高等数学同济第七版7版下册习题全解.doc

第十章重积分 97

y
2

D2

-1
O

i T
-2

图 10 - 1

数，故
/, = Jj( x2 + y1) 3d(j = 2jj( x2 + y1) 3dcr.
fh i)i
又由于d3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故 jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2 + y2 ) 3 da = 2/2.
Dy 1)：
从而得
/, = 4/2.
(2) 利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：
如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) ,PJ
jf/(x,y)da = 0；
D
如果积分区域D关于：k轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即
/( ~x,y) = -/(太，y)，则
= 0.
D
«3.利用二重积分定义证明：
(1 ) jj da = (其中(7为的面积)；
IJ
(2) JJ/c/( X ,y) drr = Aj|y’( a:，y) do■(其中 A：为常数)；
o n
(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个
I) b\ lh
尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数./U,y) = 1 ,故山二t积分定义得
n "
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac,
=lim cr = a.
A—0
n
(2) Ji/( x,j) (Ic7 = lim ^
i) 1
n
=A lim y/(^( ,i7, )A(7-, = k \\f{x,y)Aa.
A-° 台 •{!
(3) 因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限总 是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y) 在A UD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为
^/(^, ,17,) Act, = ^/( ^, , 17,) Act, + ^/(^, ,17,) Act,.
/)(U0, ", l)：
令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得 J f(x,y)i\a = jjf(x,y)da + JJ/(xfy) da.
p,un} V, n；
Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1 -2x2 - y2)d«ly达到最大值.
I)
解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1 -2.v2 - V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1 -2/ -y2小于零的点，即当£»是椭圆2/ + y2 = l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.
& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
(1) Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A +.、=
D I)
1所围成；
(2) J(x +7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2 +(.v-l)2 =
t) n
2所围成；
( 3 ) I'm A； + y) (lor与!"[ In( X + y) ] 2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为
l) "
(1，0)，(1，1)，(2,0);
(4) Jpn(:r + y) dcr 与In(:t + y) ] 2fW，其中 /) = | (.r ,.v) | 3 ，0彡、彡 1 .
i) i)
解(1)在积分K域0上，故有
(x + j) 3 ^ (x + y) 2.
根据二重积分的性质4，可得
J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)
0 D
(2) 由于积分区域0位于半平面| (a:，V) | .V + •、彡1 1内，故在/)|:& (.f + y) 2彡(a + y) 3 •从『("• J( v + ＞ )：drr ^ jj ( x + y) \lfr.
(3) 由于积分区域D位于条形区域1 U，y) | 1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上的 点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此
jj[ ln( a: + y) ] 2(Jo- ^ + y)d
(4) 由于积分区域/)位于半平面丨(x，y) | .v+y彡e|内，故在Z)上有ln(x+y)彡 1，从而：In (-v + )') ] 2彡 In (:c + )').因此
Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da.
i) a
3 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值：
(1) / = |^7(文+7)心，其中/)= \ (x ,y) 1,0 1|；
n
( 2 ) / = j^sin^sin^do■，其中 /) = j ( a: ,y) | 0 ^ ^ ^ tt ,0 ^ y ^ tt 1 ;
i)
(3) / = J*(A：+y + l)d(7,其中 />= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[；
it
(4) / = J(x2 + 4y2 +9)do•，其中 D = \{x,y) \ x2 + y2 ^ 4 |.
I)
解 (1)在积分区域D上，0矣;<:矣1 ,0英y矣1 ,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面 积等于1,因此
( 2 )在积分区域/)上，0矣sin j:矣1 ,0 ^ sin 1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的 面积等于tt2,W此
(3) 在积分K域"上有\^x+y + \ «4,/)的而积等于2,因此
(4) W为在积分K域/>»上有0矣;t2 +y2苳4,所以有
9 ^ + 4r2 +9 ^ 4( x2 + y2) + 9矣25.
34 I)的酣枳等于4tt，W此
36 tt ^ [[(x2 +4/ + 9) (Ur ^ lOO-ir.
二重积分的计算法
.^1.计算下列二甩积分:
第十章重积分 101

(2) l<3x十2) ;dcr，其中"是由两坐标轴及直线-X- + v = 2听围成的闭区域；
b
( 3 J jj( xJ + 3x2 \ + v3 ) da，其中 D = ( x , v) 0 ^ a: ^ 1 .0 ^ v ^ 1 ；
u
( 4 ) jjxcas( X + Y j do■，其中Z>是顶点分别为( 0 .0 j < 77 ,0 )和( 77 , 77 )的三角形闭
区域.
m (1
(x2 4- V2 ) d(T = f dxf ( X2 -h V2 ) d V
dx
j fh
(2) D可用不等式表示为
于是
2 r2 -x
3xy + y2 ]l~xdx = | (4 + 2x - 2x2 ) dx
20
(3)
(+ 3x2y + y3 ) da = d> (文3 + 3.r2 v +、、)ch.
+ x y + v" jc
di
(4) l)可用不等式表示为
0 ^ V ^ A： , 0 ^ .t ^ 7T.
于是
|a:cos(jc + y) da = I cos(.v + v ) d i
[ sin (.t + y) ] q()^ = J v( sin 2.v - sin .v ) <1 x x(\( cos .v —丄(.<，s 2.v)
卜(
1X(-
TT rTX
cos .v - —rus
TT.
& 2. _出枳分ix:域，斤i卜r): v列m分:
(1) J^^do■，其中/)是由两条抛物线7 = v^,y = *2所围成的闭区域；
D
(2) jfxy2dcr,其中D是由圆周x2 + J2 = 4及y轴所围成的右半闭区域；
I)
( 3 ) JV + 'dcr，其中 /) = I (%，)•)| | A； | + | J | ^ 1 !；
D
(4) |"U2 +/ -x)<lo•，其中D是由直线y :l、y二xh : 2*所围成的闭区域.
D
解(1)0可用不等式表示为
x2^y^J^, 0矣x矣 1(图 10-2).

于是
0 « ^ ^ /4 - y2 , -2矣7矣2(图 10 -3),

(2) D可用不等式表示为
(3)如阁 I () - 4，W = /\ U "2，其中
/>1 = \(x,y)\-x-\ ^y^Jc + 1,-1 ^a;^0|,
I)2 = \ (x ,y) |*-1 +
因此

Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/( x，v)是两个函数/] ( O及)的乘
n
积，即/(X，y) = f\(x) ./“y)，积分区域/) = { (.V, y) I (1 ^ V ^ />, r ^ ,证叫
这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即
|*/|U) -/2(r) flatly = [ J/, (.v)(l.v] - [ [/：( > )^v]-
证 Jj./1 ( x ) • .,2 ( / ) dvd V ~ J [ f J \ ( v) ■ ./： t ^] l^x*
在上式右端的第一次单枳分f/, (.V) • /2 (.V) d v中,./, ( A.) 1J fu t变招:、无关，nn见为 常数提到积分5外，W此上式“端笏T
而在这个积分中，由于f/2 (y) d y为常数，故又可提到积分号外，从而得到
• f2<,y)^xAy= [| /2(y)dj] - [ Jn/, (x)dx]
证毕.
^4.化二重积分
/ = Jf(x，y)da
I)
为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域£>是:
(1) 由直线及抛物线y2 =4x所围成的闭区域；
(2) 由x轴及半圆周/ +y2 =r2(y英0)所围成的闭区域；
(3) 由直线y =x，；c = 2及双曲线：k = ^-(*>0)所围成的闭区域；
X
(4) 环形闭区域 IU，y) | 1 +y2^4(.
解(1)直线y=x及抛物线y2 =4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是
fix
/ = j[ dy^/(*，y)tk.

f(x,y)dy,
(2) 将/)用不等式表示'fyO^y^r2 -x2，- r ^ W /•，于是可将/化为如下的先 对y、后对*的二次积分：
r
/ = J (1文J f(x ,y)(\y；
如将0叫不等式表示为~Vr2 -y2^x^Vr2 - y2 ,0各/•，则可将/化为如卜的 先对*、后对y的二次枳分：
第十章重积分 105

dr
x,y) dx.
(3)如图 10-7.
:条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1 ,1 )，2,y和
(2,2).于是
dy (i_/(^,y) + tlj /( x ,y) dx.

| dxj[f(x,y)dy.
注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线 的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个 方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先 对y、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分.
需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y)的特点.具体例子n]'见教 材下册第144页上的例2.
dx
• \/4
J\x yy)dy + d.vl
(1%
/T
/(A：,y)clr + d.vl
■ y a -x2
/(.r,v)d> -f /(.v Vv) dv.
/(.v,v)d.v -f
.\/4 -、
/( \ , > ) d.v -f
厂、/4 -、•'
•I
-v^ W"
/( v , y) (l.\.
(4)将D按图10 - 8( a)和图10 - 8( 1>)的两种不同方式則分为4块，分別得
图 10 -8
,5.设/U，y）在D上连续，其中/）是由直线;= = 所围成的闭区
域，证明
x ,r) d.t.
dx| f(x,y)Ay
证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U, y） d o•，因而它们相等.
I）
^6.改换下列二次积分的积分次序：
(5) (lx\ f{x,y)Ay\
广2 f yix -x2
(4) | 叫2 f{x,y)dy-,
fix /-sin x
(6) I Ax\ J(x,y)Ay.
JO J - siny
(2) J) dj|： f(x,y)dx；
解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;k）（^，其中o =丨h，y） 1° ^ ^ ^ r-
"
0 ^ j ^ I （. /> n|■改写为 | Uj） | * 矣 y 矣 1，0 ^ ^ I | （罔 10 - 9）,于是
原式=丄 <ixj/(x,y)dy.
(2) 所给一.次枳分等于二'Ti积分 |/U,y)山，.K:中 /) = I |.y2 ^ ^ < 2y,
0
0 ^21. M I) njm为{u’y) I 音矣 j ^ 7^,0 ^ x 在4)( 1冬1 1(> - I0)，W此
原式=J, i\xjy/(x,y)i\y.
(3) 所给二次积分等于二重积分.其中D = : (.v.v) | - V 1
-y2 ^
.V ^ 1
$、飞
V彡1
U
X ^ J1 - y2 ,0彡 >•彡 1 ; •又 D 可表示为：(JC，)*)丨0彡 y 彡 V 1 - .r2 , - 1 = (图10 -11)，因此
f 1 f V1 -X~
原式=J ^ dxj /(x, v)dy.
(4) 所给二次积分等于二重积分其中D = : (.v.v) ' 2 -
h
s/lx - x1 %\ 彡.r 彡2 :.又 D 可表示为：(a:,v) | 2 - 1彡.t•彡 1 + Y 1 — v2,0 : (图 10 -12)，故
原式=丄 d)j f(x %y)dx.
(5) 所给二次积分等于二重积分］|/(.10 )(1^,)1:中/)= 1(.v.v) | 0 ^ v ^
I)
x彡e | •又/)可表示为| ( a:，＞•) | e、彡a•彡e，0彡、彡1 i ( |劄10 - 1,故
原式=L (I.、| ,./X .、，.、) (l.v.
(6) m 1()-14,将积分|><:域/)丧示为 /), U/)2，其中 A), = j U，、)| arcsin > ^
/(x,y)dx.
y
广 1 rir - arcsin >
原式=I dy f(xyy)c\x
JO Jarcsin )

tt - arcsin y，0彡 y 彡 1 | 1 ,D2 = | (.r, y)
一 2arcsin , 一1 彡)'彡0|.于是
^7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;t = 2，y = 和;r轴所围成，它的面密度
/x(.t,v) = x2 +y2,求该薄片的质量.
解 D如图10-15所示.所求薄片的质
rt
-x + xy
dr
M = jJ/Lt( x 9y) dcr = ^ dyj ( x2 + y2 ) dx
Ay
r[+(2”)3+2,

~d\ 2x
12
| 冬| 10 - 15
c\) ''i x e | o»•Y = sin A 的反闲数足A = iirrs»M y- -1 x
足ih y - hin x = sin ( tt - x) "n!J tt - x ^ arcKin y,从ifii得反闲数 ^
(子•中，TT
tt - iin-Hin y.
8. i |灯|l|四个平而a： = 0，y = 0，;t = I，v = I所闲成的柱休被平面z = 0及2.r + 3y + z 6藏得的立休的体积.

解 江力一 EJ .它？？芪是；c0:. S二苎泛7：省•。= X.；, 0矣二矣
0^；. €1 .了是芒 -2x-3:. F 10 - ]6 . g -护不二歹
l = |( 6 - 2j： - 3;. dxdv = dx 6 - lx - 5 •. d'.
Sa9.求由平面a: =0,y = 0,^ +:，• = ］所围成的柱体被平面z = 0及拉物面;c:，:.： =6 - : £. 得的」/.体的体积.
解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv面上的闭区域D= . 0 «^ 1 -：，.
，顶是曲面 Z=f)-<x2 +y2 )(^\ 10 - 17 >，故体积
V - (I 6 - ^ x2 + y2 ) dx(\y
6 ( 1 - x ) - x2 + ——f 1
广1 广1 -戈
dx^ ( 6 - x~
\1_
6"*

10-17

m 10 - 18
H.r
x

第十章重积分 109

这10.求由曲面+ 2/及z=6-2x2 _y2所围成的立体的体积.
_ 2^2
解由= T +'}' 消去z,得;c2 +y2 = 2,故所求立体在面上的投影 U = 6 - 2x2 - j2
区域为
D = | (x,y) | x2 + 〆矣2| (图 10 - 18). 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：
V = ( 6 - 2x2 - y2 ) dcr — x2 + 2y2 ) dcr
l) I)
=JJ(6 - 3^r2 - 3y2 ) da = jj( 6 - 3p2 )pdpd0
/-2tt
d0[ (6 - 3p2 )pdp = 6tt.
注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确 图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程，这 就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识•
y 11.両出积分区域，把积分J[/(A：，y)d;cdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区
U
域D是：
(1 ) \ (xyy) \ X2 + y2 ^ a2 I (a > 0)；
(2) | {xyy) \ x2 + y2 ^ 2^| ；
(3) | (x,y) | a2彡 x2 + y1 彡62 |，其中0 < a < 6;
(4) j (xyy) | 0 ^ j ^ 1 - x,0 ^ x 1 | .
解(1)如图10-19,在极坐标系中，0= |(p，0) | 0彡p彡a，0彡(9彡2tt1，故
^j\x,y)AxAy - jj/(pcos 0，psin 6)pdpd0
/-2tT r<l
(1^1 /(pcos 0，psin 0)pAp.
(2)如图10-20,在极坐标系中，
l) = (p,0)
jjy(x，y)dxdy = jj/(pcos 0,pain 0)pdpdO
i) i)
-y* y.2coH 0
=J , d^j) /(pros 0,psin 6»)p<lp.

(3)如图10-21，在极坐标系中，/) = \ (p ,6、彡p彡/),0彡0彡2tt,故
= J/(pcos 0,psin 0)pdpd0
/-2-it
(id /(pros 0 ,psin 0)pdp.
(4) D如图10 - 22所示.在极坐标系中，直线x
的方程为p
sin 0 + cos 0
—于是
sin 6 + cos 6 2 J
f(x ,y) dxdy = jj/(pcos 0,psin 6)pdpd0 n
V
C，in • n«
^ /(pc os 0,psin 6) pdp.
)\

p=b
(r
P=^\
—bl—aV O
jyh x

10 -22
图 10-21
12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
(1 )丄心丄/(d'HIv;
2 >/3\
(2) (|.v f /(/r' + v2)<l» :

解(1)如图10-23，用直线7 = *将积分区域£>分成£>1，102两部分：
{(p,0)
(p,e)
于是
l-X ,sec 6 rY rcsc 8
原式=[d0[_ /(pcos 6,psin 6)pdp + L d^l /(pcos 0,psin d)pdp.
(2) D如图10-24所示.在极坐标系中，直线x=2,射线和;r =^x(x^0) 的方程分别是p = 2sec 6,6= •^和0 =•因此
|(pyO)
0^p^2sece,f^6^f}.
又 f(Vx2 + y2 ) =f(p),于是
f-Y y.2sec 0
原式=d0j) /(p)pdp-
(3 ) D如图1() - 25所示.在极坐标系中，直线；K = 1 _ x的方程为P =
1 ，圆;k = -/l - x2的方程为p = 1 ,因此
sin 0 + cos 6
(p，e)
原式
sin 0 + cos 6
于是
/(pcos 6 ,psin 0)pdp.
(4) /)如图10 -26所示.在极坐标系中，直线* = 1的方程是/> = sec心抛物线 y=/的方程是psin 0=p2c:os2(9,即p = tan伽e(. 0;从原点到两者的交点的射线是沒=
第+章重积分 113

rT rser 0
D = < (p，6)
7T
于是
Jlan O^ec 0

原式=[d沒 /(p cos 6,p sin 6)pdp.
("A
.s/lax
‘A： +
y2) d j ；
rti.v；
(3) [ dx i(x2 + /) -了dy
(4) d>
(.r2 + y2 ) cIa
解（1）积分区域D如图10-27所示.在极坐标系中，
0= ip,6)
0^p^2aros 0,0 ^ L
于是
r 2 /*2fl<'OS f) /• j •- *4
原式=i dei p2 'pdp = i
4aA [ c(、s4 0(W = 4aA
IT
i\0
注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分sin'4如和j/ ,-os^,）^. |M此 i己住如下的结果是有益的：
r // - I ^ - 3 3 I TT 、j , - /…似
• r 了 • • T"， n 匆 I[.偶数，
（2） m 10-28,在极坐标系中,
TT
i 13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
i
于是
T /-rtsec 0
d6» j) p - pAp = yj^ secJ6»d6>
=-—[sec ^tan 6 + ln( sec 6 + tan d) ] 4 6 o
=~~[ + ln( J2 + 1 )].
o

0 ^ ^ tan Osec 0,0 ^ f) J-
( 3 )积分区域D如图10 -29所示.在极坐标系中，抛物线y =X2的方程是psin沒 p:cos2沒，即p = tan 6 sec 0;射线y=A；(:t彡0)的方程是0 =子，故
"=\(p,0)
寸:是
x.|an Unt-r 0 j
原式= 7'p，lp
tan 沒sec. 0(\& = \ sec* 0] 4 - y/2 - \.

(4)积分区域
(p,e)
[;(w f, -p^p = f-^r - fa'
原式
114.利用极坐标计算下列各题：
(1) Ife^^da,其中£»是由圆周;c2 +y2 =4所围成的闭区域；
I)
(2) |ln(l +x2+/)dCT,其中D是由圆周:t2+y2=l及坐标轴所围成的在第一
I)
象限内的闭区域；
( 3 ) Jarctan —da ,其中 D 是由圆周;c2 4- y2 = 4 , .r2 + y2 = 1 及直线 y = 0，、=
D
x所围成的在第一象限内的闭区域.
解(1)在极坐标系中，积分区域I (p,0) | 0矣p彡2,0<0矣2tt;，于是
fT〆”'-, ^ ■ - r2^ „ r2 ^ ， re〆1
d(j
p dp (\0
AO I ep 9 p dp = 2tt
tt( e - 1 ).
(2)在极坐标系中，积分区域
TT
j- I
[ln( 1 + x2 + j2) do* = jj l n ( 1 + p2 ) • pdpdd = d0 f ln( 1 + p2) • pdp
n
y tj
ln( 1 + p2 )d( 1 + p2 )
子[(1 +p2)ln(l +P2) | ' - j^pdp]
TT
(21n 2 - 1 ).
(3)在极坐标系中，积分区域0 = (p,0)
于是
TT
TT •
1 —— l, arrlan

第十章重积分 117

x

iil5.选用适当的坐标计算下列各题：
(1) 其中0是由直线1=2,7=文及曲线邛=1所围成的闭区域； d y
(2) |^/| ~ ，其中/＞是由圆周;c2 +/ =】及坐标轴所围成的在第一
象限内的闭区域；
( 3 ) J (x2 +)2)如，其中/)是由直线7 = ：1，7 = 1 + 61，7 = 61，7=30(^1＞0)所围成
D
的闭区域；
(4) | yx2 + y2d(r，其中£＞是圆环形闭区域丨Uj)丨a2矣/ +y2^b2\.
解 (1 ) Z)如图1 0 - 30所示•根据/)的形状，选用直角坐标较宜.
D = \ (xyy)
^da =丄 d^: ^jdy = | ( - x + x3 ) dx =

r2
(2)根据积分区域的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜.
I)二
原式
p(|p
=f“7^rlp—
TT

(p,0)
(77-2).
7T
（3） D如图10-31所示.选用直角坐标为宜.又根据/）的边界曲线的情况，宜 采用先对^后对y的积分次序.于是
jj( x2 + j2 ) dcr = J dy ( x2 r2 ) d.\
/-2tt
x2 + y2 da = ||p • pdpdO = [ dO p2Jp
lay2 - a2y -f- —Idy = 14o4.
b、- cr ).
2tt m — ( b' - a
Sal6.设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧（0矣0莓j）与直线0 =;所
围成，它的面密度为M（x，y） =x2+y2.求这薄片的质量.
解薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域/）上的二車:积分（[?] 10-32）.即

m K) -3：

Jj]u(x，;y)da^ x2 + j2 ) da

TT
pdpdO
[、TOp
二4[ ' = ^r.
Jo 40
cM 17.求由平面y = 0，)• = /： >0 ) ,z = 0以及球心在原点、半径为尺的上半球面所围
成的在第一卦限内的立体的体积.
:arctan h,
y2da =
| yw -
p2pdpd0
p2p(ip
=a •(-

d 18.计算以.rOy面上的圆周:t 顶的曲顶柱体的体积.
解如图10-34,设
arctan k.
2 ■ y2 = ax围成的闭区域为底，而以曲面2 =*2 + /为
- I (x,y) | 0 ^ j ^ / ax -a:2 ,0 ^ a: ^ a | = |(p,0)|O^p^ acos 9,0 0 ^
由于曲顶柱体关于面对称，故
V = 2 ff ( x2 + y2 ) (lid)
^ facoa 0
2J]p2 • P^P^O二2丄 丄 p\\p
2 4 2 2 32

|冬MO -33
-Tin

f?-| 1() -34

第十章重积分 123

注在计算立体体积时，要注意充分利用图形的对称性，这样既能简化运算，也 能减少错误•
^1*19.作适当的变换，计算下列二重积分：
（1 ） J（x - y）2sin2（x + y）dx（Iy,其中/J是平行四边形闭区域，它的四个顶点是 /）
（7T，0） , （2tt,7t），（7T，27T）和（0，TT）;
（ 2 ） Jx2d.vdy，其中是由两条双曲线w = 1和X） = 2 ,直线）=.r和y = 4a•所 1）
围成的在第一象限内的闭区域；
（3） （fe5d.rdy，其中£»是由.v轴、）■轴和直线.r + .r = l所围成的闭区域；
解 （1）令^=欠-/，1；=无+ 7，贝|】：1： = - ~2~'在这变换下，的边界I -
y = - it ,x y = it ,x - y = tt ,x + y = 3ir 依次与 u = 一 tt，r = tt，u = tt，？； = 3tt 对应.后者 构成aOi；平面上与D对应的闭区域/）'的边界.于是
D' = \ { U ,v） | 一71'$“$77,77<"$311:（图10-35）.
V

371

D'

71

一
-71 O
n 14
(b)

*) ^ si ir ( v + > ) <1 vd、
3 (.'，，V) <l(u ,v)
i\m\i
yLu
1
卜］
IT
\JL
sin 2v'
T
.y.

L 2
4^-
2 dw sin2f；dy

it4

(2)令 W = A：y，=上，贝Ij A：
\/uv-在这变换下，D的边界xy = 1，y =^，叮=2,
因此

1
■Ju
d(x,y)
2 y~uv
2
d(u,v)
fv
■Ju

2 Ju
2 Jv
fj^2y2 dxdy
-h2-
-—dudv = 2v
2.

2v
—dv v
)= 4x依次与u = \Jv = \,u=2,v=4对应，后者构成平面上与D对应的闭区域 "的边界.于是D1 = \(u,v) | 1彡a彡2，1彡i;彡4丨(图10 -36)•又
v{

1

D.
一
0

2
(b)

阁 10-36
(3) ^ u = x + y ,v = y x = = 则在这变换下，/)的边界7=0，％=0,
% y - \依次与r = ()，a = ^，w = 1对应.后者构成wO?;平面上与D对应的剛K域/J的 边界，于是
D' = \ (uyv) \ 0 ^ V ^ u,0 ^ u ^ \ \.
又 y = f|^|='—丨
因此 \^ef^(\xAy = JJe7du dv = ^ (Jw丄 eTdf’ =丄 u( e - 1 ) cJm
i) o'
= +(e-".

{x = apcos 0,
. ((2>0，/>>0,/)彡0,0彡沒彡211).在此变换
y - bp sin ❹
下，与D对应的闭区域为“二丨（p，0） | 0彡p彡1彡2tt1 .又
acos 0 — apsin 6
bs'm 0 bpcos 8
a bp.
j d（x,y）=
"d（P，e） '
% ^ \ rr ~ tx r 1
1*20.求由下列曲线所围成的闭区域D的面积：
（1 ） 0是由曲线xy = 4，xy = 8，xy3 = 5 , a;j3 =15所围成的第一象限部分的闭 区域；
:围成的第一象限部分的闭区域. ^,7 = 在这变换下，与D
(2) Z)是由曲线 y=?，y = 4/ ,x = y ,x - 4yJ 所 解(1 ) u = xy ,v = xy3 ( a:彡0，y 彡0 )，贝lj x 对应的uOi;平面上的闭区域为D' = | (u,v) | 4 ^ ^
/ -心，y) _
；8 ,5 15 !.
d(u,v)
'—Z + ^- dxdy =〆• abpdpdd = ab I I p ’dp = —abir.
于是所求面积为
rr 1
If8 i
—(hid?；=
:丄心
JJ 2v
2 j4 1

JJdxdy
15 1
—dv - 2In 3.
V
（2）令 ■（:r>0，y>0），贝lj x = u~Tv~T,y = u~Tv~r.在这变换下，与
xJ y'
j = d(x,y)=
d(u ,v)
于是所求面积为
/I = || dxdy
-u 8 v
■T
(l/vdr
~T
u ' i\ll
D对应的aOr平面上的闭区域为D'=丨（《.，/，）| 1彡w彡4，丨彡r$4 | •又

Ea*21.设闭K域《是I h直线i + y = l, .r = 0, v = 0所闱成，求证
I.

证令 u 二:c -y，r = a: + y，贝lj x 在此变换下，D 的边界x +y = 1 ,
因此有
^ - y)
x + y)
dxAy
D'=
d(x，y)
d(u,v)
tI
2
-dad 7；
Av I cos—da
J-v v
\iv
dv
a=0,y=0依次与v = 1，u+y=0和v - u = 0对应.后者构成aOt;平面上与Z）对应的 闭区域Z）'的边界（图10-37） •于是
v sin 1 dv = —sin
h 2
证毕.
^ • 22.选取适当的变换，证明下列等式：
(1 ) jj/(x + y)<ix<\y = J t/(u)du,其中闭区域O = | (x,y) | | a： | + | 7 I ^ I I ;
I)
( 2 ) jj/( ax + by + c) dxdy = 2J ^ -J 1 - w2/( u sj n2 + If2 + c)i\u,其中 ’)=\ (x ,y) |
i>
X2 + y2 ^ 1 | , R «2 +b2^0.
证(丨)闭 IX 域"的边界为 x + y = - \ ,x +y = \ ,x -y^ - 1- y = 1，故令〃= z + y，《；=文-y，即* = +，:K = Y •在此变换下，"变为》汍平血丄的闭1只:域
第十章重积分 127

J/O + y)dxdy = Jf(u)
——dwell； 2
于是
3“，y)
d(u,v)
f—/■㈤ d“/_
dr
/( u) du.
i) o'
证毕.
(2)比较等式的两端可知需作变换
u ya2 + b2 = ax + by, 即 u =似 + j_ •
Va2 + b2
再考虑到0的边界曲线为x2 +y2 =1,故令这样就有u2 + v2 =1，即D
的边界曲线/ +/ = 1变为uOv平面上的圆u2 +v2 =1.于是与D对应的闭区域为 D' - ) (u ,v) \ a2 + y2 ^ 1 | .
又由的表达式可解得
au +