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1一阶微分方程一阶微分方程第七章第七章 21 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程分离变量法分离变量法2 齐次方程齐次方程343 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5高阶微分方程高阶微分方程1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型代入原方程代入原方程,得得6 型型代入原方程代入原方程,得得72 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次）二阶齐次线性线性方程解的结构方程解的结构:（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:8解的叠加原理解的叠加原理9特征方程为特征方程为3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程10特征方程为特征方程为推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项114 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.1213向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：1 1、向量的坐标表示法、向量的坐标表示法（一）向量代数（一）向量代数第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数14向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式15向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式16它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式:172 2、数量积、数量积(点积、内积点积、内积)数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式183 3、向量积、向量积(叉积、外积叉积、外积)向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式19方程特点方程特点:1.旋转曲面旋转曲面（二）空间解析几何（二）空间解析几何20旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面21xyz旋转抛物面旋转抛物面oyzx22旋旋转转椭椭球球面面ozyx23（2）圆锥面）圆锥面（1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面242.柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.25从柱面方程从柱面方程(的特征的特征:二元方程二元方程)看柱面的看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴双曲柱面双曲柱面 母线母线/轴轴抛物柱面抛物柱面 母线母线/轴轴26抛物柱面抛物柱面xyzxyz椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面xyz273.二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面28特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）29（3）马鞍面）马鞍面（4）单叶双曲面）单叶双曲面（5）圆锥面）圆锥面304.4.空间曲线空间曲线1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程31CCC关于关于 的投影柱面的投影柱面C在在 上的投影曲线上的投影曲线Oxzy设曲线设曲线 则则C关于关于xoy面的投影柱面的投影柱面方程应为消面方程应为消z后的方程后的方程：所以所以C在在xoy面上的投面上的投影曲线的方程为：影曲线的方程为：3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影325.5.平面平面1 平面的点法式方程平面的点法式方程2 平面的一般方程平面的一般方程3 平面的截距式方程平面的截距式方程334 平面的夹角平面的夹角5 两平面位置特征：两平面位置特征：/重合重合346.6.空间直线空间直线1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程353 空间直线的参数方程空间直线的参数方程2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程36直线直线直线直线两直线的夹角公式两直线的夹角公式4 两直线的夹角两直线的夹角375 两直线的位置关系：两直线的位置关系：/6 直线与平面的夹角直线与平面的夹角/38直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式7 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系/398点到平面距离公式点到平面距离公式比较中学所学的点到直线的距离公式比较中学所学的点到直线的距离公式:406.6.平面束平面束定义定义:通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个平面确定的平面束平面确定的平面束.设平面设平面411 1、偏导数概念、偏导数概念第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用42432、全微分公式、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法用定义证明可微与不可微的方法可微可微不可微不可微44多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导有极限有极限3、关系、关系454 4、多元复合函数求导法则、多元复合函数求导法则定理定理1 若函数若函数在点在点 处偏导连续处偏导连续,在点在点 t 可导可导,则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形在点在点t处可导，处可导，公式的记忆方法：连线相乘，分线相加公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.465 5、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.47定理定理1 1 设函数设函数单值连续函数单值连续函数 y=f(x),并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内可唯一确定一个某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足的某一邻域内满足满足条件满足条件导数导数在点在点则方程则方程在点在点6 6、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则48定理定理2 2 的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足满足 在点在点若函数若函数 满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确49定理定理3 3的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏导数导数设函数设函数则方程组则方程组的单值连续函数的单值连续函数计算偏导数按直接法求解计算偏导数按直接法求解.在点在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足满足:在点在点507 7、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面(关键关键:抓住切向量抓住切向量)511）空间曲线方程为）空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：(取取 为参数为参数)522）空间曲线方程为）空间曲线方程为(取取 为参数为参数)切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为53()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为(关键关键:抓住法向量抓住法向量)54曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令则则（特殊情形）（特殊情形）558 8、方向导数、方向导数记为记为（1）方向导数的定义及存在的充分条件）方向导数的定义及存在的充分条件56三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义方向导数的存在性及其计算方法方向导数的存在性及其计算方法:定理定理那么那么函数在函数在该点沿任一方向该点沿任一方向 的方向导数存在的方向导数存在,且有且有57说明说明:可微可微沿任一方向的方向导数存在沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立反之不一定成立.(2)梯度的概念梯度的概念记为记为 58梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系59则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值,使函数取得极值的使函数取得极值的(极小值极小值).).定义定义:若函数若函数 在点在点的某邻域内有的某邻域内有（1)1)二元函数极值的定义二元函数极值的定义点称为极值点点称为极值点.9 9、多元函数的极值、多元函数的极值60定理定理1 1 (必要条必要条件件)偏导数偏导数,且在该点取得极值且在该点取得极值 ,则有则有（2 2）多元函数取得极值的条件）多元函数取得极值的条件函数函数 在点在点 存在存在说明说明:驻点驻点极值点极值点(可导函数可导函数)注意：注意：使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点.1.驻点驻点2.偏导中至少有一个不存在的点偏导中至少有一个不存在的点.所以所以所以所以,可疑极值点是可疑极值点是可疑极值点是可疑极值点是:61时时,具有极值具有极值定理定理2(2(充分条件充分条件)一阶和二阶连续偏导数一阶和二阶连续偏导数,且且 令令则则:(1)当当A0 时取极小值时取极小值.(2)当当(3)当当时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数点的某邻域内具有点的某邻域内具有(按极值定义来判定按极值定义来判定按极值定义来判定按极值定义来判定)62第四步第四步 求出极值求出极值.63(3)多元函数的最值多元函数的最值a.最值的存在性：最值的存在性：如函数如函数b.有界闭区域有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：上连续函数的最值的求法与步骤：（1）找最值可疑点）找最值可疑点 D内的驻点及不可导点内的驻点及不可导点边界上的可能极值点边界上的可能极值点（2）比较以上各点处的函数值，最）比较以上各点处的函数值，最大大（小小）者即）者即为所求的最为所求的最大大（小小）值）值.（假定函数在（假定函数在D有有有限个可疑点）有限个可疑点）定理定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m.64特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时,为极小值为极小值为最小值为最小值(大大)(大大)求二元函数在闭区域求二元函数在闭区域D上的最值上的最值,往往比较复杂往往比较复杂.但如果根据问题的实际意义但如果根据问题的实际意义,知道函数在知道函数在D内存在最值内存在最值,又知函数在又知函数在D内可微内可微,且只有唯一驻点且只有唯一驻点,则该点处的函数则该点处的函数值就是所求的最值值就是所求的最值.函数的最值应用问题的解题步骤：函数的最值应用问题的解题步骤：第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定定义域确定定义域(及约束条件及约束条件)65（4）条件极值）条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值66则则 （）处连续；处连续；例例 设设 处的两个偏导数都存在，处的两个偏导数都存在，(3)67、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.1 1、二重积分的定义、二重积分的定义第十章第十章683 3、二重积分的计算、二重积分的计算X型型 X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下69 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型70求二重积分的方法步骤求二重积分的方法步骤:1.作图求交点；作图求交点；2.选择积分次序；选择积分次序；4.计算计算.(先内积分后外积分先内积分后外积分;计算内积分时把计算内积分时把在累次积分不易积或不能积时在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序应考虑交换积分次序.(把把D写成不等式形式写成不等式形式)；外积分变量看成常数外积分变量看成常数)3.确定积分限确定积分限711、选择积分次序、选择积分次序(1)首先被积函数要易积分，能积分；首先被积函数要易积分，能积分；(2)积分区域积分区域D尽量少分块尽量少分块.2、确定积分限、确定积分限计算二重积分的两个关键：计算二重积分的两个关键：内限内限平行线穿越法平行线穿越法.外限外限 投影法；投影法；72（2）极坐标系下）极坐标系下732、定限方法、定限方法内限（内限（的限）的限）射线穿越法射线穿越法.外限（外限（的限）的限）看看 夹在那两条射线之间；夹在那两条射线之间；利用极坐标计算二重积分应注意：利用极坐标计算二重积分应注意：积分次序积分次序先先后后1、何时用极坐标？何时用极坐标？1、当积分区域为圆域或其一部分时、当积分区域为圆域或其一部分时；2、被积函数中含有、被积函数中含有 或或 时时.3、用直角坐标求不出的积分、用直角坐标求不出的积分.744 4、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2)曲面积曲面积设设 上连续，上连续，曲顶柱体曲顶柱体顶顶被积函数；被积函数；底底积分区域积分区域.(3)求质量求质量756、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义7 7、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质5 5、三重积分的定义、三重积分的定义768 8、三重积分的计算、三重积分的计算()直角坐标直角坐标（截面法）（截面法）（先一后二法）（先一后二法）77()柱面坐标柱面坐标78积分次序：积分次序：定限方法定限方法内限内限平行线穿越法；平行线穿越法；外积分区域外积分区域投影法投影法.（可用极坐标计算时的定限法）可用极坐标计算时的定限法）799 9、三重积分的应用、三重积分的应用(3)(3)质心质心(1)求体积求体积(2)求质量求质量80弧微分弧微分设设L：（1）对弧长（第一类）对弧长（第一类）1.曲线积分的计算曲线积分的计算化为定积分计算化为定积分计算第十一章曲线、曲面积分第十一章曲线、曲面积分81（2）对坐标（第二类）对坐标（第二类）设设L：有方向有方向822曲面积分的计算曲面积分的计算（化为二重积分）（化为二重积分）若若（1）对面积（第一类）的曲面积分）对面积（第一类）的曲面积分向向xoy面的投影为面的投影为 则则投影投影投影投影83（2）对坐标（第二类）的曲面积分）对坐标（第二类）的曲面积分若若 上侧，则上侧，则若若 下侧，则下侧，则有方向有方向843.格林公式格林公式 -平面上曲线积分与二重积分的关系平面上曲线积分与二重积分的关系4.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件L取正向取正向.以及等价关系以及等价关系.设有界闭区域设有界闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成,855.高斯公式高斯公式 曲面积分与三重积分的关系曲面积分与三重积分的关系866.两类积分之间的关系：两类积分之间的关系：的法向量的法向量L的切向量的切向量曲线曲线:曲面曲面:87三三.两类曲线两类曲线(曲面曲面)积分的典型问题积分的典型问题一般曲线积分化成定积分计算，一般曲线积分化成定积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.88第一类曲线积分的求法第一类曲线积分的求法1.基本方法：基本方法：由积分曲线的表达式求出由积分曲线的表达式求出弧微分元素弧微分元素，定积分定积分定限定限：下限小于上限：下限小于上限.将积分曲线将积分曲线代入代入被积函数，被积函数，892.利用积分性质利用积分性质:解解 3.计算中注意利用对称性计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性奇偶性、轮换性90因为积分曲线因为积分曲线L关于关于y轴对称轴对称，函数，函数 2xcosy是是例例 设设L为椭圆为椭圆其周长为其周长为a，求，求解解 原式原式=x的奇函数的奇函数，因此有，因此有而而所以所以 91第二类曲线积分的求法第二类曲线积分的求法1.基本方法：基本方法：由积分曲线的表达式确定定积分的由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量积分变量，将积分曲线将积分曲线代入代入被积表达式，被积表达式，定积分定积分定限定限：起点对应下限，终点对应上限：起点对应下限，终点对应上限.922.利用格林公式利用格林公式(1)积分曲线为封闭曲线积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分直接化为二重积分（满足定理条件）（满足定理条件）(2)积分曲线为非封闭曲线积分曲线为非封闭曲线,添加曲线添加曲线(较简单较简单)使之成为封闭曲线使之成为封闭曲线,原曲线积分化为一个原曲线积分化为一个二重积分减去在添加曲线上的曲线积分二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.93记记L所围的区域为所围的区域为D，易知，易知D是边长为是边长为 的正方形区域的正方形区域.例例1 1 设设L L为为 的反时针方向，则的反时针方向，则(A)0；(B)2；(C)4；(D)1解解由已知，由已知，则则由格林公式，得由格林公式，得B94解解 为用格林公式为用格林公式,它与它与L所围区域为所围区域为D,则则原式原式添加辅助线段添加辅助线段95原式原式963.利用曲线积分与路径无关的条件利用曲线积分与路径无关的条件(1)改变原积分路径，使得原积分简化改变原积分路径，使得原积分简化.(2)已知已知 是某函数的全微分，是某函数的全微分，求出该函数，即求出该函数，即97984.有奇点的曲线积分有奇点的曲线积分例例4 设设取逆时针方向，取逆时针方向，求求解解 取取构造构造l：顺时针顺时针已知已知99于是，于是，由格林公式由格林公式100第一类曲面积分的求法第一类曲面积分的求法由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面投影投影，将积分曲面将积分曲面代入代入被积函数，被积函数，求出求出曲面面积元素曲面面积元素向向xoy面面投影：投影：1.基本方法：基本方法：1012.计算中注意利用对称性计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性奇偶性、轮换性关于关于xoy面对称面对称，被积函数是，被积函数是z的偶函数的偶函数.102103解解 由对称性（轮换性）由对称性（轮换性）104问题：问题：105第二类曲面积分的求法第二类曲面积分的求法上侧取上侧取“+”,下侧取下侧取“”对坐标对坐标 x,y 的积分：的积分：积分曲面向积分曲面向xoy坐标面坐标面投影投影，将积分曲面将积分曲面代入代入被积函数，被积函数，由积分曲面的侧确定二重积分的由积分曲面的侧确定二重积分的符号符号.分三项计算分三项计算1.106前侧取前侧取“+”,后侧取后侧取“”右侧取右侧取“+”,左侧取左侧取“”对坐标对坐标 y,z 的积分：的积分：对坐标对坐标 x,z 的积分：的积分：1072.利用高斯公式利用高斯公式(1)积分曲面为封闭曲面积分曲面为封闭曲面,直接化为三重积分；直接化为三重积分；(2)积分曲面为非封闭曲面积分曲面为非封闭曲面,添加曲面添加曲面(较简单较简单)使之成为封闭曲面使之成为封闭曲面,原曲面积分化为一个原曲面积分化为一个三重积分减去在添加曲面上的曲面积分三重积分减去在添加曲面上的曲面积分.108例例6 6 计算计算解解 曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式为利用高斯公式109关于关于yoz面对称面对称，被积函数关于被积函数关于x是奇函数是奇函数原式原式110111故所求积分为故所求积分为1123.坐标转换坐标转换113下侧下侧 把三个积分合并把三个积分合并,只向坐标面只向坐标面xoy投影投影分析分析114解解 把三个积分合并把三个积分合并,只向坐标面只向坐标面xoy投影投影115下侧下侧116两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系是是 的法向量的法向量.117118