《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第四章-第2讲-平面向量基本定理及坐标表示.docx

第2讲　平面对量基本定理及坐标表示

1．平面对量基本定理
假如e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．
2．平面对量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面对量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[做一做]
1．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝(　　)
A．(－2，－4)　　　　　 B．(2，4)
C．(6，10) D．(－6，－10)
答案：A
2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：D

1．辨明三个易误点
(1)留意能作为基底的两个向量必需是不共线的．
(2)留意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.
(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
2．有关平面对量的两类本质
平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
[做一做]
3．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(　　)
A．a＝0，b＝e1＋e2
B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2
C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2
D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2
答案：C
4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于(　　)
A．－ B.
C．－或 D．0
答案：C

__平面对量基本定理及其应用__________

　如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.

[解]　∵＝－＝a－b，
＝＝a－b，
∴＝＋＝a＋b.
∵＝a＋b，
∴＝＋＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
[规律方法]　用平面对量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的状况下，合理地选取基底会给解题带来便利．另外，要娴熟运用平面几何的一些性质定理．
　　　1.设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
由于a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)
＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面对量基本定理，得
所以
答案：　－
__平面对量的坐标运算________________

　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M、N的坐标及向量的坐标．
[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，
∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
∴M(0，20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)．∴＝(9，－18)．
[规律方法]　平面对量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并留意方程思想的应用．
　　　2.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________．
解析：由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．
答案：(4，7)
__平面对量共线的坐标表示(高频考点)____

平面对量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式毁灭，难度较小，属简洁题．
高考对平面对量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：
(1)利用两向量共线求参数；
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；
(3)三点共线问题．
　(1)已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．8
C．0 D．2
(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
[解析]　(1)a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由已知(a－2b)∥(2a＋b)，明显2a＋b≠0，
故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，
∴⇒x＝4(x>0)．
(2)法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ)．
又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，由于＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以P点的坐标为(3，3)．
[答案]　(1)A　(2)(3，3)
[规律方法]　(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般状况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
推断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
　3.(1)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
(2)(2021·河北唐山模拟)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
(3)(2022·高考陕西卷)设0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________．
解析：(1)若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.
(2)∵b＝(2，1)，且a与b的方向相反，
∴设a＝(2λ，λ)(λ<0)．
∵|a|＝2，
∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.
∴a＝(－4，－2)．
(3)由于a∥b，所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ.
由于0＜θ＜，所以cos θ＞0，
得2sin θ＝cos θ，tan θ＝.
答案：(1)C　(2)(－4，－2)　(3)

方法思想——求向量中的范围、最值问题(解析法)

　　　给定两个长度为1的平面对量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

[解]　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(1，0)，B.
设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)，
由＝x＋y，
得；
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
[名师点评]　本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的学问求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较简洁解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法争辩向量问题奠定了基础．
　已知|a|＝|b|＝2，a⊥b，若向量c满足|c－a－b|＝2，求|c|的取值范围．
解：由于a⊥b，不妨令a＝(0，2)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，由|c－a－b|＝2，得(x－2)2＋(y－2)2＝4，|c|可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(2，2)为圆心，2为半径的圆上．
如图所示，当点(x，y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P′时到原点的距离最远，
而PO＝OA－2＝2－2，P′O＝OA＋2＝2＋2，所以2－2≤|c|≤2＋2.

1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝(　　)

A．b－a　　　　　　　 B．b＋a
C．a＋b D．a－b
解析：选A.＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.
2. (2021·宁夏质检)如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(　　)

A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B.与不共线，与不共线，而与共线，与共线，由平面对量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．
3．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是(　　)
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析：选D.∵a＝(，1)，b＝(0，－2)，
∴a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，
故向量c可以是(－1，)．
4．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，则||＝＝5.与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
5. (2021·长春模拟)设向量＝e1，＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，||∶||＝2，则＝(　　)

A.e1－e2
B.e1＋e2
C.e1＋e2
D.e1－e2
解析：选C.由题意知＝2，∴＝＋＝3，＝＋＝－＝－(－)＝e1＋e2.
6．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
解析：＝(a－1，3)，＝(－3，4)，
据题意∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，
∴a＝－.
答案：－
7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
解析：＝－＝(－3，2)，
∴＝2＝(－6，4)．
＝＋＝(－2，7)，
∴＝3＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
8．(2021·九江模拟)P＝{a|a＝(－1，1)＋m(1，2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2，3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．
解析：P中，a＝(－1＋m，1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．
则得
此时a＝b＝(－13，－23)．
答案：{(－13，－23)}
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一：∵A、B、C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴，解得m＝.
法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
∵A、B、C三点共线，
∴∥.
∴8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，
∴m＝.
10. (2021·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将分为2∶1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A是BC的中点，且＝.
由平行四边形法则，得＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)如题图，∥.
又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.

1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：选D.∵a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴即
∴a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
2．(2022·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是(　　)
A．[4，6] B．[－1，＋1]
C．[2，2] D．[－1，＋1]
解析：选D.设D(x，y)，则由||＝1，C(3，0)，得(x－3)2＋y2＝1.
又∵＋＋＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
∴|＋＋|的几何意义是点P(1，－)与圆(x－3)2＋y2＝1上点之间的距离．由|PC|＝知，|＋＋|的最大值是1＋，最小值是－1.故选D.
3．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动．Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．
解析：令Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)，
∴，消去x得d＝sin(c－)，
∴y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．
答案：[－，]
4. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

解析：由题意得，＝k(k<0)，又|k|＝<1，∴－1<k<0.又∵B，A，D三点共线，∴＝λ＋(1－λ)，m＋n＝kλ＋k(1－λ)·，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1，0)．
答案：(－1，0)
5．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在其次或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．
解：(1)＝t1＋t2
＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
当点M在其次或第三象限时，
有
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，
由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．
∵＝－＝(4，4)，
＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，
∴不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．
6. (选做题)如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若的坐标为(1，1)．

(1)求||；
(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使△AOB的面积最小，并求出最小值．
解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.
||＝1，||＝||＝1，∠ONP＝120°，
∴||＝
＝.
(2)设||＝x，||＝y.
＝m＋n(m＋n＝1)，
则＝m＋n＝mxe1＋nye2.
得⇒＋＝1.
S△AOB＝||||sin 60°＝xysin 60°＝xy.
由于＋＝1≥，
所以≥2，S△AOB＝xy≥，
当且仅当x＝y＝2，即当A(2，0)，B(0，2)时，△AOB面积最小，最小值为.