资源描述
第3讲 平面对量的数量积及应用举例
1．平面对量的数量积
平面对量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos_θ，规定0·a＝0.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
3．平面对量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
性质
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
[做一做]
1．(2022·高考湖北卷)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
解析：由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.
答案：±3
2．(2022·高考江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
解析：|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9.∴|a|＝3.
答案：3
1．辨明三个易误点
(1)①0与实数0的区分：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·00≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．
(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，由于a·b＝0时，有可能a⊥b.
(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(由于夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(由于夹角为π时不成立)．
[做一做]
3．已知向量a，b和实数λ，则下列选项中错误的是( )
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：选B.|a·b|＝|a||b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知选项B是错误的．
4．(2021·湖北武汉调研)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－，故所求夹角为.
__平面对量数量积的运算______________
(1)(2021·沧州模拟)已知平面对量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为( )
A. B．－
C. D．－
(2)(2022·高考江苏卷) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
[解析] (1)由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0，0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－.
(2)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.由于·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又由于2＝25，2＝64，所以·＝22.
[答案] (1)B (2)22
[规律方法] 向量数量积的两种运算方法：
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应机敏选择相应公式求解．
1.(1)(2021·高考湖北卷)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
(2)(2021·贵阳市适应性考试)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是( )
A. B．2
C．0 D．1
(3)(2021·广东梅州模拟)已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则P点的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：(1)选A.由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影为＝＝.
(2)选A.∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
(3)选C.设P点坐标为(x，0)，
则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
当x＝3时，·有最小值1.
∴点P坐标为(3，0)．
__平面对量的夹角与模(高频考点)________
平面对量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．
高考对平面对量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度：
(1)求两向量的夹角；(2)求向量的模；(3)两向量垂直；(4)求参数值或范围．
(1)(2022·高考重庆卷)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－ B．0
C．3 D.
(2)(2022·高考江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．
(3)已知点G是△ABC的重心，∠BAC＝120°，·＝2，则|＋＋ 的最小值为________．
[解析] (1)由于a＝(k，3)，b＝(1，4)，所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)．由于(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2，1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C.
(2)∵|a|＝
＝ ＝3，
|b|＝＝ ＝2，
∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
∴cos β＝＝.
(3)由于∠BAC＝120°，·＝2，
所以||||cos(180°－120°)＝2，
所以||||＝4.
由于点G是△ABC的重心，
所以＝×(＋)＝(＋)，
所以|＋＋|2＝
＝(2＋2＋2·)
＝(2＋2－4)
≥(2||||－4)＝×(2×4－4)＝，
当且仅当|AB|＝|AC|时等号成立
故|＋＋|的最小值为.
[答案] (1)C (2) (3)
[规律方法] 1.利用数量积求解长度的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
2．求两个非零向量的夹角时要留意：
(1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．
2.(1)(2021·忻州市高三第一次联考)已知向量a·(a＋2b)＝0，|a|＝2，|b|＝2，则向量a，b的夹角为( )
A. B.
C. D.
(2)(2021·云南省昆明三中、玉溪一中统一考试)在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．外心 D．重心
(3)(2021·北京海淀区期中考试)已知△ABC是正三角形，若a＝－λ与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．
解析：(1)设θ是a与b的夹角，由a·(a＋2b)＝0，可得|a|2＋2a·b＝0.依据向量数量积的定义及已知条件，得22＋2×2×2×cos θ＝0，cos θ＝－，θ＝.
(2)设BC边的中点为D，∵2－2＝2·，∴(＋)·(－)＝2·，即·＝·，∴·＝0，⊥，MD⊥BC，MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必通过△ABC的外心，故选C.
(3)由于－λ与向量的夹角大于90°，所以(－λ)·<0，即||2－λ||·||cos 60°<0，解得λ>2.
答案：(1)B (2)C (3)λ>2
__向量数量积的综合应用______________
(2021·高考辽宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]．
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解] (1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈[0，]，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，
当x＝∈[0，]时，sin(2x－)取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
若本例变为：已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π，c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
解：由于a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，
所以
由此得，cos α＝cos (π－β)，
由0<β<π，得0<π－β<π.
又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，
得sin α＝sin β＝，而α>β，
所以α＝，β＝.
[规律方法] 平面对量与三角函数的综合问题：
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
3.(2021·广州海珠区高三入学摸底考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
解：(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.
由于0<A<π，所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，则sin B＝＝＝，由于a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
交汇创新——平面对量与线性规划的交汇
(2021·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
[解析] 由||＝||＝·＝2，知，＝.
当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，
在△OAB中，取＝λ，过点C作CD∥OB交AB于点D，作DE∥OA交OB于点E，明显＝λ＋.由于＝，＝，∴＝(1－λ)，
∴＝λ＋(1－λ)＝λ＋μ＝，∴λ＋μ＝1时，点P在线段AB上，
∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．
考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，
其面积为S＝4S△OAB＝4××2×2sin＝4.
[答案] D
[名师点评] 由平面对量的模与数量积求解夹角考查了应用意识，由平面对量的分解考查了抽象概括力气和推理力气．
已知x，y满足若＝(x，1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D. 由于＝(x，1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观看图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝，故选D.
1．(2022·高考山东卷)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )
A．2 B.
C．0 D．－
解析：选B.∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，
又a·b＝××cos，
∴3＋m＝××cos，∴m＝.
2．(2021·云南省第一次统一检测)设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，假如向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
3．(2021·高考福建卷)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析：选C.∵·＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
4．(2021·湖南长沙模拟)关于平面对量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则a＝0或b＝c；
②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)且a⊥b，则k＝；
③非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中全部真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，可得a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，即命题①不正确；若a＝(1，k)，b＝(－2，6)且a⊥b，则a·b＝－2＋6k＝0，得k＝，即命题②正确；非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则可得出一个等边三角形，且a与a＋b的夹角为30°，即命题③正确，综上可得真命题有2个．
5．在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：选B.由题意画示意图，如图，＝1表示在上的投影为1，即AD的长为1，＝2表示在上的投影为2，即BD的长为2，故AB边的长度为3.
6．(2022·高考重庆卷)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________．
解析：∵a＝(－2，－6)，
∴|a|＝＝2，
∴a·b＝2×cos 60°＝10.
答案：10
7．(2021·昆明市第一次调研)在△ABC中，B＝90°，AB＝BC＝1，点M满足＝2，则·＝________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由于＝2，故点A是BM的中点．依题意C(1，0)，A(0，1)，M(0，2)，则＝(－1，1)，＝(－1，2)，所以·＝(－1)×(－1)＋1×2＝3.
答案：3
8．(2021·山西省第三次四校联考)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________．
解析：∵＋＝2，∴O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有||＝||，∴∠B＝30°.由定义知，向量在向量方向上的投影为||cos B＝2×＝3.
答案：3
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.
∴|4a－2b|＝16.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，
∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
10．已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
解：(1)∵a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，
∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n>1)．
∴n＝6或n＝－(舍去)，∴b＝(－2，6)．
(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.
又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)．
∵(c－a)·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0，
∴λ＝＝＝.
∴c＝b＝(－1，3)．
1．已知，是非零向量，且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的外形为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.∵(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0.
(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0，∴·＝·＝2·，即||＝||，而cos A＝＝，
∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形．
2．(2022·高考浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面对量，则( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析：选D.由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错．当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.
3．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．
解析：∵A，B，C为单位圆上三点，
∴||＝||＝||＝1，
又＋＋＝0，
∴－＝＋，
∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得cos〈，〉＝－，∴向量，的夹角为120°.
答案：120°
4．设集合D＝{平面对量}，定义在D上的映射f满足：对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R，且λ≠0)．若|a|＝|b|且a，b不共线，则[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝________；若A(1，2)，B(3，6)，C(4，8)，且f()＝，则λ＝________．
解析：[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝λ(a－b)·(a＋b)＝λ(a2－b2)＝0；＝(1，2)，＝(2，4)，又f()＝，则λ＝，λ＝2.
答案：0 2
5．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．
(1)求向量b＋c的长度的最大值．
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．
解：(1)法一：b＋c＝(cos β－1，sin β)，
则|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．
∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，
即0≤|b＋c|≤2.
当cos β＝－1时，有|b＋c|＝2，
∴向量b＋c的长度的最大值为2.
法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.
当cos β＝－1时，有b＋c＝(－2，0)，
即|b＋c|＝2，
∴向量b＋c的长度的最大值为2.
(2)法一：由已知可得b＋c＝(cos β－1，sin β)，a·(b＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，
即cos(α－β)＝cos α.
由α＝，得cos＝cos，
即β－＝2kπ±(k∈Z)，
∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，
于是cos β＝0或cos β＝1.
法二：若α＝，则a＝.
又由b＝(cos β，sin β)，
c＝(－1，0)得a·(b＋c)＝·(cos β－1，sin β)＝cos β＋sin β－.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，
即cos β＋sin β＝1，∴sin β＝1－cos β，
平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，
解得cos β＝0或cos β＝1.
经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．
6．(选做题)已知向量a＝(mx2，－1)，b＝(m是常数)，且f(x)＝.
(1)若f(x)是奇函数，求m的值；
(2)设函数g(x)＝f－，争辩当实数m变化时，函数g(x)的零点个数．
解：(1)由题意知，a·b＝－x＝，所以f(x)＝＝m－.
由题设，对任意的不为零的实数x，都有f(－x)＝－f(x)，即m＋＝－m＋恒成立，所以m＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝m－－，则g(x)＝0⇔x2－2mx＋4＝0，Δ＝4(m2－4)．
所以当m>2或m<－2时，函数g(x)有两个零点；
当m＝±2时，函数g(x)有一个零点；
当－2<m<2时，函数g(x)没有零点．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
