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专题2——二次根式化简方法与技巧

北京市朝阳外国语学校教案 初中数学教研组 2011级
课题
二次根式化简的方法与技巧
课型
新授课
授课班级

课时
1课时
授课时间

授课人
郝永军
学情分析

教学目标

教学重点

教学难点

教学方法

板书设计

教学内容
一、 巧用公式法
例1计算
分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为与成立，且分式也成立，故有＞0，＞0，而同时公式：=-2+，-=，可以帮助我们将和变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：原式=+=+=2-2
二、适当配方法。
例2．计算：
分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+其分子必有含1+的因式，于是可以发现3+2=，且，通过因式分解，分子所含的1+的因式就出来了。
解：原式==1+
三、正确设元化简法。
例3：化简
分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：，，，正好与分子吻合。对于分子，我们发现所以，于是在分子上可加，因此可能能使分子也有望化为含有因式的积，这样便于约分化简。
解：设则2且所以：
原式=
四、拆项变形法
例4，计算
分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：再化简，便可知其答案。
解：原式==

五、整体倒数法。
例5、计算
分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：，化简但还要通过折项变形，使其具有公因式。
解：设A=
=
所以A=
六、 借用整数“1”处理法。
例6、计算
分析：本例运用很多方面的知识如： 1=×，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。
解：原式
=
=
七、恒等变形整体代入结合法
分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式，
如x－xy+y=(x+y)－3xy，然后再约分化简。
例7：已知X=（），y =()，求下列各式的值。
（1）x－xy+y; (2)+
解：因为X=（），y =()，所以：x+y=，xy=。
（1） x－xy+y=（x+y）－3 xy=()－3×=
（2） + ==
八、降次收幂法：
例8、已知x=2+，求的值。
分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式转化为4x－1，这样进行低次幂运算就容易了。
解：由x=2+,得x－2=。(x-2) =3整理得：x=4x－1。
所以：3x－2 x+5=3（4 x－1）－2 x+5=10（2+）+2=22+10
22 x－7（2+）-7=2－3，所以原式==42+
练习：
（一）构造完全平方
1．化简，所得的结果为_____________．

（拓展）计算．
2．化简：．
3．化简．
4．化简：．
5．化简：
6．化简：
7．化简：
（二）分母有理化
1．计算：的值．
化简：
解原式

2．分母有理化：．
3．计算：．
（三）因式分解（约分）
1．化简：． 2．化简：．
3．化简：． 4．化简：．
5．化简： ． 6．化简：．
7．化简：． 8．化简：
设 ，求的值。
解：∵
∴
∴
∴
原式

11、设，且，，求的值。
解：设，则
∴
同理可得：，
∴
又∵
∴
∵，且
∴
12、设，，且，试求整数n.
解：∵，
∴
∴
又∵，
∴
而，
∴
∴，解得：
14、设，求证：.
解：∵
∴
同理可得：
∴
将，3，…，10代入上式，相加得：

又∵
∴，即
15、设a、b是实数，且，试猜想a、b之间有怎样的关系？并加以推导。
解：两边同时乘以，得①
两边同时乘以，得： ②
①+②得：
故

课堂小结
所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和可以合并的同类根式。
课堂检测

教学效果
自我评估：
⑴教学任务完成情况
⑵学生掌握情况

分层作业

课后反思

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