2022届高考数学总复习教学案平面向量的基本定理及坐标表示.docx

平面向量的根本定理及坐标表示
[知识能否忆起]
一、平面向量根本定理及坐标表示
1．平面向量根本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
3．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
(2)设＝xi＋yj，那么向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即假设＝(x，y)，那么A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)
二、平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
2．向量坐标的求法
(1)假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
三、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.假设a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[小题能否全取]
1．(2022·广东高考)假设向量＝(1,2)，＝(3,4)，那么＝(　　)
A．(4,6)　　　　　　　　　B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
解析：选A∵＝＋，∴＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
2．向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，假设a∥b，那么a＋b等于(　　)
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(3，－1) D．(－3,1)
解析：选A由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)．
3．(教材习题改编)两点A(4,1)，B(7，－3)，那么与同向的单位向量是(　　)
A.B.
C.D.
解析：选A∵A(4,1)，B(7，－3)，∴＝(3，－4)，
∴与同向的单位向量为＝.
4．在平行四边形ABCD中，假设＝(1,3)，＝(2,5)，那么＝________，＝________.
解析：＝＝－＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，
＝－＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．
答案：(1,2)　(0，－1)
5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设＝a，＝b.假设＝ma＋nb，那么＝________.
解析：∵＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b，
∴m＝，n＝－1.∴＝－4.
答案：－4
1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯
一的．
2．向量坐标与点的坐标的区别
要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．

平面向量根本定理及其应用
典题导入
[例1](2022·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，假设＝2，那么＝________(用向量a和b表示)．
[自主解答]∵＝2，∴△DOC∽△BOA，且＝，∴＝＝(＋)＝＝a＋b.
[答案]a＋b
由题悟法
用向量根本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法那么或三角形法那么进行向量的加减运算和数乘运算．
以题试法
1．(2022·南宁模拟)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，那么λ＋μ的值为(　　)
A.B.
C.D．1
解析：选A设＝m＝m(－)(0≤m≤1)，那么＝＋＝(1－m)＋m，＝＝＋，所以λ＋μ＝＋＝.

平面向量的坐标运算
典题导入
[例2](1)(2022·西城期末)向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．假设实数k与向量c满足a＋2b＝kc，那么c可以是(　　)
A．(，－1)　　　　　　　B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1, )
(2)A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
①求3a＋b－3c；
②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
[自主解答](1)∵a＝(，1)，b＝(0，－2)，
∴a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)．
(2)由得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)
＝(6，－42)．
②∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
[答案](1)D
本例中第(2)题增加条件＝3c，＝2b，求M，N的坐标及向量的坐标．
解：∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
由题悟法
1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．
2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．
[注意]向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．
以题试法
2．(2022·淮安模拟)向量a＝(6,4)，b＝(0,2)，＝a＋λb，O为坐标原点，假设点C在函数y＝sin的图象上，那么实数λ的值为________．
解析：由题意得＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，
故点C的坐标为(6,4＋2λ)，
根据条件得4＋2λ＝sin＝1，解得λ＝－.
答案：－

平面向量共线的坐标表示
典题导入
[例3](2022·广东高考)向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．假设λ为实数，(a＋λb)∥c，那么λ＝(　　)
A.B.
C．1D．2
[自主解答]可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝.
[答案]B
在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行假设平行， 是同向还是反向
解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，
假设(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.
∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．
即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．
由题悟法
a∥b的充要条件有两种表达方式
(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．
以题试法
3．(1)(2022·北京东城区综合练习)向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，假设ma＋nb与a－2b共线，那么＝(　　)
A．－2B．2
C．－D.
解析：选C由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.
(2)(2022·嘉兴模拟)a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1D．λμ＝1
解析：选D∵A，B，C三点共线，∴存在实数t，满足＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，
∴即λμ＝1.
1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，假设＝(4,3)，＝(1,5)，那么等于(　　)
A．(－2,7)　　　　　　　　B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析：选B＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
2．平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，那么2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析：选C由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
3.(2022·昆明模拟)如下列图，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C在一条直线上，且＝－3，那么(　　)
A．c＝－a＋b
B．c＝a－b
C．c＝－a＋2b
D．c＝a＋2b
解析：选A∵＝－3，∴－＝－3(－)．
∴＝－＋，即c＝－a＋b.
4．点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)．给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行；②＋＝；③＋＝；④＝－2.其中正确的结论的个数是(　　)
A．1B．2
C．3D．4
解析：选C∵＝(－2,1)，＝(2，－1)，∴∥，又A，B，C，O不共线，
∴OC∥AB.①正确；
∵＋＝，∴②错误；
∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；
∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正确．
5．(2022·郑州模拟)平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ、μ为实数)，那么m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选D由题意知向量a，b不共线，故m≠，解得m≠2.
6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.假设＝a，＝b，那么＝(　　)
A.a＋bB.a＋b
C.a＋bD.a＋b
解析：选B由得DE＝EB，
又∵△DEF∽△BEA，
∴DF＝AB.
即DF＝DC.∴CF＝CD.
∴＝＝(－)
＝＝b－a.
∴＝＋＝a＋b－a＝a＋b.
7．(2022·洛阳质检)向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，假设(a－2b)∥(2a＋b)，那么x＝________.
解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由题意得(8－2x)·(x＋1)＝·(16＋x)，整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.
答案：4
8．(2022·九江模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，那么P∩Q等于________．
解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．
那么得
此时a＝b＝(－13，－23)．
答案：
9．向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，假设A，B，C三点能构成三角形，那么实数k应满足的条件是________．
解析：假设点A，B，C能构成三角形，
那么向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
答案：k≠1
10．A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)假设A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)假设＝2，求点C的坐标．
解：(1)由得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．
11．a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向
解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，
故|a＋3b|＝＝.
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.
此时ka－b＝(k－2，－1)＝，
a＋3b＝(7,3)，那么a＋3b＝－3(ka－b)，
即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．
12．O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不管t2为何实数，A，B，M三点都共线．
解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有
故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.
(2)当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，
∴不管t2为何实数，A，B，M三点共线．
1.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，那么以下说法错误的选项是(　　)
A．＝＋B．＝－
C．＝＋D．＝＋
解析：选D由向量减法的三角形法那么知，＝－，排除B；由向量加法的平行四边形法那么知，＝＋，＝＝＋，排除A、C.
2．(2022·山西四校联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，假设＝x＋(1－x)，那么x的取值范围是(　　)
A.B.
C.D.
解析：选D依题意，设＝λ，其中1<λ<，那么有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.
3．(2022·东营模拟)P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0.延长AP交BC于点D，假设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
解：∵＝－＝－a，＝－＝－b，
又3＋4＋5＝0，
∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，
化简，得＝a＋b.
设＝t (t∈R)，那么＝ta＋tb．①
又设＝k (k∈R)，
由＝－＝b－a，得
＝k(b－a)．而＝＋＝a＋，
∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②
由①②，得解得t＝.
代入①，有＝a＋b.
1．向量a＝(，1)，b＝(sinα－m，cosα)，且a∥b，那么实数m的最小值为(　　)
A．－2B．－1
C．－D．－3
解析：选A∵a∥b，∴cosα－sinα＋m＝0.
∴m＝sinα－cosα＝2sin≥－2.
2．假设α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，那么称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，那么a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
解析：选D∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
故即
3.如图，平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)假设＝2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．
解：(1)设点D(x，y)，因为＝，
所以(x，y)＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，
所以顶点D的坐标为(2,7)．
(2)设点I(x，y)，那么有F点坐标为，由于
＝2，故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE,8－yE)⇒E，
由于＝，
＝(x－4，y－1)，∥⇒
(x－4)＝－3(y－1)，又∥⇒x＝y，联立方程组可得x＝，y＝，
那么点I的坐标为.