﹣＜a≤0；
②当0＜a＜时，得a+〔1﹣2a〕＜3，
解得a＞﹣2，所以0＜a＜；
③当a≥时，得a﹣〔1﹣2a〕＜3，
解得a＜，所以≤a＜；
综上所述，实数a的取值范围是〔﹣，〕．
〔2〕因为a≥1，x∈R，
所以f〔x〕=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|〔x+a﹣1〕﹣〔x﹣2a〕|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．