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第4节 根本不等式
[A级 根底稳固]
1．假设x>0，y>0，那么“x＋2y＝2〞的一个充分不必要条件是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
解析：因为x>0，y>0，
所以x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．
故“x＝2且y＝1〞是“x＋2y＝2〞的充分不必要条件．
答案：C
2．以下结论正确的选项是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x∈时，sin x＋的最小值为4
C．当x>0时，＋≥2
D．当0<x≤2时，x－无最大值
解析：对于A，当0<x<1时，lg x<0，不等式不成立；对于B，当x∈时，sin x＋的最小值不为4(因为sin x＝2不成立)；
对于C，当x>0时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；
对于D，当0<x≤2时，y＝x－单调递增，所以当x＝2时，取得最大值，最大值为.
答案：C
3．设a>0，假设关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，那么a的最小值为( )
A．16 B．9 C．4 D．2
解析：在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥
2 ＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)，由题意知2＋1≥5.所以2≥4，≥2，a≥4，a的最小值为4.
答案：C
4．假设P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，那么|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：由题意知∠APB＝90°，所以|PA|2＋|PB|2＝4，
所以≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，
所以|PA|＋|PB|≤2，所以|PA|＋|PB|的最大值为2.应选B.
答案：B
5．(多项选择题)a>0，b>0，a＋b＝2，那么对于＋( )
A．取得最值时a＝ B．最大值是5
C．取得最值时b＝ D．最小值是
解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝2，
所以＋＝(a＋b)＝
＋≥＋×2＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
故＋的最小值为，此时a＝，b＝.
答案：AD
6．(2022·晋冀鲁豫名校联考)函数f(x)＝x2ex，假设a>0，b>0，p＝f ，q＝f ，r＝f(ab)，那么( )
A．q≤r≤p B．q≤p≤r
C．r≤p≤q D．r≤q≤p
解析：因为－＝－＝≥0，
所以≥.
又≥(a>0，b>0)，所以ab≤≤.
又f(x)＝x2ex在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以f(ab)≤f ≤f，即r≤q≤p.
答案：D
7．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800 元，假设每批生产x件，那么平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数是( )
A．60 B．80
C．100 D．120
解析：假设每批生产产品x件，那么每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是 元，总的费用是 元，由根本不等式得＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．
答案：B
8．函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，那么的最小值是( )
A．10 B．9 C．8 D．3
解析：由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，
由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，
所以f′(1)＝2a＋b＝2，
所以＝＋
＝(2a＋b)
＝
≥
＝(10＋8)＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以的最小值为9.
答案：B
9．一次函数y＝－x＋1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，假设动点P(a，b)在线段AB上，那么ab的最大值是________，取得最大值时a的值为________．
解析：易知A(2，0)，B(0，1)，
所以线段AB的方程为＋y＝1(0≤x≤2)．
又点P(a，b)在线段AB上，知＋b＝1(0≤a≤2)，
所以2≤1，那么ab≤，
当且仅当＝b，即a＝1，且b＝时取等号，
所以当a＝1，且b＝时，ab有最大值.
答案： 1
10．(2022·吉安期末检测)函数f(x)＝，那么f(x)的最大值为________．
解析：设t＝sin x＋2，那么t∈[1，3]，那么sin2x＝(t－2)2，那么g(t)＝＝t＋－4(1≤t≤3)．由“对勾函数〞的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g(1)＝1，g(3)＝，所以g(t)max＝g(1)＝1，即f(x)的最大值为1.
答案：1
11．在各项都为正数的等比数列{an}中，假设a2 018＝，那么＋的最小值为________．
解析：因为{an}为等比数列，所以a2 017·a2 019＝a＝.
所以＋≥2＝2＝4.
当且仅当＝，即a2 019＝2a2 017时，等号成立．
所以＋的最小值为4.
答案：4
12．(2022·江门模拟)对任意正数x，满足xy＋＝2－4y2，那么正实数y的最大值为________．
解析：因为y为正数，xy＋＝2－4y2，所以x＋＝－4y.
因为x＋≥2(x为整数)，所以－4y≥2，
由y>0，得2y2＋y－1≤0，解得0<y≤.
因此y的最大值为.
答案：
[B级 能力提升]
13．(2022·广东汕尾联考)假设直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，那么＋的最小值为( )
A．4 B.
C. D．6
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
依题设，圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，
所以a＋2b＝2，且a>0，b>0.
所以＋＝×(a＋2b)×＝×≥×(5＋2)＝(当且仅当a＝b＝时取等号)．
答案：B
14．(2022·广东惠州三调)在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，那么＋的最小值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
解析：由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1，
又因为λ>0，μ>0，
所以＋＝×(λ＋4μ)＝8＋＋≥
8＋2＝16.
当且仅当λ＝，μ＝时等号成立，
故＋的最小值为16.
答案：A
15．正数a，b满足＋＝1，假设不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，那么实数m的取值范围是________．
解析：因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥16，
当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号．
依题意，16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
又x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以x2－4x－2的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
答案：[6，＋∞)
[C级 素养升华]
16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，
那么y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以k1＝5，k2＝20，
所以运费与仓储费之和为万元，
因为5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元．
答案：2 20
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