高优指导2021高考数学一轮复习单元质检六数列A理含解析北师大版.doc

单元质检六　数列(A)
(时间:45分钟　满分:100分)
　单元质检卷第11页　 
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则数列{an}的公差是(　　)

A.3 B.4 C.-4 D.-3
答案:B
解析:∵{an}是等差数列,a4=15,S5=55,
∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11.
∴公差d=a4-a3=4.
2.(2015厦门双十中学质检)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案:B
解析:由等比中项的性质得a3a11==16,又数列{an}各项为正,所以a7=4.
所以a16=a7q9=32.
所以log2a16=5.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9〚导学号92950656〛
答案:A
解析:设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解得d=2,
所以Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36.
所以当Sn取最小值时,n=6.
4.(2015江南十校模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=(　　)
A.9 B.12 C.16 D.36
答案:D
解析:由3a1-+3a15=0得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,b3b17==36.
5.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)
A.7 B.5 C.-5 D.-7〚导学号92950657〛
答案:D
解析:∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8,联立
可解得
当时,q3=-,
故a1+a10=+a7q3=-7;
当时,q3=-2,
同理,有a1+a10=-7.
6.(2015长沙模拟)已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=(　　)
A.-100 B.0
C.100 D.10 200〚导学号92950658〛
答案:A
解析:若n为偶数,则an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-(2n+1),偶数项为首项为a2=-5,公差为-4的等差数列;
若n为奇数,则an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1,奇数项为首项为a1=3,公差为4的等差数列.所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50×3+×4+50×(-5)-×4=-100.
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=　　　　　　　. 
答案:16
解析:∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,
∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8==16.
8.(2015乌鲁木齐三诊)等比数列{an}满足a2+8a5=0,设Sn是数列的前n项和,则=　　　　　　　 .〚导学号92950659〛 
答案:-11
解析:由a2+8a5=0得a1q+8a1q4=0,解得q=-.易知是等比数列,公比为-2,首项为,所以S2==-,S5=,所以=-11.
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)(2015长春调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn,其中a1=3,S5-S2=27.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若Sn,2(an+1+1),Sn+2成等比数列,求正整数n的值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则S5-S2=3a1+9d=27,
又a1=3,则d=2,故an=2n+1.
(2)由(1)可得Sn=n2+2n,
又Sn·Sn+2=8(an+1+1)2,
即n(n+2)2(n+4)=8(2n+4)2,
化简得n2+4n-32=0,
解得n=4(n=-8舍去),所以n的值为4.〚导学号92950660〛
10.(15分)设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)由已知,当n≥1时,
an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1
=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.
而a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.
(2)由bn=nan=n·22n-1知
Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①
从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②
①-②,得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,
即Sn=[(3n-1)22n+1+2].〚导学号92950661〛
11.(15分)(2015安徽,理18)设n∈N+,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)记Tn=,证明:Tn≥.
(1)解:y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,
从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).
令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-.
(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知
Tn=.
当n=1时,T1=.
当n≥2时,因为
=,
所以Tn>×…×.
综上可得对任意的n∈N+,均有Tn≥.〚导学号92950662〛

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