高优指导2021版高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法初步与复数单元质检文北师大版.doc

单元质检十二　推理与证明、算法初步与复数
(时间:45分钟　满分:100分)
　单元质检卷第24页　 
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.(2015辽宁鞍山一模)复数的虚部是(　　)

A.i B. C.-i D.-
答案:B
解析:∵=-i,
∴虚部为.
2.(2015辽宁大连双基)执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是4,则常数a的值为(　　)

A.4 B.2
C. D.-1〚导学号32470654〛
答案:D
解析:S和n依次循环的结果如下:,2;1-,4.
所以1-=2,a=-1,故选D.
3.(2015华师附中模拟)用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设(　　)
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
答案:B
解析:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的反面是“三个内角都大于60°”.
4.(2015湖北黄冈一模)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,则(　　)
A.-1<a<1 B.0<a<2
C.-<a< D.-<a<〚导学号32470655〛
答案:C
解析:(x-a)⊗(x+a)<1⇔(x-a)(1-x-a)<1,
即x2-x-a2+a+1>0.不等式恒成立的充要条件是Δ=1-4(-a2+a+1)<0,
即4a2-4a-3<0,解得-<a<.故选C.
5.(2015北京,文5)执行如图所示的程序框图,输出的k值为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:初值为a=3,k=0,q=.
进入循环体后,a=,k=1;a=,k=2;a=,k=3;a=,k=4,此时a<,退出循环,故k=4.
6.复数z=(i是虚数单位)在复平面内的对应点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
解析:∵i2 014=(i2)1 007=(-1)1 007=-1,
∴z==-
=-=-,
∴z在复平面内的坐标为,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
7.在平面内,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为　　　　　. 
答案:1∶8
解析:由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的底面积之比为1∶4,对应高之比为1∶2,所以体积比为1∶8.
8.执行如图的程序框图,则输出S的值为　　　　　. 

答案:2
解析:第一次循环,得S==-1,k=1;
第二次循环,得S=,k=2;
第三次循环,得S==2,k=3;
由此可知S的值以3为周期,又2 016=672×3,所以输出S的值为2.
9.若z=sin θ-i是纯虚数,则tan=　　　　　.〚导学号32470656〛 
答案:-7
解析:依题意
∴sin θ=,cos θ=-.
∴tan θ==-.
∴tan=-7.
10.(2015广州模拟)将正偶数2,4,6,8,…,按表的方式进行排列,记aij表示第i行第j列的数,若aij=2 014,则i+j的值为　　　　　. 

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行

2
4
6
8
第2行
16
14
12
10

第3行

18
20
22
24
第4行
32
30
28
26

第5行

34
36
38
40
…
…
…
…
…
…

〚导学号32470657〛
答案:254
解析:正偶数组成等差数列,通项为an=2n,所以2 014为该数列的1 007项,因每行为4个数,
又1 007=4×251+3,故2 014是第252行中从右到左的第三个数,
偶数行中从右到左的第三个数在第2列,
所以i+j=252+2=254.
三、解答题(本大题共2小题,共30分)
11.(15分)(2015河北唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.
(1)解:当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1得a1=1.
当n≥2时,由(1-q)Sn+qan=1得(1-q)·Sn-1+qan-1=1,
两式相减得an=qan-1(n≥2),
又q(q-1)≠0,所以{an}是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.
(2)证明:由(1)可知Sn=,
由S3+S6=2S9得,
化简得a3+a6=2a9,两边同除以q得a2+a5=2a8,
故a2,a8,a5成等差数列.
12.(15分)用分析法证明:若a>0,则≥a+-2.
证明:∵a>0,由基本不等式知a+≥2,a2+≥2,
∴≥0,a+-2≥0.
下面用分析法证明≥a+-2.
要证明≥a+-2成立,
只需证明成立,
即2-2≥,
即4≥2,
即-4+4≥0,
即证明≥0,
显然≥0成立,
∴若a>0,则≥a+-2.〚导学号32470658〛

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