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第五章 第5讲
[A级 基础达标]
1．函数y＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的简图是( )
【答案】D
2．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|＜π)的图象如图所示，且过点P，则φ的值为( )
A． B．
C．或 D．－或
【答案】A
3．(2020年郑州模拟)已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝函数cos 2x＋sin x的值域为( )
A． B．[0,1)
C．(0,1) D．
【答案】D
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图，则f＝( )
A． B．－
C． D．－
【答案】A
5．(2020年烟台期末)如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(ωx＋φ)＋k，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
【答案】C 【解析】由题意可得当sin(ωx＋φ)取最小值－1时，函数取最小值－3＋k＝2，解得k＝5，所以y＝3sin(ωx＋φ)＋5.所以当sin(ωx＋φ)取最大值1时，函数取最大值3＋5＝8.
6．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是________．
【答案】 【解析】因为函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，所以＝n×，n∈Z.所以ω＝n，n∈Z.又ω＞0，故其最小值是.
7．(2019年扬州模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为____________．
【答案】，k∈Z 【解析】由图象知f(x)的周期T＝2×＝2，和的中点为＝，y轴左侧的第一个最大值点为－T＝－，即f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
8．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝________.
【答案】 【解析】由题意知＝－＝，故T＝π，所以ω＝＝2.又f＝1，所以sin＝1．因为|φ|＜，所以φ＝，即f(x)＝sin.故f＝sin＝cos＝.
9．(2020年荆门模拟)已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(其中0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)求f(x)的解析式，并求f(x)的最小正周期；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，用“五点作图法”作出函数f(x)在区间[－π，3π]上的图象．
解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＝2sin＋1．
因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－3k＋，k∈Z.
因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝.
所以f(x)＝2sin＋1，最小正周期T＝2π.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1的图象向左平移个单位得y＝2sin＋1的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝2sin＋1．
当x∈[－π，3π]时，列表如下：
x＋
－
0
π
x
－π
－
3π
f(x)
0
1
3
1
－1
0
则函数f(x)在区间[－π，3π]上的图象如图所示．
[B级 能力提升]
10．定义行列式运算＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图象向左平移n(n＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )
A． B．
C． D．
【答案】D 【解析】由题意可知f(x)＝cos x－sin x＝2cos，将f(x)的图象向左平移n(n＞0)个单位长度后，得y＝2cos为偶函数，所以n＋＝kπ，k∈Z，解得n＝kπ－.又n＞0，令k＝1，得n的最小值为.
11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )
A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增 D．f(x)在上单调递增
【答案】D 【解析】f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin.因为0＜φ＜π且f(x)为奇函数，所以φ＝，即f(x)＝－sin ωx.又直线y＝与f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，所以f(x)的最小正周期为.由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin 4x.由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此时f(x)在上单调递增．
12．将f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】由题意知g(x)＝sin [2(x－φ)]＝sin (2x－2φ)．若满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设f(x1)＝1，g(x2)＝－1，即2x1＝＋2kπ，x1＝＋kπ，2x2－2φ＝－＋2mπ，x2＝－＋φ＋mπ(k，m∈Z)．|x1－x2|min＝min＝，φ∈，则φ＝.
13．(2020年芜湖模拟)若函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－1，x∈的图象与直线y＝m恰有两个不同的交点，则m的取值范围是________．
【答案】(－3，－2] 【解析】f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1．由x∈，可得2x－∈，令t＝2x－，则题目转化为y＝2sin t，t∈与y＝m＋1有两个交点．作出两函数图象，数形结合可知－2＜m＋1≤2sin，即－3＜m≤－2.
14．(一题两空)(2020年宁波模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
【答案】 【解析】由函数图象，得＝－＝×，解得ω＝.由点在函数图象上，得2sin＝2，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜π，所以当k＝0时，φ＝.
15．(2020年滨州期末)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为4π.
(1)从以下三个条件中，选择合适的两个条件，求函数f(x)的解析式；
①f＝0；②f＝－1；③∀x∈R，都有f(x)≤f.
(2)求(1)中所求得的函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由T＝4π＝，可得ω＝.
选①②时，因为f＝0，所以sin＝0，所以φ－＝kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝.而f＝－1，所以Asin＝－1，解得A＝2.所以f(x)＝2sin.选②③时，因为任意x∈R，都有f(x)≤f，所以x＝时取得最大值，即·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝.而f＝－1，故Asin＝－1，解得A＝2.所以f(x)＝2sin.
(2)因为f(x)＝2sin，x∈，则x＋∈，所以sin∈.所以f(x)∈[－1，]，且x＝－时函数取得最小值－1，x＝时函数取得最大值.
所以函数在区间上的最小值为－1，最大值为.
[C级 创新突破]
16．(多选)(2020年龙岩模拟)将函数y＝3tan的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A．函数y＝g(x)的图象关于点对称
B．函数y＝g(x)的图象最小正周期为π
C．函数y＝g(x)的图象在上单调递增
D．函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称
【答案】AC 【解析】函数y＝3tan的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)＝3tan的图象．对于A，当x＝时，g＝0，故A正确；对于B，函数的最小正周期为，故B错误；对于C，由于函数在一个周期内单调递增，故C正确；对于D，正切型函数不存在对称轴，故D错误．
17．(2020年新课标Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋.
①f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于x＝对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．
【答案】②③ 【解析】对于①，f＝＋2＝，f＝－－2＝－，f≠f，所以f(x)的图象不关于y轴对称，①错误；对于②，f(x)的取值范围为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，②正确；对于③，因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，则f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，③正确；对于④，当－π＜x＜0时，sin x＜0，则f(x)＝sin x＋＜0＜2，④错误．
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