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课时提升作业(二十四)
平面对量的基本定理及向量坐标运算
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2021·广州模拟)若向量等于( )
A.(-2,-4) B.(2,4)
C.(6,10) D.(-6,-10)
【解析】选A.由于=(4,7),所以=(-4,-7).
又=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4),
故=(-2,-4).
2.已知向量a,b满足|a|=,b=(2,4),则“a=(-1,-2)”是“a∥b”成立
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解题提示】先看充分性,即a=(-1,-2)能否推出a∥b,再看必要性,即“a∥b”能否得出a=(-1,-2)即可.
【解析】选A.若a=(-1,-2),则b=-2a,明显a∥b成立,故充分条件具备.反之,若a∥b,则b=λa,设a=(x,y),则必有所以y=2x, ①
又x2+y2=5, ②
由①②得
得不出a=(-1,-2),故必要性不具备.
因而是充分不必要条件.
【加固训练】设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a∥b,得8-(x-1)(x+1)=0,即x2-9=0.解得x=±3.所以x=3时,a∥b,而a∥b时,x还可以等于-3.故x=3是a∥b的充分不必要条件.
3.(2021·丽江模拟)已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,则2a-b= ( )
A.(4,0) B.(0,4) C.(4,-8) D.(-4,8)
【解析】选C.由于向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,
所以1×4+2m=0,
即m=-2,2a-b=2×(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).
4.(2021·兰州模拟)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,则λ+μ的值为( )
【解题提示】利用平面对量基本定理,且若A,B,C三点共线,则
(λ+μ=1)求解.
【解析】选A.由于M为BC上任意一点,
所以设(x+y=1).
又N为AM中点.
【误区警示】本题易毁灭M为边BC上任意一点这一条件不会用,不会转化,从而误会.
5.△ABC中,三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若向量m=(a+c,b),
n=(b-a,c-a),且m∥n,则角C的大小为( )
【解析】选B.由m∥n知(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
即a2+b2-c2=ab,又cos C=
0<C<π,故C=.
6.(2021·芜湖模拟)在△ABC中,已知a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,S为△ABC的面积,若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,则∠C=( )
【解题提示】依据向量平行的坐标公式,建立条件关系,利用余弦定理和三角形的面积公式即可得到结论.
【解析】选A.由于向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,
所以a2+b2-c2-4S=0,即4S=a2+b2-c2,
则4×absin C=a2+b2-c2,
即sin C==cos C,
则tan C=1,解得∠C=.
故选A.
7. (2021·临沂模拟)如图所示,A,B,C是☉O上的三点,线段CO的延长线与线段BA的延长线交于☉O外的一点D,若,则m+n的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,0)
【解析】选D.由于线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D,
则
由于D在圆外,所以t<-1,又D,A,B共线,
故存在λ,μ,使得
且λ+μ=1,又
所以
所以m+n=,所以m+n∈(-1,0).
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2021·枣庄模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且满足则= .
【解题提示】利用已知条件转化为向量的关系,确定点C位置后可解.
【解析】由已知得,
即
即如图所示:
故C为BA的靠A点的三等分点,因而
答案:
【一题多解】本题还可以用以下方法求解:
答案:
9.已知向量a=(x,2),b=(4,y),c=(x,y)(x>0,y>0),若a∥b,则|c|的最小值为 .
【解析】a∥b⇒xy=8,所以|c|= =4(当且仅当x=y=2时取等号).
答案:4
10.已知A(7,1)、B(1,4),直线y=ax与线段AB交于C,且,则实数a等于 .
【解题提示】设出点C坐标,利用得C点坐标后,代入直线方程可解a.
【解析】设C(x,y),则=(x-7,y-1),
=(1-x,4-y).
由于,
所以所以C(3,3).
又C点在直线y=ax上,
故3=a,得a=2.
答案:2
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·临汾模拟)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是( )
A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1
【解析】选C.若点A,B,C不能构成三角形,则向量共线,由于=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(k+1,k-2)-(1,-3)=
(k,k+1),所以1×(k+1)-2k=0,解得k=1.
2.(5分)(2021·徐州模拟)设=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则的最小值为 .
【解析】由于A,B,C三点共线,所以.
所以2(a-1)-(-b-1)=0,所以2a+b=1.
所以
即b=,a=时取等号.所以的最小值是8.
答案:8
3.(5分)(2021·牡丹江模拟)如图,在△ABC中, ,P是BN上的一点,若,则实数m的值为 .
【解析】由条件知
答案:
4.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),
B(cosθ,t),
(1)若a∥,且||=,求向量的坐标.
(2)若a∥,求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.
【解析】(1)由于=(cosθ-1,t),
又a∥,所以2t-cosθ+1=0.
所以cosθ-1=2t. ①
又由于||=,所以(cosθ-1) 2+t2=5. ②
由①②得,5t2=5,所以t2=1.所以t=±1.
当t=1时,cosθ=3(舍去),
当t=-1时,cosθ=-1,
所以B(-1,-1),所以=(-1,-1).
(2)由(1)可知t=,
所以y=cos2θ-cosθ+
【加固训练】已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求3a+b-2c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)
=(0,6).
(2)由于a=mb+nc,
所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),
(3)由于a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
且(a+kc)∥(2b-a),
所以2(3+4k)=-5(2+k),
解得k=
5.(13分)(力气挑战题)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.
(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.
(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.
【解题提示】(1)由向量相等列方程组求a,b的值.
(2)把A,B,C三点共线转化为向量共线,由向量共线列关于a,b的等量关系式,再依据基本不等式求a+b的取值范围.
【解析】(1)由于四边形OACB是平行四边形,
所以,即(a,0)=(2,2-b),
故a=2,b=2.
(2)由于=(-a,b),=(2,2-b),
由A,B,C三点共线,得∥,
所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,
由于a>0,b>0,
所以2(a+b)=ab≤,
即(a+b)2-8(a+b)≥0,
解得a+b≥8或a+b≤0.
由于a>0,b>0,
所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.
当且仅当a=b=4时,“=”成立.
【加固训练】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且(t∈R),问:
(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在二、四象限角平分线上?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)由于O(0,0),A(1,2),B(4,5),
所以
=(1+3t,2+3t).
若P在x轴上,只需2+3t=0,t=-;
若P在其次、四象限角平分线上,则
1+3t=-(2+3t),t=-.
(2)
若四边形OABP是平行四边形,则
即此方程组无解.
所以四边形OABP不行能为平行四边形.
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