2022届高考数学一轮复习-第五章-5.2-平面向量基本定理及坐标表示学案.docx

2022届高考数学一轮复习 第五章 5.2 平面向量基本定理及坐标表示学案2022届高考数学一轮复习 第五章 5.2 平面向量基本定理及坐标表示学案年级：姓名：第二节平面向量基本定理及坐标表示【知识重温】一、必记3个知识点1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a_.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_.2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴_的两个单位_i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a_，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作_，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其_相同，_相同的向量是相等向量3平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_，| _.(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，ab_，a_，ab(b0)的充要条件是_.(3)非零向量a(x，y)的单位向量为_或_.(4)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab_.二、必明3个易误点1若a、b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC中，可以作为基底()(2)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角为ABC.()(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后，其坐标不变()(4)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，且12.()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()二、教材改编2已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为()A(1,5) B(2,5)C(3,4) D(5,1)3.如图，在ABC中，ADAB，点E是CD的中点设a，b，用a，b表示_，_.三、易错易混42021合肥模拟若向量(2,4)，(1,3)，则()A(1,1) B(1，1)C(3,7) D(3，7)5下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()Aa(1,2)，b(0,0)Ba(1，2)，b(3,5)Ca(3,2)，b(9,6)Da，b(3，2)四、走进高考62018全国卷在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A. B.C. D.考点一平面向量基本定理及其应用互动讲练型例1(1)已知等腰梯形ABCD中，2，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，若记a，b，则()A. ab B.abC.ab D.ab(2)2021江苏南通调研在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则实数t的值为_悟技法平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 变式练(着眼于举一反三)1如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE的中点，若a，b，则()A.abB.abC.ab D.ab22021山东济南模拟在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则的值为()A.B.C.D.考点二平面向量的坐标运算自主练透型1已知(1，1)，C(0,1)，若2，则点D的坐标为()A(2，3) B(2，3)C(2,1) D(2，1)2已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c的坐标为()A. B.C. D.3已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. B.C. D.悟技法求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.考点三共线向量的坐标表示及其应用互动讲练型考向一：利用向量共线求向量或点的坐标例2已知梯形ABCD中，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则D点坐标为_悟技法利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a，即可得到所求向量.考向二：利用向量共线求参数例3(1)2021河南、河北重点高中段考已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(2mn)(m2n)，则()A1B0C1D2(2)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是()A B C. D.悟技法平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C三点共线等价于与共线.变式练(着眼于举一反三)3已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件42021河南安阳模拟已知向量a(1，1)，b(1,0)，若ab和2ab共线，则()A2 B. C1 D2第二节平面向量基本定理及坐标表示【知识重温】 不共线基底同向向量xiyja(x，y)坐标坐标(，)(，)(，)(，)0 (x，y)且 【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：设顶点D的坐标为(x，y)，(4,1)，(5x,6y)，平行四边形ABCD中，解得x1，y5.所以顶点D的坐标为(1,5)答案：A3解析：ab.()ab.答案：abab4解析：因为向量(2,4)，(1,3)，所以(1,3)(2,4)(1，1)故选B.答案：B5解析：根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底. 故选B.答案：B6解析：作出示意图如图所示()().故选A.答案：A课堂考点突破考点一例1解析：(1)因为等腰梯形ABCD中，2，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，所以()，因为a，b，所以ba.故选B项(2)因为，所以32，即22，所以2，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，又因为A，M，Q三点共线，所以可设.所以，又tt()tt，所以解得答案：(1)B(2)变式练1解析：在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点，()，()ab.答案：D2解析：如图，连接AC，由，得()()，则(1)()0，得(1)()()0，得(1)()0.又，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.答案：C考点二1解析：设D(x，y)，则(x，y1)，2(2，2)，根据2，得(x，y1)(2，2)，即解得故选D.答案：D2解析：设c(x，y)因为a2b3c0，所以(5，2)2(4，3)3(x，y)(0,0)，即(583x，263y)(0,0)所以解得所以c.答案：D3解析：因为(2,3)(3,7)(1,10)，所以，所以.故选D项答案：D考点三例2解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2，设点D的坐标为(x，y)，则(4x,2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)答案：(2,4)例3解析：(1)因为2mn(34,4)，m2n(3，3)，且(2mn)(m2n)，所以(3)(34)4(3)0，解得0.故选B.(2)(4k，7)，(2k，2)A，B，C三点共线，共线，2(4k)7(2k)，解得k.答案：(1)B(2)A变式练3解析：由题意得ab(2,2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6，当m6时，a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充要条件答案：A4解析：a(1，1)，b(1,0)，ab(1，)，2ab(1，2)，又ab和2ab共线，2(1)，2.故选D项答案：D