2023版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题充分条件与必要条件练习理北师大版.doc

1.2 命题、充分条件与必要条件
核心考点·精准研析
考点一　四种命题的关系及其真假判断 
1.命题p:“正数a的平方不等于0〞,命题q:“假设a不是正数,那么它的平方等于0〞,那么q是p的 (　　)
A.逆命题　　B.否命题　　C.逆否命题　　D.否认
2.(2023·长春模拟)命题“假设x2<1,那么-1<x<1〞的逆否命题是 (　　)
A.假设x2≥1,那么x≥1或x≤-1
B.假设-1<x<1,那么x2<1
C.假设x>1或x<-1,那么x2>1
D.假设x≥1或x≤-1,那么x2≥1
3.(2023·天水模拟)以下说法中,正确的选项是 (　　)
A.命题“假设a>b,那么2a>2b-1〞的否命题为“假设a>b,那么2a≤2b-1〞
B.命题“存在x∈R,使得x2+x+1<0〞的否认是:“任意x∈R,都有x2+x+1>0〞
C.假设命题“非p〞与命题“p或q〞都是真命题,那么命题q一定是真命题
D.命题“假设a2+b2=0,那么ab=0〞的逆命题是真命题
4.(2023·北京高考)能说明“假设a>b,那么<〞为假命题的一组a,b的值依次为　　　　. 
【解析】1.选B.命题p:“正数a的平方不等于0〞可写成“假设a是正数,那么它的平方不等于0〞,从而q是p的否命题.
2.选D.命题的形式是“假设p,那么q〞,由逆否命题的知识,可知其逆否命题为
“假设q,那么p〞的形式,所以“假设x2<1,那么-1<x<1〞的逆否命题是“假设x≥1或x≤-1,那么x2≥1〞.
3.选C.命题“假设a>b,那么2a>2b-1〞的否命题应为“假设a≤b,那么2a≤2b-1〞,故A错;命题“存在x∈R,使得x2+x+1<0〞的否认是:“任意x∈R,都有x2+x+1≥0〞,故B错;假设命题“非p〞是真命题,那么p是假命题,又因为命题“p或q〞是真命题,那么命题q一定是真命题,C对;命题“假设a2+b2=0,那么ab=0〞的逆命题是“假设ab=0,那么a2+b2=0〞显然是假命题,故D错.
4.①假设a>b>0,那么<成立;
②假设a>0>b,那么,>0,<0,所以<不成立;
③假设0>a>b,那么<<0成立.
综上,只需选取符合“a>0>b〞的一组a,b,就能说明原命题是假命题.
例如,a=1,b=-1;a=2,b=-1等.
答案:1,-1(答案不唯一)
1.命题真假的两种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行直接判断.
(2)四种命题的真假成对出现.即原命题与逆否命题的真假性相同,逆命题与否命题的真假性相同.当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
2.写一个命题的其他三种命题时的注意点
(1)对于不是“假设p,那么q〞形式的命题,需先改写.
(2)假设命题有大前提,写其他三种命题时需保存大前提.
3.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
考点二　充分条件、必要条件及充要条件的判断 
【典例】1.(2023·浙江高考)假设a>0,b>0,那么“a+b≤4〞是“ab≤4〞的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2023·天津高考)设x∈R,那么“x2-5x<0〞是“|x-1|<1〞的 (　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.“a≠1或b≠2〞是“a+b≠3〞的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解题导思】
序号
联想解题
1
由a+b的范围求ab的范围,联想到根本不等式
2
由不等式的解集,想到用集合法判断
3
原命题不好判断,想到其逆否命题
【解析】1.选A.当a>0,b>0时,a+b≥2,那么当a+b≤4时,有2≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;
当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立,
综上所述,“a+b≤4〞是“ab≤4〞的充分不必要条件.
2.选B.由x2-5x<0可得解集为A={x|0<x<5},由|x-1|<1可得B={x|0<x<2},易知BA,故0<x<5是0<x<2的必要而不充分条件,即“x2-5x<0〞是“|x-1|<1〞的必要而不充分条件.
3.选B.“假设a≠1或b≠2,那么a+b≠3〞的逆否命题“假设a+b=3,那么a=1且b=2〞显然是假命题,所以原命题是假命题,充分性不成立.又因为原命题的否命题“假设a=1且b=2,那么a+b=3〞是真命题,所以原命题的逆命题“假设a+b≠3,那么a≠1或b≠2〞是真命题,所以必要性成立;故“a≠1或b≠2〞是“a+b≠3〞的必要不充分条件.
充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否认性词语的命题.
1.(2023·全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,那么α∥β的充要条件是 (　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
【解析】选B.由面面平行的判定定理知:α内有两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件;
由面面平行的性质定理知,假设α∥β,那么α内任意一条直线都与β平行,所以α内有两条相交直线与β平行是α∥β的必要条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.
2.(2023·天津高考)设x∈R,那么“<〞是“x3<1〞的 (　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由<,得0<x<1,
那么0<x3<1,
即“<〞⇒“x3<1〞;
由x3<1,得x<1,当x≤0时,≥,
即“x3<1〞 “<〞.
所以“<〞是“x3<1〞的充分而不必要条件.
考点三　充分、必要条件的综合应用 
命题
精解
读
1.考什么:(1)根据充分条件、必要条件求参数的取值范围.
(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.
2.怎么考:常与不等式结合,利用集合与充分、必要条件的关系求范围.
学霸
好方
法
1.概念问题:准确理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念,找准异同点,巧妙解题.
2.交汇问题: 与方程、不等式、集合、立体几何、数列等交汇时,要根据各知识点的性质进行转化,并建立联系.
充分条件、必要条件的探求
【典例】不等式x(x-2)<0成立的一个必要不充分条件是
(　　)
A.x∈(0,2) B.x∈[-1,+∞)
C.x∈(0,1) D.x∈(1,3)
【解析】选B.由x(x-2)<0得0<x<2,因为(0,2)[-1,+∞),所以“x∈[-1,+∞)〞是“不等式x(x-2)<0成立〞的一个必要不充分条件.
解答此题的关键是什么?
提示:由必要不充分关系确定集合关系.
充分条件、必要条件求参数的取值范围
【典例】1.设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=　　　　. 
2.条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.假设p是q的必要不充分条件,那么实数a的取值范围是　　　　.
【解析】1.由Δ=16-4n≥0,得n≤4.
又n∈N+,那么n=1,2,3,4.当n=1,2时,方程没有整数根;当n=3时,方程有整数根1,3,
当n=4时,方程有整数根2.综上可知,n=3或4.
答案:3或4
2.由2x2-3x+1≤0,得≤x≤1,所以条件p对应的集合P=.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,所以条件q对应的集合为Q={x|a≤x≤a+1}.
方法一:用“直接法〞解题
p对应的集合A=,
q对应的集合B={x|x>a+1或x<a}.
因为p是q的必要不充分条件,即BA,
所以或所以0≤a≤.即实数a的取值范围是.
方法二:用“等价转化法〞解题
因为p是q的必要不充分条件,所以根据原命题与逆否命题等价,得p是q的充分不必要条件.所以p⇒q,即PQ⇔或
解得0≤a≤.即实数a的取值范围是.
答案:
利用充分、必要条件求参数的实质是什么?
提示:实质就是利用充分、必要条件建立关于参数的不等式(组).
1.在以下结论中:
①命题“假设x2-3x-4=0,那么x=4〞的逆否命题为“假设x≠4,那么x2-3x-4≠0〞;
②命题“假设m2+n2=0,那么m,n全为0〞的否命题是“假设m2+n2≠0,那么m,n全不为0〞;
③命题“假设m>0,那么方程x2+x-m=0有实根〞的逆否命题为真命题;
④“假设x>1,那么x2>1〞的否命题为真命题.
其中正确结论有　　　　个. (　　) 
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.①正确.
②不正确,否命题为“假设m2+n2≠0,那么m,n不全为0〞.
③m>0时,Δ=1+4m>0,所以原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.④逆命题“假设x2>1,那么x>1〞为假命题,所以否命题为假命题.
故正确结论的序号为①③.
2.(2023·北京高考)设a,b均为单位向量,那么“|a-3b|=|3a+b|〞是“a⊥b〞的
(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔a·b=0⇔a⊥b,即“|a-3b|=|3a+b|〞是“a⊥b〞的充分必要条件.
3.(2023·大庆模拟)p:x≤1+m,q:|x-4|≤6.假设p是q的必要不充分条件,那么m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1] B.(-∞,9]
C.[1,9] D.[9,+∞)
【解析】选D.由|x-4|≤6,解得-2≤x≤10,因为p是q的必要不充分条件,所以m+1≥10,解得m≥9.
4.(2023·西北工业大学附中模拟)命题P:“∀x>e,a-ln x<0〞为真命题的一个充分不必要条件是 (　　)
A.a≤1　 B.a<1 C.a≥1　 D.a>1
【解析】选B.由题意得a<(ln x)min,因为x>e,所以ln x>1,所以a≤1,因为(-∞,1)⊆(-∞,1],(-∞,1)≠(-∞,1] ,因此一个充分不必要条件是a<1.
祖暅原理:“幂势既同,那么积不容异〞.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由祖暅原理可得q⇒p,即p⇒q,那么充分性成立;反之不成立,如将同一个圆锥正放和倒放,在等高处的截面积不恒相等,但体积相等,所以p是q的充分不必要条件.
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