资源描述
第三节 等比数列及其前n项和
A级·根底过关
|固根基|
1.(2023届惠州调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，假设S6＝9S3，S5＝62，那么a1＝( )
A． B．2
C． D．3
解析：选B 由题意可得即解得应选B．
2．(2023届昆明一中模考)数列{an}是递减的等比数列，Sn是其前n项和，假设a2＋a5＝18，a3a4＝32，那么S5的值是( )
A．62 B．48
C．36 D．31
解析：选A 由a2＋a5＝18，a3a4＝32，得a2＝16，a5＝2或a2＝2，a5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{an}的公比为q，那么a1＝32，q＝，所以S5＝＝62，应选A．
3．(2023届厦门模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设Sn＝2n＋1＋λ，那么λ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 解法一：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时＝＝2.
因为{an}是等比数列，所以＝2，
即＝2，解得λ＝－2.应选A．
解法二：依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，
因为{an}是等比数列，所以a＝a1·a3，
所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.应选A．
4．(2023届长沙一模)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，那么( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：选D 因为a1＝1，公比q＝，所以an＝，所以Sn＝＝＝3＝3－2＝3－2an，应选D．
5．(2023届郑州市第一次质量预测)数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12，那么a4＝( )
A．4 B．32
C．108 D．256
解析：选D ∵数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12，∴log2a1＋log2a2＋log2a3＝12，即log2a1·a2·a3＝12，得a＝212，解得a2＝16.设等比数列{an}的公比为q，那么a2＝a1·q＝4×q＝16，解得q＝4，∴a4＝a1·q3＝4×43＝256.应选D．
6．(2023届长春市第一次质量监测)Sn是等比数列{an}的前n项和，假设公比q＝2，那么＝( )
A． B．
C． D．
解析：选A 解法一：由题意知a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而S6＝＝63a1，所以＝＝，应选A．
解法二：由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a3＋a5)＋(a2＋a4＋a6)＝(a1＋a3＋a5)＋2(a1＋a3＋a5)＝3(a1＋a3＋a5)，故＝，应选A．
7．(2023届广州市第二次综合测试)设等比数列{an}的前n项和为Sn，那么以下等式一定成立的是( )
A．Sn＋S2n＝S3n B．S＝SnS3n
C．S＝Sn＋S2n－S3n D．S＋S＝Sn(S2n＋S3n)
解析：选D 不妨设等比数列{an}的首项为1，公比为2，那么an＝2n－1，Sn＝2n－1，故S2n＝22n－1，S3n＝23n－1.令n＝1，那么有S1＝1，S2＝3，S3＝7，代入选项A中，有S1＋S2＝1＋3＝4≠S3＝7，故A错误；代入选项B中，有S＝32＝9≠S1S3＝1×7，故B错误；代入选项C中，有S＝32＝9≠S1＋S2－S3＝1＋3－7＝－3，故C错误；代入选项D中，有S＋S＝1＋32＝10＝S1(S2＋S3)＝1×(3＋7)＝10，故D正确．应选D．
8．(2023届益阳市、湘潭市高三调研)等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，那么的值为( )
A．3 B．5
C．9 D．25
解析：选D 设等比数列{an}的公比为q，那么a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，所以＝＝q2＝25.应选D．
9．(2023届郑州市第二次质量预测)等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，假设a2＝2，S3＝7，那么a5的值为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2＝2，S3＝7，所以＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，故a1＝1，所以a5＝24＝16.
答案：16
10．(2023届洛阳市第二次统考)等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a8a13＝64，那么log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝________．
解析：解法一：设数列{an}的公比为q(q>0)，那么由题意，得a1q9·a1q10＋a1q7·a1q12＝64，所以aq19＝32，所以log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1a2…a20)＝log2(aq1＋2＋…＋19)＝log2(aq190)＝log2(32)10＝log2250＝50.
解法二：因为a10a11＋a8a13＝64，数列{an}为等比数列，所以a10a11＋a10a11＝64，所以a10a11＝32，所以log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1a2…a20)＝log2(a10a11)10＝log2(32)10＝log2250＝50.
答案：50
11．(2023届武汉市调研测试)正项等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.
(1)求数列{an}的公比q；
(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．
解：(1)∵{an}是正项等比数列，a1＝1，
假设q＝1，那么Sn＝na1＝n，
∴S2＝2，4S4＝4×4＝16，S6＝6，∴S2＋4S4＝2＋16＝18≠S6＝6，不合题意，∴q≠1，从而Sn＝.
由S2＋4S4＝S6可知
＋4·＝，
∴(1－q2)＋4(1－q4)＝1－q6，而q≠1，且q>0，
∴1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，
∴(q2－4)(q2＋1)＝0，∴q＝2.
(2)由(1)知an＝2n－1，那么{an}的前n项和Sn＝＝2n－1.
当n≥5时，bn＝2n－1－15>0；当n≤4时，bn＝2n－1－15<0，
∴T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)
＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)＝－S4＋S10－S4＋60－90＝S10－2S4－30＝(210－1)－2(24－1)－30＝210－25－29＝963.
12．(2023届陕西省高三二检)Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
解：(1)证明：当n＝1时，由Sn－2an＝n－4，得a1＝3，
∴S1－1＋2＝4.
当n≥2时，Sn－2an＝n－4可化为Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4，即Sn＝2Sn－1－n＋4，
∴Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，
∴{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1＋n－2，
∴Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
＝＋－2n
＝2n＋2＋－4.
B级·素养提升
|练能力|
13.(2023届江苏盐城四校联考)a1，a2，a3，a4依次成等比数列，公比q为正数且不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，那么q的值是( )
A． B．
C． D．
解析：选B 因为公比q不为1，所以删去的不是a1，a4.①假设删去a2，那么由2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3.又a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，所以q2＝q＋1.又q>0，所以q＝；②假设删去a3，那么由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3.又a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，所以q(q＋1)＝1.又q>0，所以q＝.应选B．
14．(2023届湖北武汉模拟)正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，那么a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A．10 B．15
C．20 D．25
解析：选C 由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5，可得S8－S4＝S4＋5.
又由等比数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，那么S4(S12－S8)＝(S8－S4)2.
于是a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．
所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.应选C．
15．(2023届长沙市、南昌市高三第一次联考)等比数列{an}满足＝，a5＝4，记等比数列{an}的前n项积为Tn，那么当Tn取最大值时，n＝( )
A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．7或8
解析：选C 设数列{an}的公比为q，由＝，得q3＝，那么q＝，那么an＝a5·qn－5＝27－n，从而可得Tn＝a1·a2·…·an＝26＋5＋4＋…＋(7－n)＝2＝2 (－n2＋13n)，所以当(－n2＋13n)取最大值时，Tn取最大值，此时n＝6或7，应选C．
16．(2023届湖北局部重点中学联考)数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，a3＝3，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2，{bn}为递增数列，假设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜1.
解：(1)设数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝a3＝3，S3＝9，符合条件，∴an＝3；
当q≠1时，由题意知
所以解得
∴an＝12×.
综上，an＝3(q＝1)或an＝12×(q≠1)．
(2)证明：假设an＝3，那么bn＝0，与题意不符，所以an＝12×－n－1，
所以a2n＋3＝12×－2n＋2＝3×2n，bn＝log2＝log222n＝2n，那么cn＝＝＝－，
所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－＋－＋…＋－＝1－＜1.
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