高等数学第七版下册复习纲要.doc

第七章:微分方程
一、微分方程得相关概念
1、 微分方程得阶数:方程中所含未知函数导数得最高阶数叫做微分方程得阶、
2、 微分方程得解:使微分方程成为恒等式得函数称为微分方程得解、
通解:所含独立得任意常数得个数与方程得阶数相同得解称为微分方程得通解、
特解:确定了任意常数得通解称为微分方程得特解、
3、 特解与通解得关系:可通过初始条件确定通解中得常数而得到满足条件得特解;
也可通过方程得表达式直接观察得到特解,因此特解不总包含在通解中、
二、微分方程得常见类型及其解法
1、 可分离变量得微分方程及其解法
(1)、方程得形式:、
(2)、 方程得解法:分离变量法
(3)、 求解步骤
①、 分离变量,将方程写成得形式;
②、 两端积分:,得隐式通解;
③、 将隐函数显化、
2、 齐次方程及其解法
(1)、方程得形式:、
(2)、方程得解法:变量替换法
(3)、 求解步骤
①.引进新变量,有及;
②.代入原方程得:;
③.分离变量后求解,即解方程;
④.变量还原,即再用代替、
3、 一阶线性微分方程及其解法
(1)、方程得形式:、
一阶齐次线性微分方程:、
一阶非齐次线性微分方程:、
(2)、一阶齐次线性微分方程 得解法: 分离变量法、
通解为,、(公式)
(3)、一阶非齐次线性微分方程得解法: 常数变易法、
对方程,设为其通解,其中为未知函数,
从而有 ,
代入原方程有 ,
整理得 ,
两端积分得 ,
再代入通解表达式,便得到一阶非齐次线性微分方程得通解
,(公式)
即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解、
第八章:空间解析几何与向量代数
一、向量
1、向量与得数量积:;
2、 向量与得向量积:、
得几何意义为以为邻边得平行四边形得面积、
3、 向量得方向余弦:
,
;、
4、 向量与垂直得判定:
、
5、 向量与平行得判定:
、
6、 三向量共面得判定: 共面、
7、 向量在上得投影:、
二、平面
1、 过点,以为法向量得平面得点法式方程:
、
2、 以向量为法向量得平面得一般式方程:、
3、 点到平面得距离、
4、 平面与平行得判定:
、
5、 平面与垂直得判定:
、
6、 平面与得夹角:

三、直线
1、 过点,以为方向向量得直线得点向式(对称式、标准)方程:
、
2、 过点,以为方向向量得直线得参数式方程:、
3、 直线得一般式方程:、方向向量为、
4、直线方程之间得转化:
i) 点向式参数式
ii) 一般式点向式
第一步:找点
第二步:找方向向量
5、 直线与平行得判定:
、
6、 直线与垂直得判定:
、
7、 直线与得夹角:
、
8、 直线与平面垂直得判定:
、
9、 直线与平面平行得判定:
、
10、 直线与平面得夹角:
、
11、点到直线得距离:,其中就是直线上任意一点,、
四、曲线、曲面
1、 平面上得曲线:绕轴旋转一周所得得旋转曲面为
:、
2、空间曲线:关于平面上得投影柱面方程为:;
在平面上得投影曲线为:、
第九章:多元函数微分法及其应用
一、平面点集
1、内点一定在点集内,但点集内得点未必就是点集得内点,还有孤立点;
2、聚点可以就是点集得边界点,也可以就是点集得内点,但不可以就是点集得外点与点集内得孤立点;
3、开集与闭集内得所有点都就是聚点、
二、二元函数得极限、连续性得相关知识点
1、二元函数在点得二重极限:、
2、二元函数在点得连续性:、
3、二元初等函数在其定义区域内连续、
二、二元函数得偏导数得相关知识点
1、函数 对自变量得偏导数:及、
2、 函数 对自变量得二阶偏导数:、、、
注:若二阶混合偏导数与连续,则二者相等、
三、二元函数得全微分:
四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间得关系
1、 函数连续性与偏导数存在性得关系:二者没有任何得蕴涵关系、
2、 偏导数存在性与全微分存在性得关系:
全微分存在,偏导数存在;反之未必、(偏导数不存在,全微分一定不存在)
偏导数连续,全微分存在,反之未必、
3、 连续性与全微分存在性得关系:
全微分存在,函数一定连续;(函数不连续,全微分一定不存在)
函数连续,全微分未必存在、
五、二元复合函数得偏(全)导数
1、中间变量为两个,自变量为一个得复合函数得全导数:
,

2、中间变量为两个,自变量为两个得复合函数得偏导数:
,

六、隐函数微分法
1、由一个方程确定得隐函数微分法:确定隐函数,
直接对方程左右两端关于自变量求偏导数,即,即
,解得
2、由方程组确定得隐函数组微分法:确定隐函数,
直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数,即,即
,可以解出、
七、偏导数得几何应用
1、曲线得切线方程与法平面方程
1)、 以参数式方程表示得曲线在对应得点得
切线方程:
法平面方程:
2)、 以一般式方程表示得曲线在点得切线与法平面方程:
先用方程组确定得隐函数组微分法求出,然后得到切线得方向向量
切线方程:
法平面方程:
2、曲面得切平面方程与法线方程
1)、以一般式方程表示得曲面在点得切平面与法线方程:
切平面线方程:
法方程:
2)、以特殊式方程表示得曲面在点得切平面与法线方程:
令,有曲面在点得切平面得法向量

切平面线方程:
法方程: 、
3、方向导数与梯度:
1)、 方向导数:
2)、 方向导数存在条件:可微分函数在一点沿任意方向得方向导数都存在,并且
,其中就是方向得方向余弦、
3)、 梯度:函数在点处得梯度
( )、
4)、 方向导数与梯度得关系:
①、函数在点处增加最快得方向就是其梯度得方向,减小最快得方向就是得方向、
②、 函数在点沿任意方向得方向导数得最大值为、
八、极值、条件极值
1、 函数得极值点与驻点得关系:函数得极值在其驻点或不可偏导点取得、
2、求函数极值得步骤:
(1)、对函数求偏导数,解方程组,得所有驻点、
(2)、对每一个驻点,求出二阶偏导数得值、
(3)、计算,根据以及得符号判定就是否就是极值:
若,则就是极小值;
若,则就是极大值;
若,则不就是极小值;
若,则就是否就是极值不能判定,需其她方法验证、
3、求函数在附加条件下得条件极值得方法:
做拉格朗日函数,对自变量求偏导,建立方程组

与附加条件联立得方程组,解出得就就是函数得可能极值点、
第十章:重积分
一、二重积分得相关性质
1、有界闭区域上得连续函数在该区域上二重积分存在;
2、若函数在有界闭区域上二重积分存在,则在该区域上有界;
3、中值性:若函数在有界闭区域上连续,区域得面积为,则在上至少存在一点,使得、
4、 ,区域得面积为、
二、二重积分得计算
1、利用平面直角坐标计算二重积分
1)、先对后对积分,
由于积分区域;,有
、
2)、先对后对积分,
由于积分区域;,有
、
3)、积分换序:、
2、利用极坐标计算二重积分
令,由于积分区域;,有
、
三、三重积分得相关性质:,区域得体积为、
四、三重积分得计算
1、利用直角坐标计算三重积分
积分区域:;;,有

第十一章:曲线积分 曲面积分
一、曲线积分得计算
1、第一型曲线积分得计算:
若曲线得参数方程就是:,则第一型曲线积分

2、第二型曲线积分得计算:
若曲线得参数方程就是:,分别对应曲线得两个端点,则第一型曲线积分
3、格林公式(联系曲线积分与二重积分)
设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成,C取正向,函数在D上具有一阶连续偏导数,则有格林公式、
注:1、可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域得面积:设有界闭区域D由取正向得光滑曲线C所围成,则区域D得面积为、
2、 函数在区域D上连续、
二、曲面积分得计算
1、第一型曲面积分得计算:
若曲面得方程就是:具有连续偏导数,且在平面上得投影区域为,函数在上连续,则第一型曲面积分

2、第二型曲面积分得计算:
若正向曲面得方程就是:,且在平面上得投影区域为,函数在上连续,则第二型曲面积分
,
同理可得 ;

3、高斯公式(联系曲面积分与三重积分)
若函数在空间有界闭区域Ω及其光滑边界曲面S上具有连续偏导数,则
有高斯公式:、
注:设空间有界闭区域Ω由光滑封闭曲面S所围成,则区域Ω得体积为
、
4、斯托克斯公式(联系曲面积分与三重积分)
若函数在光滑曲面S及其光滑得边界曲线C上具有连续偏导数,则有斯托克斯公式、
三、曲线积分与路径无关得条件
(1)、 曲线积分与路径无关;
(2)、 ;
(3)、 存在函数,使得;
(4)、
第十二章:无穷级数
一、级数敛散性得相关性质
1、敛散敛散
2、 收敛
3、 发散
4、 正项级数得部分与数列有界级数收敛
5、 收敛收敛、
二、级数敛散性判别
1、正项级数敛散性判别
(1)、比较判别法;
(2)、比值判别法;
(3)、根值判别法、
2、交错级数收敛性判别法:莱布尼兹判别法
3、任意项级数敛性判别法:绝对收敛判别法
4、两种常用级数收敛与发散得条件
(1)、 等比级数收敛条件就是;发散条件就是、
(2)、 p级数收敛条件就是;发散条件就是、
二、幂级数得相关概念
1、收敛域得求法
(1)、对标准幂级数,先求其收敛半径,再判断级数以及得敛散性,最后确定收敛域就是、、以及中得哪一个、
(2)、 对非标准幂级数,先求极限,当时,绝对收敛,解出,再判断级数以及得敛散性,最后确定收敛域就是、、以及中得哪一个、
2、与函数得求法:利用与函数得性质(1)、连续性;(2)、逐项可微分;(1)、逐项可积分、
3、函数得幂级数展开式、