《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第四章-第3讲-平面向量的数量积及应用举例.docx

第3讲平面对量的数量积及应用举例1平面对量的数量积平面对量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos_叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab即ab|a|b|cos_，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc3平面对量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)性质几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|做一做1(2022高考湖北卷)设向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_解析：由题意得，(ab)(ab)0，即a22b218220，解得3.答案：32(2022高考江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a|_解析：|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149.|a|3.答案：31辨明三个易误点(1)0与实数0的区分：0a00，a(a)00，a000；0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系(2)ab0不能推出a0或b0，由于ab0时，有可能ab.(3)abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立2有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(由于夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(由于夹角为时不成立)做一做3已知向量a，b和实数，则下列选项中错误的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|解析：选B.|ab|a|b|cos |，只有a与b共线时，才有|ab|a|b|，可知选项B是错误的4(2021湖北武汉调研)已知向量a，b满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选D.a(ab)a(ab)a2ab|a|2|a|b|cosa，b0，故cosa，b，故所求夹角为._平面对量数量积的运算_(1)(2021沧州模拟)已知平面对量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则的值为()A.BC. D(2)(2022高考江苏卷) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_ 解析(1)由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0，0)，得x1x2，y1y2，故.(2)由3，得，.由于2，所以2，即222.又由于225，264，所以22.答案(1)B(2)22规律方法向量数量积的两种运算方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应机敏选择相应公式求解1.(1)(2021高考湖北卷)已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D(2)(2021贵阳市适应性考试)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是()A. B2C0 D1(3)(2021广东梅州模拟)已知向量(2，2)，(4，1)，在x轴上存在一点P使有最小值，则P点的坐标是()A(3，0) B(2，0)C(3，0) D(4，0)解析：(1)选A.由已知得(2，1)，(5，5)，因此在方向上的投影为.(2)选A.，()|，|1，|1，()()(1)1222，故选A.(3)选C.设P点坐标为(x，0)，则(x2，2)，(x4，1)(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21.当x3时，有最小值1.点P坐标为(3，0)_平面对量的夹角与模(高频考点)_平面对量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题高考对平面对量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)求向量的模；(3)两向量垂直；(4)求参数值或范围(1)(2022高考重庆卷)已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0C3 D.(2)(2022高考江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _(3)已知点G是ABC的重心，BAC120，2，则| 的最小值为_解析(1)由于a(k，3)，b(1，4)，所以2a3b2(k，3)3(1，4)(2k3，6)由于(2a3b)c，所以(2a3b)c(2k3，6)(2，1)2(2k3)60，解得k3.故选C.(2)|a| 3，|b| 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，cos .(3)由于BAC120，2，所以|cos(180120)2，所以|4.由于点G是ABC的重心，所以()()，所以|2(222)(224)(2|4)(244)，当且仅当|AB|AC|时等号成立故|的最小值为.答案(1)C(2)(3)规律方法1.利用数量积求解长度的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|.2求两个非零向量的夹角时要留意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角2.(1)(2021忻州市高三第一次联考)已知向量a(a2b)0，|a|2，|b|2，则向量a，b的夹角为()A. B.C. D.(2)(2021云南省昆明三中、玉溪一中统一考试)在ABC中，设222，那么动点M的轨迹必通过ABC的()A垂心 B内心C外心 D重心(3)(2021北京海淀区期中考试)已知ABC是正三角形，若a与向量的夹角大于90，则实数的取值范围是_解析：(1)设是a与b的夹角，由a(a2b)0，可得|a|22ab0.依据向量数量积的定义及已知条件，得22222cos 0，cos ，.(2)设BC边的中点为D，222，()()2，即，0，MDBC，MD为BC的垂直平分线，动点M的轨迹必通过ABC的外心，故选C.(3)由于与向量的夹角大于90，所以()0，即|2|cos 602.答案：(1)B(2)C(3)2_向量数量积的综合应用_(2021高考辽宁卷)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解(1)由|a|2(sin x)2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x0，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin(2x)，当x0，时，sin(2x)取最大值1.所以f(x)的最大值为.若本例变为：已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0，c(0，1)，若abc，求，的值解：由于ab(cos cos ，sin sin )(0，1)，所以由此得，cos cos ()，由0，得0.又0，所以，.规律方法平面对量与三角函数的综合问题：(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等3.(2021广州海珠区高三入学摸底考试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解：(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.由于0Ab，所以AB，则B，由余弦定理得52c225c，解得c1.故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.交汇创新平面对量与线性规划的交汇(2021高考安徽卷)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是()A2B2C4 D4解析由|2，知，.当0，0，1时，在OAB中，取，过点C作CDOB交AB于点D，作DEOA交OB于点E，明显.由于，(1)，(1)，1时，点P在线段AB上，0，0，1时，点P必在OAB内(包括边界)考虑|1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，其面积为S4SOAB422sin4.答案D名师点评由平面对量的模与数量积求解夹角考查了应用意识，由平面对量的分解考查了抽象概括力气和推理力气已知x，y满足若(x，1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是()A1 B.C. D.解析：选D. 由于(x，1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观看图象可知，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a，故选D.1(2022高考山东卷)已知向量a(1，)，b(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m()A2B.C0 D解析：选B.ab(1，)(3，m)3m，又abcos，3mcos，m.2(2021云南省第一次统一检测)设向量a(1，2)，b(m，1)，假如向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于()A BC. D.解析：选D.a2b(12m，4)，2ab(2m，3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.3(2021高考福建卷)在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B2C5 D10解析：选C.(1，2)(4，2)440，S四边形ABCD|25.4(2021湖南长沙模拟)关于平面对量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则a0或bc；若a(1，k)，b(2，6)且ab，则k；非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为30.其中全部真命题的个数为()A0 B1C2 D3解析：选C.若abac，则a(bc)0，可得a0或bc或a(bc)，即命题不正确；若a(1，k)，b(2，6)且ab，则ab26k0，得k，即命题正确；非零向量a，b满足|a|b|ab|，则可得出一个等边三角形，且a与ab的夹角为30，即命题正确，综上可得真命题有2个5在ABC中，1，2，则AB边的长度为()A1 B3C5 D9解析：选B.由题意画示意图，如图，1表示在上的投影为1，即AD的长为1，2表示在上的投影为2，即BD的长为2，故AB边的长度为3.6(2022高考重庆卷)已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_解析：a(2，6)，|a|2，ab2cos 6010.答案：107(2021昆明市第一次调研)在ABC中，B90，ABBC1，点M满足2，则_解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由于2，故点A是BM的中点依题意C(1，0)，A(0，1)，M(0，2)，则(1，1)，(1，2)，所以(1)(1)123.答案：38(2021山西省第三次四校联考)圆O为ABC的外接圆，半径为2，若2，且|，则向量在向量方向上的投影为_解析：2，O是BC的中点，故ABC为直角三角形在AOC中，有|，B30.由定义知，向量在向量方向上的投影为|cos B23.答案：39已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768.|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7时，a2b与kab垂直10已知a(1，2)，b(2，n)，a与b的夹角是45.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与ca垂直，求c.解：(1)ab2n2，|a|，|b|，cos 45，3n216n120(n1)n6或n(舍去)，b(2，6)(2)由(1)知，ab10，|a|25.又c与b同向，故可设cb(0)(ca)a0，ba|a|20，.cb(1，3)1已知，是非零向量，且满足(2)，(2)，则ABC的外形为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选C.(2)(2)0，即20.(2)(2)0，即20，2，即|，而cos A，A60，ABC为等边三角形2(2022高考浙江卷)记maxx，yminx，y设a，b为平面对量，则()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2解析：选D.由于|ab|，|ab|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错当a，b夹角为锐角时，|ab|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选D.3单位圆上三点A，B，C满足0，则向量，的夹角为_解析：A，B，C为单位圆上三点，|1，又0，2()2222，可得cos，向量，的夹角为120.答案：1204设集合D平面对量，定义在D上的映射f满足：对任意xD，均有f(x)x(R，且0)若|a|b|且a，b不共线，则f(a)f(b)(ab)_；若A(1，2)，B(3，6)，C(4，8)，且f()，则_解析：f(a)f(b)(ab)(ab)(ab)(a2b2)0；(1，2)，(2，4)，又f()，则，2.答案：025已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，c(1，0)(1)求向量bc的长度的最大值(2)设，且a(bc)，求cos 的值解：(1)法一：bc(cos 1，sin )，则|bc|2(cos 1)2sin22(1cos )1cos 1，0|bc|24，即0|bc|2.当cos 1时，有|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当cos 1时，有bc(2，0)，即|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得bc(cos 1，sin )，a(bc)cos cos sin sin cos cos()cos .a(bc)，a(bc)0，即cos()cos .由，得coscos，即2k(kZ)，2k或2k，kZ，于是cos 0或cos 1.法二：若，则a.又由b(cos ，sin )，c(1，0)得a(bc)(cos 1，sin )cos sin .a(bc)，a(bc)0，即cos sin 1，sin 1cos ，平方后化简得cos (cos 1)0，解得cos 0或cos 1.经检验cos 0或cos 1即为所求6(选做题)已知向量a(mx2，1)，b(m是常数)，且f(x).(1)若f(x)是奇函数，求m的值；(2)设函数g(x)f，争辩当实数m变化时，函数g(x)的零点个数解：(1)由题意知，abx，所以f(x)m.由题设，对任意的不为零的实数x，都有f(x)f(x)，即mm恒成立，所以m0.(2)由(1)知，g(x)m，则g(x)0x22mx40，4(m24)所以当m2或m2时，函数g(x)有两个零点；当m2时，函数g(x)有一个零点；当2m2时，函数g(x)没有零点