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第七节 抛物线
A级·根底过关|固根基|
1.抛物线y＝ax2(a<0)的准线方程是( )
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝ D．y＝
解析：选B 抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝y，准线方程为y＝－.应选B.
2．(2023届四川成都检测)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(0，－)．假设线段FA与抛物线C相交于点M，那么|MF|＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意，F(1，0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，那么M到准线的距离为d.M的横坐标为d－1，由三角形相似，可得＝，所以d＝，应选A.
3．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，假设线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，那么此抛物线方程是( )
A．y2＝12x B．y2＝8x
C．y2＝6x D．y2＝4x
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，
x1＋x2＋p＝8，
因为AB的中点到y轴的距离是2，所以＝2，
所以p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.应选B.
4．(2023届太原模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，假设点N(1，2)，那么|MN|＋|MF|的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：
选B 依题意，知l：x＝－2，那么抛物线C：y2＝8x，过点M作MM′⊥l，垂足为M′，过点N作NN′⊥l，垂足为N′，那么|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM′|≥|NN′|＝3，应选B.
5．(2023届陕西省百校联盟高三模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，假设＝4，那么|QF|＝( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：选B 依题意得F(1，0)．设l与x轴的交点为M，那么|FM|＝2.如图，过点Q作l的垂线，垂足为Q1，那么＝＝，所以|QQ1|＝|FM|＝，所以|QF|＝|QQ1|＝，应选B.
6．直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，假设线段AB的中点为(2，1)，那么直线l的方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有
由①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.
答案：y＝2x－3
7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，假设△ABF为等边三角形，那么p＝________．
解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.
又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
答案：6
8．双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.假设抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，那么抛物线C2的方程为________．
解析：因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝＝ ，解得＝，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为F，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.
答案：x2＝16y
9．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)假设过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
由题意可得4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以kFA＝，且FA的方程为y＝(x－1)，①
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，且MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以N的坐标为.
10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得，AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
那么
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
B级·素养提升|练能力|
11.抛物线x2＝4y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：x＋y＋4＝0的距离为d 2，那么d1＋d2的最小值是( )
A.＋2 B.＋1
C.－2 D.－1
解析：选D 抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，由抛物线的定义可得d1＝|PF|－1，那么d1＋d2＝|PF|＋d2－1，而|PF|＋d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|＋d2)min＝＝，所以d1＋d2的最小值是－1.
12．(一题多解)(2023届湖北武汉局部学校调研)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M(M在x轴上方)，l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，假设|NF|＝4，那么M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．3 D．2
解析：选B 解法一：因为直线MF的斜率为，MN⊥l，所以∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，所以△NMF是边长为4的等边三角形，所以M到直线NF的距离为2.应选B.
解法二：由题意可得直线MF的方程为x＝y＋，与抛物线方程y2＝2px联立消去x可得y2－py－p2＝0，解得y＝－p或y＝p，又点M在x轴上方，所以M.因为MN⊥l，所以N，所以|NF|＝ ＝2p.由题意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，2)，F(1，0)，直线NF的方程为x＋y－＝0，且点M的坐标为(3，2)，所以M到直线NF的距离为＝2，应选B.
解法三：由题意可得直线MF的方程为x＝y＋，与抛物线方程y2＝2px联立消去x可得y2－py－p2＝0，解得y＝－p或y＝p，又点M在x轴上方，所以M.因为MN⊥l，所以N，所以|NF|＝＝2p.由题意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，2)，F(1，0)，M(3，2)，设M到直线NF的距离为d，在△MNF中，S△MNF＝|NF|×d＝|MN|×yM，所以d＝×4×2＝2，应选B.
13．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设＝＋λ，求λ的值．
解：(1)因为抛物线y2＝2px的焦点为，
所以直线AB的方程为y＝2，
由消去y得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
即＋p＝9，所以p＝4.
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－2，y2＝4.
所以A(1，－2)，B(4，4)．
那么＝＋λ＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(1＋4λ，－2＋4λ)．
因为C为抛物线上一点，所以(－2＋4λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.
14．如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
因为点P(1，2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
那么kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB.
所以＝－，
所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
得
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
所以kAB＝＝＝－1.
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