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一轮复习知识点精编--集合知识要点试题

一轮复习知识点精编 集合知识要点试题
1、集合的基本概念
集合 某些指定的对象________就成为一个集合 。
集合中的每个____叫做这个集合的元素。
一些常见的数集
① 全体非负整数的集合——非负整数集(或自然数集) 记作
② 非负整数集内排除0的集——正整数集,表示成 或
③ 全体整数的集合－—整数集 记作
④ 全体有理数的集合－—有理数集 记作
⑤ 全体实数的集合－—实数集 记作
⑥ 全体复数的集合--- 复数集 记作
注意：（1）自然数集含有0；
（2）整数集、有理数、实数集内排除0的集合分别表
示为： 或 、 或 、 或 。
集合与元素的关系 ① 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A，记作a （ ）A；
② 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A ，记作a（ ） A。
注意：“ ”、“ ”只能用在元素与集合之间。
集合元素的特性
①　
②　
③　
集合的分类 有限集——含有有限个元素的集合。
无限集——含有无限个元素的集合。
特别地，不含任何元素的集合叫做 ，记作 。
集合的表示法
① 列举法——把集合中的元素一一列举出来的方法。如{x1，x2，…，xn}或{xi,i I}。
② 描述法： 有时也可写成{ x：p(x) }{ x ；p(x)}
③文氏图（又叫韦恩图）：
④区间表示法 注意：①区分“a”与“{a}”。②对于列举法中用“…”表示的集合，应按次序排列。
③ 代表元素不是一定要用x，还可用如：y、t、u、v、(x,y)、(x,y,z)等来表示。

定义 符号表示或数学表达式 性质
集合与集合的关系
子集 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说集合A是集合B的子集。 A B或(B A)
① ⊆A（特别地Φ⊆Φ）
②A A
③若A B,B C,则A⊆C。
相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.
A=B⇔ A B,B A
如果A B,同时B A，那么A =B。
真子集 :如果A B，并且A B，我们就说集合
A是集合B的真子集。 记作 A B
① 若A≠Φ,则有Φ A。
②如果A B,B C， 那么A⊂C
运算
全集与补集
设S是一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一。个全集。
C∪A={x| x S,x A}
①C∪U=
②C∪Φ=
③ C∪(C∪A)=
④(C∪A)∩A=
⑤(C∪A)∪A=
⑥) =(C∪A )∪(C∪B)
⑦) =(C∪A )∩(C∪B)
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素所
组成的集合，叫做A与B的交集。 A∩B={x| x A,
且x B}
①A∩A=
②A∩Φ=
③A∩B=
④A∩B A ，A∩B B
⑤A∩B=A 则A B
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。A∪B={x| x A,或x B}
①A∪A=
②A∪Φ=
③A∪B=
④A A∪B ，B A∪B
⑤A∪B=B 则A B
2、集合与集合的关系
说明：⑴“,”只能用在 与集合之间。“”等只能用在 与集合之间。
⑵一般地，若一个集合有n个元素，则它有 个子集， 个真子集。 个非空子集 个非空真子集
⑶一般地，对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=
对映射的概念了解吗？映射f：A→B，（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。
函数 的图象与直线 交点的个数为 个。

8. 函数的三要素
相同函数的判断方法：① ② (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域常见类型？
函数定义域求法：
l 分式中的 不为零；
l 偶次方根下的数（或式） 零；
l 指数式的底数 ；
l 对数式的底数 真数 零。
l 正切函数
l 余切函数
实际问题有意义
l当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10. 复合函数的定义域
复合函数定义域的求法：
①已知f(x) 的定义域为D，求f(h(x)) 的定义域，可由h(x) ∈D 解出x的范围，即为f(h(x)) 的定义域。
② 已知f(h(x)) 的定义域为D，求f(x)的定义域，求得(h(x)的值域，解即为f(x) 的定义域。
③ 已知f(h(x)) 的定义域为D，求f(g（x)）的定义域，先求h(x)值域E由g(x) ∈E解出x的范围，即为f(g(x)) 的定义域。
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4）消元法
函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x 的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥ ， （a，b∈ ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
10、分离常数法
适用于 题型
11导数法
证明函数的单调性
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
步骤：

也可以变形为求 的正负号或者 与1的关系
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同增同减的
②当c＞0时函数f(x)与cf(x)(c是常数)，它们的单调性是 ；（相同，相反）
当c＜0时，它们的单调性是 的。（相同，相反）
④ 如果函数f1(x)，f2(x)单调性相同，则函数f1(x)＋f2(x)和的单调性 （ ）（函数相加）
⑤ 如果正值函数f1(x)，f2(x)单调性相同，则函数f1(x)f2(x)和它们的单调性 ；
⑥ 如果负值函数f1(2)与f2(x)单调性相同，则函数f1(x)f2(x)和它们的单调性 ；（函数相乘）
⑤函数f(x)与 在f(x)的同号区间里单调性相反。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数
增 增 增 增 增
增 减 减 ------- -------
减 增 减 -------- -----------
减 减 增 减 减
如何利用导数判断函数的单调性 ？
奇偶性
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
判断函数奇偶性的方法
首先判断定义域是否关于远点对称
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
一.奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性
二 和差法.
奇函数做和
偶函数做差
三做商法
f(x)与f(-x)做商与 或 比较

三、复合函数奇偶性

f(g ) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)
奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 偶 非奇非偶 奇
偶 奇 偶 非奇非偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶
周期函数
f(a+x)=f(a-x) 则f(x)关于直线 对称
f(2a+x)=f(-x) 则f(x) 关于直线 对称
f(a+x)=f(b-x) 则f(x) 关于直线 对称
f(a+x)= -f(a-x) 则f(x)关于点 对称
f(2a+x)= -f(-x) 则f(x)关于点 对称
f(2a+x)= -f(-x)+2b则f(x)关于点 对称
f(x)关于直线x=a和直线x=b对称则 是f(x)的一个周期
f(x)关于点（a,0）和点（b,0）对称则 是f(x)的一个周期
f(x)关于直线x=b和点(b,0)对称 则 是f(x)的一个周期
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数 f(x)与函数f(-x) 的图象关于直线 (即 轴)对称.
(2)函数 f(x)与函数-f(x)的图象关于直线 (即 轴)对称.
(3) 函数 f(x)与函数-f(-x)的图象关于点 (即 )对称
(4)函数y=ax 和y=logax 的图象关于直线 对称.
6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数 , .
(2)指数函数 , .
(3)对数函数 , .
(4)幂函数 , .
(5)余弦函数 ,正弦函数 ，
.

指数函数与对数函数知识点总结

（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是 数时，，当是 数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1

定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
在R上单调递 ( )
在R上单调递 ( )
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（ ）
函数图象都过定点（ ）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
(4) 与f(x)=(1/a)x图像关于 轴对称
（5）的底数在一二象限 增大
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制 ；

；
注意对数的书写格式．
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数 ；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ N＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·
；
．
注意：换底公式
（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）；（2）．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1

定义域

值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点（ ）
函数图象都过定点（ ）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，）值域是或；
（2）对于指数函数），总有
f(a)= f(1)= ；
(3) 与f(x)= 图像关于x轴对称
（4）的底数在一四象限 增大
（5））与互为反函数关于
直线 对称
1） 将y=f(x)看成方程，解出x=f-1(y)
2） 将x,y互换，得y=f-1(x)
3） 写出反函数定义域，即原函数值域

幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
（4）令指数为p/q ，p,q是奇数是时,幂函数为奇函数。p是偶数q是奇数时幂函数是偶函数。q是偶数时，幂函数是非奇非偶函数
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的 叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数的图象与轴交点的 。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有 ．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
（1）△ ０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有 个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△ ０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
5.函数的模型
高中数学函数的图象变换
1、对称变换
①→，关于Y轴对称（与偶函数联系起来记忆）；
②→，关于坐标原点对称（与奇函数联系起来记忆）；
③→，关于X轴对称；
④　　　利用作图，保留 图像，将x轴下方的图象上翻。
⑤　　　利用偶函数作图，保留 图象，并作它关于y轴对称的
2、平移变换
①→ 或右平移a个单位（左“＋”右“－”）；
②→向上或向下平移b个单位（上“＋”下“－”）；
4、几个结论：
①若函数是偶函数f(x)关于直线x＝0对称；
②若函数是偶函数f(x)关于直线x＝a对称 函数关于直线x＝0对称。、
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。
相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。
二、导数的运算
1．基本函数的导数公式:
①（C为常数）
②
③;
④;
⑤
⑥;
⑦;
⑧.
2．导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。
3.复合函数的导数
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：
分解——>求导——>回代。
法则：y＇|= y＇| ·u＇|或者.

三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有，则为常数。
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3．最值：
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。
（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

三角函数公式总结
一、诱导公式
1. sin(180°+α)= ， cos(180°+α)=
2. sin (α+k·360)= ， cos (α+k·360)= ， tan (α+k·360)=
3. sin(-α)= ， cos(-a)=
4*. tan(180°+α)= ， tan(-α)=-tanα
5. sin(180°-α)=sinα， cos(180°-α)=
6. sin(360°-α)=-sinα cos(360°-α)=
7. sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=
8*. Sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=
9*. Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+a)=
10*.sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=
记忆口诀奇变偶不变，符号看象限
二、两角和与差的三角函数
1. 两点距离公式

2. S(α+β): sin(α+β)=
C(α+β): cos(α+β)=
3. S(α-β): =sinαcosβ-cosαsinβ
C(α-β): =cosαcosβ+sinαsinβ
4. T(α+β):
T(α-β):
5*.

三、二倍角公式
1. S2α: sin2α=
2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a= =
3. T2α: tan2α=
四*、其它杂项（全部不可直接用）
1．辅助角公式
asinα+bcosα= sin(a+φ)，其中tanφ=b/a，其终边过点（a, b）
asinα+bcosα= cos(a-φ)，其中tanφ=a/b，其终边过点（b,a）
2．降次、配方公式
降次：
sin2θ= cos2θ=(1+cos2θ)/2
配方
1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]2 1+cosθ=2cos2(θ/2) 1-cosθ=2sin2(θ/2)
3. 三倍角公式
sin3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3-3cosθ
4. 万能公式

5. 和差化积公式
sinα+sinβ=
sinα-sinβ=
cosα+cosβ=
cosα-cosβ=
6. 积化和差公式
sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]

7. 半角公式

信心 恒心 专心