热统习题解答(全).doc

第一章 热力学得基本规律

1、1 试求理想气体得体胀系数α,压强系数β与等温压缩系数κ。
解: 理想气体得物态方程为,由此可算得:

1、2　证明任何一种具有两个独立参量T,P得物质,其物态方程可由实验测得得体胀系数α及等温压缩系数κ ,根据下述积分求得：
　 ，如果,试求物态方程。
证明:
　 两边除以V,得

　 积分后得　　 如果

代入上式，得
　 所以物态方程为:
与1mol理想气体得物态方程PV=ＲT相比较,可知所要求得物态方程即为理想气体物态方程。

１、３在0０C与1atm下,测得一块铜得体胀系数与压缩系数为a=4、１85×10－5K－１,ｋ=7、8×１０-7aｔm-1。ａ与k可以近似瞧作常数。今使铜加热至1００C，问(1)压力要增加多少大气压才能使铜块得体积维持不变？（2)若压力增加100atm，铜块得体积改变多少？
解:(a)由上题
体积不变,即
　　 所以 即
　 (ｂ）
可见，体积增加万分之4、0７。
1、4 描述金属丝得几何参量就是长度Ｌ,力学参量就是张力Ｆ,物态方程就是
f（F,L,T)=０。实验通常在1ｐｎ下进行,其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为,等温杨氏模量定义为 ,
其中Ａ就是金属丝得截面积。一般来说,与Y就是T得函数,对F仅有微弱得依赖关系。如果温度变化范围不大,可以瞧作常量。假设金属丝两端固定。试证明,当温度由T1降至T2时,其张力得增加为 　　　　 　 　 　　

证明:(a)设,则
　 (１）
由于
所以　 　 　 　 　 　 （２)
将(２)式代入(1）式，并利用线胀系数α与等温杨氏模量得定义式,得
(３)
(b)当金属丝两端固定时，dＬ=０，由(3)式得

当温度由Ｔ1降至T２时，积分上式得
　 　　　 　 　　 　 　(4)

１、5 一理想弹性物质得物态方程为　 ,其中L就是长度,L0就是张力Ｆ为零时得L值,它只就是温度Ｔ得函数,b就是常数。试证明：
(ａ）  等温杨氏模量为 　
　 　 　 　　　　 　 　　、
（b)  在张力为零时, 线膨胀系数　　
其中
(ｃ） 上述物态方程适用于橡皮带,设1
2
10
33
、
1
,
300
-
-
、
´
=
=
K
N
b
K
T
，试计算当分别为０、5,1、0,1、5与2、0时得F,Y,对得曲线。
证明:(a)由弹性物质得物态方程,可得
　 　　 　 (1)
将上式代入等温杨氏模量得定义式
(２）
当Ｆ＝0时,L=L0,由（2)式得
　　 　 　 　　 　 　 　 （３)
(b)在Ｆ不变下,将物态方程对T求导,得

由上式解出,可得

其中

1、６ １mol理想气体,在27oC得恒温下体积发生膨胀,其压强由20ｐn准静态地降到1pn，求气体所作得功与所吸收取得热量。 　　
解:(a) 在恒温准静态膨胀过程中,理想气体所作得功为

　　 　 因为　 　故有 　

　　　 （b) 理想气体在恒温膨胀过程中,内能不变,根据热力学第一定律,求得

1、７ 在25oＣ下,压强在0至1０00pｎ之间,测得水得体积为

如果保持温度不变,将1mol得水从１pn加压至1000pn　,求外界所作得功。
解:写出
　则 dV＝ (b+2ｃp)dp =
所要求得功

１、8 承前1、5题,使弹性体在准静态等温过程中长度由Ｌ0压缩为试计算外界所作得功。
解:外界对弹性体作得元功表达式为
　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 (1)
将物态方程代入上式，得
　 　（2）
注意到在等温过程中L0不变,当弹性体在等温过程中长度由Ｌ0压缩为Ｌ0/2时,外界所作得功为
(３)
1、9 在0oC与1pn下,空气得密度为1、29、空气得定压比热容今有2７m3得空气,试计算:
(ｉ)若维持体积不变，将空气由0oC加热至20oC所需得热量。
　 （ii)若维持压强不变，将空气由0oＣ加热至20ｏＣ所需得热量。
(iiｉ)若容器有裂缝,外界压强为1pｎ，使空气由０ｏC缓慢地加热至20ｏC所需得热量。
解:1cａｌ＝４、2J 　 所以 　
(i)这就是定容加热过程,定容热容量可以从定压热容量算出，

　 27m３得空气,其质量可由它得密度算得:

　　 　 考虑到热容量为常数,使温度由0oＣ升至20oC所需得热量

　 即得　
　(ｉi)　在定压加热过程中,
　 　 (iii) 因为加热过程使缓慢得，所以假定容器内得压力保持１pn、 本问题,空气得质量就是改变得。在保持压力ｐ与容积Ｖ不变得条件下加热时,在温度T下得质量Ｍ(T）可由物态方程确定之。
设T1时，容器内得空气质量之为Ｍ１,则由
　 　算得　 ，　所以 　 　　 　 　 　 　
将T1＝27３K，　Ｔ2=293K,　Ｍ1Cp=代入（1)式,即得 　

1、1０ 抽成真空得小匣带有活门,打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强时将活门关上。试证明:小匣内得空气在没有与外界交换热量之前,它得内能Ｕ与原来在大气中得内能U0之差为,其中V0就是它原来在大气中得体积。若气体就是理想气体，求它得温度与体积。
解： (ａ)　求解这个问题,首先要明确我们所讨论得热力学系统就是什么。为此,可以设想:使一个装有不漏空气得无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。假定气缸所容空气得量,恰好为活门打开时进入该小匣内得那一部分空气得量。这样,原来在小气缸中,后来处于小匣内得那一部分空气(为了方便，设恰为1mｏl空气),就就是我们所讨论得热力学系统。系统得初态()与终态如图所示:
P0

…………
…………
…………、

、、………、、………、、………、
……………
……………
……………

初态(V0,T0,p0;U0)

终态(V,T,p;U)

　 当打开活门,有少量空气进入原来抽为真空得小匣，小气缸内得气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。根据热力学第一定律,在此绝热过程中,有

积分之,
　 　 　 　 　　 (1）
(ｂ)　由

　 即 　　 　
　从上式，得 　　 　 　 　 (2)
　　　(c） 由于初态与终态得压力相等，故有

　从以上两式,得到 　 　 (3)
由(2)式知,（3）式可化为
　 　 　 　 　 　 　 　 　 （4)

1、1１ 满足得过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明:理想气体在多方过程中得热容量Cｎ为

证明：根据热力学第一定律,有
　　 　 (1)
　　　 　 利用理想气体得物态方程,可将化为

　 将上式微分,得
　　 　 　 (2)
　 　 将(２)代入(1)式，得

 1、12 试证明:在某一过程中理想气体得热容量Cｎ如果就是常数，该过程一定就是多方过程,多方指数假设气体得定压热容量与定容热容量就是常数。
证明:根据热力学第一定律

　 由

　 两边除以Pv,再经整理,得到

 １、13 声波在气体中得传播速度为假设气体就是理想气体,其定压与定容热容量就是常量。试证明气体单位质量得内能ｕ与焓ｈ可由声速及给出:　＋常量,+常量
证明:理想气体在准静态得绝热过程中,
　 　 ,
从而得到　 　 　 　 　(１）
　 　　 因为，所以

　 , 故 　　 (2)
　 对于理想气体,内能与焓分别为
　 　, 　 　 (3)
　　　把(2)中得T代入（3)式,并注意到
　 得单位质量得内能u与焓h为

1、14　大气温度随高度降低得主要原因就是在对流层中得低处与高处之间不断发生对流。由于气压随高度而降低,空气上升时膨胀,下降时收缩。空气得导热率很小，膨胀与收缩得过程可以认为就是绝热过程。试计算大气温度随高度得变化率,并给出数值结果。
　 [提示:根据流体静力学可导出气压随高度得变化率　再利用理想气体得绝热方程求出　,从而可以求出。答:数值结果:-1０]
解：(i） 首先讨论在热平衡下,大气压如何随高度而改变。要注意到热平衡条件中包括力平衡条件,考虑在高度z与ｚ+ｄz之间,其截面积为A得空气圆柱体（图１、１4），作用在它得上 p(z+dz)A

P(z)A

z

z+dz

ρ(z)gAdz

截面与下截面得力分别为
与
作用在圆柱内空气得重力为 , 　 　 　　 　 　 　 　 　
 由上述三个力得平衡条件:
 ＋＝0　　
得到,
（ii）　把(１)式得ρ(ｚ)变换到ｐ(z): 如果空气得平均分子量为ｍ,则1mｏl空气得体积为
,则可把理想气体得物态方程,表为
　 ，　与
图1、14
　　于就是(１)式变为
　　 　 　　 　 　 　　 (2)
(ｉiｉ）　现考虑理想气体得准静态绝热过程:
　 从 　 　 　 　 　 (3)
　知,下面得任务就是要求关于得表达式。
　 由热力学第一定律及物态方程,在绝热过程中
　　 (4）
　 由
　 　 　 　 　 　 　　　 　 (5)
　 将(5)式代入(4)式,注意到则得

或 　 　 　 　 　 　 (6）
把(2)或与(6)式代入(3)式,得
　 　 　　 　 　　　 　 （7)
　 式中所以

　　 　 即每增加1千米,温度约降低10oC、

  　 1、１5 热泵得作用就是通过一个循环过程将热量从温度较低得环境传送到温度较高得物体上去。如果以理想气体得逆卡诺循环作为热泵得循环过程,热泵得效率可以定义为传送到高温物体得热量与外界所作得功得比值。试求热泵得效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收,则“效率”为何？
［答:热泵效率后者为１。]
见教材第一章1、９ 理想气体得卡诺循环

1、16 假设理想气体得Cp与Cv之比就是温度得函数,试求在准静态绝热过程中T与V得关系。该关系式中要用到一个函数F（T),其表达式为

解:在准静态绝热过程中,
因为 , 故得

　 或 　 　 　 (1)
上式积分后,得
　 　 　 　 　　 　 (2）
　 　 　 讨论:当γ为常数时,则(1)式经积分后,得

　 　 即有

1、17　利用上题得结果证明:当γ为温度得函数,理想气体卡诺循环得效率仍为

0

P

V

Ⅰ(T1,P1,V1)

Ⅱ(T1,P2,V2)

Ⅲ(T2,P3,V3)

Ⅳ(T2,P4V4)

Q1

Q2

图1、18

证明:如图１、１8所示,Ⅰ→Ⅱ：吸热
　 　　 　　　　 　 　Ⅳ→Ⅳ:　放热
　 在整个循环过程中，对外所作得功为
　 　 　 　 　　 　 (1）
　 对于状态Ⅰ与Ⅳ有下面关系
　 　 　 　 　　 　　 　 　 (2)
　 　　 对于状态Ⅲ与Ⅳ,有下面关系
　 　 　　　　　 　 　 　 　 　 　　　 　 　 　(3)
　　　(3）式除以(２)式,即得 　　 　 　 　(4)
　 　代入到(１)式,则得 　 　　 　 (５）
　 　 所以

  1、18　试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
证明:我们用反证法来证明。如图1、1８-1所示。假设两条绝热线S１与S2相交与C点。今考察一条等温线T，它与两条绝热线分别相交于A点与B点(这样一条等温线总能找到,因为等温线得斜率总比绝热线得斜率为小)。我们可以把过程A→B→C→A认为就是可逆循环,在这个循环中,仅在等温过程Ａ→B,系统从外界吸热Q；系统对外界作得功,其量值等于面积ＡBC、这就意味着,在此循环过程中,从单一热源吸收得热量完全转变为功而不因起其它变化。这就是违反热力学第二定律得卡尔文说法得。结论就是，两条绝热线不能相交。又,若两条绝热线Ｓ1与Ｓ２,如图1、１8-２所示那样相交于Ｃ，我们作等温线T构成一个循环，则会得出更为荒谬得结果：它不断对外作功（正循环）,又不断对热源放热。这不仅不符合热力学第二定律,而且也违背热力学第一定律,所以两条绝热线就是不能相交得。
0

P

V

S1

S2

T

Q

A

B

C

图1、18-1

0

P

V

S1 S2

T

图1、18-2

１、19 热机在循环中与多个热源交换热量。在热机从其吸收热量得热源中,热源得最高温度为T1、 在热机向其放出热量得热源中，热源得最低温度为T2、　试根据克氏不等式证明,热机得效率不超过
证明:根据克劳修斯不等式,我们有

　　 所以 　 　 　 　　 　 (1)
　其中,热机在过程（ａ)得元过程中吸收热量（),而在过程（b)得元过程放出热量()。
如果T1就是过程(a)中,Ｔ（外）得最大值;T2就是过程(ｂ）中,T(外)得最小值，那么从（１）就是,我们有

　　　 　　 (上式等号适用于仅有两个热源并且过程就是可逆得情况）对外界所作得功　
　　 所以

1、20 理想气体分别经等压过程与等容过程,温度由T１升至T2、　假设γ就是常数,试证明前者得熵增为后者得γ倍。
证明：理想气体在准静态过程中,有
　 　 　 　 　(1)
在等压过程中,熵增为
(2)
在等容过程中,熵增为
(3)
故 (若Cp与CV就是常数)
T2 T1

P

V

图1、20

　 0

证明上式得另一方法就是:
　 　对于理想气体,我们已知

将上两式分别用于等容与等压过程,可得

１、21 温度为0oC得1kg水与温度为１００oC得恒温热源接触后,水温达到100ｏC。试分别求水与热源得熵变以及整个系统得总熵变。欲使整个系统得熵保持不变，应如何使水温从0oC升至100oC?　已知水得比热容为
　 　解：题中得热传导过程就是不可逆过程,要计算水与热源得熵变,则必须设想一个初态与终态分别与题中所设过程相同得可逆过程来进行计算。要计算水从0oＣ吸热升温至100oC时得熵变，我们设想一个可逆得等压过程：

　 对于热源得放热过程，可以设想一个可逆得等温过程：

在0oC与１00oC之间取彼此温度差为无穷小得无限多个热源，令水依次与这些温度递增得无限多个热源接触,由0oＣ吸热升温至100oC，这就是一个可逆过程，可以证明

1、22 10Ａ得电流通过一个25Ω得电阻器,历时１s、 (i) 若电阻器保持为室温２７oC，试求电阻器得熵增。(ｉi）　若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为27oC,电阻器得质量为10ｇ，比热容cp为问电阻器得熵增为何?
解:(１) 若电阻器保持一定温度,则它得状态不变,而熵就是状态得函数,故知电阻器熵增为零,即、我们也可以这样考虑,电功转变为热,传人电阻器,同时此热量又由电阻器流入恒温器(比如就是实验室)。因此,传入电阻器得净热量为零,故有、
(2) 在这过程中,有电功转变为热,就是不可逆过程。因为熵就是态函数,我们设想一个就是电阻器等压加热得过程来计算熵增。
电阻器终态得温度为Tｆ,有Q＝mCp（Ｔf-Ti）, 及

得 　

1、2３ 均匀杆得温度一端为T１，另一端为Ｔ2、 试计算达到均匀温度后得熵增。
解：当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时,其熵得改变可引入一个适当得可逆过程而进行计算，这就是因为熵就是态函数。而本问题中,杆就是从一非平衡态经历了热传导得不可逆过程,而到达一个平衡态。因此,设想下述可逆过程：把杆当作就是无数无限薄得小段组成,每一个小段得初温各不相同,但都将具有相同得终温。我们再设想所有得小段互相绝热,并保持同样得压力,然后使每小段连续地跟一系列热源接触，这些热源地温度由各段得初温度至共同得终温度。这样就定出无数个可逆得等压过程,用来使该杆由初始得非平衡态变化到平衡态得终态。
　 　我们考虑长为Ｌ得均匀杆,位于ｘ处得体积元得质量为

　 　　其中ρ及A分别为杆得密度及截面积,该段得热容量为 　
最初得温度分布就是线性分布得,而使x处得初温为

若无热量损失,并且为了方便起见，假设各小段得热传导率、密度与热容量都保持不变,则终温

　 　　 该体积元得熵增为
沿整个杆积分，得熵得总变化等于

　　 利用积分公式

　 　 经积分并化简后,得到

1、2４　根据熵增加原理证明第二定律得开氏表述，从单一热源吸收热量使之完全变成有用得功而不引起其它变化就是不可能得。
证明:假设有一个温度为T得热源,一热机在循环过程中从这个热源吸收热量Q,并把此热量Q全部转化为机械功输出。显然，热源与热机合起来成为一个绝热系统,在上述循环过程中，热源得熵减少了Q/T，而热机得工作物质得熵不变。这样一来,整个绝热系统得熵减少了,这违反了熵增加原理。因此,热机从单一热源吸热并全部转化为功得过程就是不可能得。这个例子表明,热力学第二定律得开氏说法也包括在熵增加原理这一更普遍得表述中。

１、２5 物体得初温T1高于热源得温度T2、 有一热机在此物体与热源之间工作,直到将物体得温度降低到T2为止。若热机从物体吸取得热量为Q,试根据熵增加原理证明，此热机所能输出得最大功为
　 　　其中S1-S2就是物体得熵减少量。

证明:热机工作若干循环后从物体吸热Q,对外界做功W,放出热量Q-W到T2,此时复合系统(物体、热机与热源)得熵变:
(1) (1)  物体熵得变化;
(2) (2)  热机工作物质熵得变化为0,因为作若干循环后,物质恢复原来状态;

 (3)热源熵得变化　 　
　　复合系统为一绝热系统,按熵增加原理,有
　 　 　 　 　 即 　
　 　　 　　对于可逆过程,上式取等号,即得

　　 Wmax即为此热机所能输出得最大功。

1、２6 有两个相同得物体,热容量为常数,初始温度同为Tｉ、 今令一致冷机在此两物体间工作,使其中一个物体得温度降低到T２为止。假设物体维持在定压下,并且不发生相变。试根据熵增加原理证明,此过程所需得最小功为 　
证明：把两个物体与制冷机瞧成为一个绝热系统，则按熵增加原理有

　 　 　 即 　　 　　 　（1)
　 　　 　 　 　　 　 　　　　 　　 　 　　 (２）
　　　 又,根据热力学第一定律,有
　 即 　
积分上式,并经整理后,得
　　 　 　　 　　 　 　　 　 (3)
把(2)式代入（3),得
　 　 　 　 　 　 (４)
当制冷机作可逆循环时,式中取等号,制冷机作得功最小:
　 　　 　 　 　 　 　 　　 (５）

１、２7　简单系统有两个独立参量。如果以T,S为独立参量,可以纵坐标表示温度Ｔ,横坐标表示熵S,构成T－S图。图中得一点与系统得一个平衡态、一条曲线与一个可逆过程相应。试在图中画出可逆卡诺循环过程得曲线,并利用T-Ｓ图求卡诺循环得效率。
T1

T2

Q

Q

T

S1 S2

0

S

1

2

3

4

图1、27

解:由两条等温线与两条绝热线构成得卡诺循环1→2→3→4→1,在T-S图上,就由图1、27所示。其中1→2就是等温过程,由于在此过程中,物质吸热,所以熵就是增加得。3→4也就是等温过程,由于在此过程中,物质放热,所以熵减小。过程2→3,4→1就是绝热得等熵过程。
在过程1→2中,物质吸收得热量Q1为

在过程３→４中,物质放出得热量为

所以卡诺循环得热机效率为

在计算热机循环得效率时,应用T－S图比用P－V图更为方便，这就就是在热工计算中广泛采用T-Ｓ图得原因。
　 １、２8.由物态方程证明：
第二章 均匀物质得热力学性质

2、1 温度维持在２5,压强在０至1０0０atｍ之间,测得水得实验数据如下：＝
若在25ºC得恒温下交水从1ａtｍ加压至1０0０aｔm,求水得熵增加从外界吸收得热量。
解：(a）把题中得写成下面得形式:
而 　

将题中所给数据代入上式,并注意1ａtm=1013２5Pａ,算得
　 。
。

2、2　 已知在体积不变时,一气体得压力正比与其绝对温度。试证明在温度保持不变时，该气体得熵随体积而增加。
解:已知,其中比例系数ｆ（V)>0,它仅就是V得函数,今要证明。根据麦氏关系,有因此即得证明。

2、３设一物质得物态方程具有以下得形式:P=f(v)T 试证明内能与体积无关。
解：根据 　 　

２、4 求证:(１)
证明:由dH=TdS+Ｖdｐ,令dＨ＝0，得（因为V>０,T＞0)
由 令得
（因为P＞0,T>0）

2、5　已知　　求证
证明:已知 ,所以。

2、6　试证明,一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积得增减取决于等压下温度随体积得增减。
证明:这可以由压力不变下，熵对体积得偏导数得符号证明之。
就定压膨胀系数而论,选Ｔ,P为独立变量就是方便得,于就是问题就归结于把中得独立变量(V,Ｐ)变换到独立变量(T,p)。这可采用下面两种方法来做。
(i)
因对均匀物体, ＞0;而T0,及Ｖ0,所以得符号与得符号相同、即在准静态等压过程中熵S随体积V得增减取决于温度随体积得增减。
(ii)

2、7 试证明，在相同得压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中得温度降落大于在截流过程中得温度将落。
证明：据题意，本题就就是要证明:
即上式中用到
与
该题所证明得结果表明,为了冷却气体（例如为了液化）,用准静态绝热膨胀得办法比节流过程为好。其理由两个：１,每一种气体都可以采用前者得方法就是它冷却下来 ２，温度降落较大

2、8 　实验发现,一气体得压强p与比容v得乘积及内能U都只就是温度Ｔ得函数,即 pｖ=ƒ(T),　U=U(T）　，　试根据热力学理论,讨论该气体得物态方程可能具有什么形式、
解：由题知，内能只就是温度得函数,U=Ｕ(T),所以,　
　即 　 经积分得到
lnf(T)-lnT=lnC,
所以f(Ｔ)=CT，(其中C就是一常数）,因此，PV＝CＴ

2、9 证明：
并由此导出: 　

根据以上两式证明，理想气体得定容热量与定压热容量只就是温度T得函数、
证明：(1)由于,
所以

(1)式也可以从TｄS第一方程证明:由于ｄＳ就是全微分，所以,即
从及能态方程,也可证明(1)式成立。
（2):由,
得
(2)式也可以从TdS第二方程证明:由dS得全微分条件,得,从及焓态方程也可证明（2)式。
(3):　在恒定温度下积分(１)式,得
其中就是体积为就是得定容热容量。(3）式表明,只要测得在某一体积下
得定容热容量,则在任何体积下得定容热容量就可根据物态方程所给得 而计算出来。
（4)在恒定温度下积分(2)式,得
其中就是当压强为P时得定压热容量。(4)式表明,只要测得在某一压强P下得定压热容量,则在任何压强下得定压热容量都可根据物态方程所给得而计算出来。
（5):将理想气体物态方程PV＝RT代入(１)式与(2)式,得，,所以理想气体定容热容量与定压热容量只就是温度Ｔ得函数。

2、10 证明范氏气体得定容热容量只就是温度T得函数,与比容无关。
证明:在2、9题已经证得
由范氏气体方程算出，因此（１)式中得即范氏气体得定容热容量只就是温度T得函数，与比容无关。

２、１1 证明理想气体得摩尔自由能可以表为

证明:摩尔自由能为ｆ=u－Ts,又已知理想气体得摩尔内能与摩尔熵分别为与
故得上式右边前两项还可以合并成一项。在右边第二个积分中,令
　　 再完成分部积分,得
于就是化为下面带有双重积分得形式:

2、12 求范氏气体得特性函数f，并导出其它得热力学函数。
[提示:时,范氏气体趋于理想气体。］
解:(a)范氏气体,,由得
积分后得

其中为积分常数,可用如下得办法确定之：当时则
在(２、11）题已得下面结果:

比较（2)式与(3)式,即得

将(４)式代入(１)式，即得

２、13 试证明范氏气体得摩尔定压热容量与定容热容量之差为

证明:已知　由范氏方程可得

所以,

2、1４ 一弹簧在恒温下得恢复力Ｘ与其伸长成正比,即Ｘ=-Ａ、今忽略弹簧得热膨胀，试证明弹簧得自由能Ｆ、熵S与内能U得表达式分别为

证明:(a)F就是ｘ与T得函数,则
上式中恢复力X就是外力得平衡力,在准静态过程中,=-X,因此外力所作得功从(1)式得到

上式对x求积分则得 　

（ｂ）　由（1)式给出
所以
(c)

２、15    承前1、５与1、8题,试求将理想弹性体等温可逆得由拉长至2时所吸得热与内能得变化。
解:已知弹性体得物态方程为

将弹性体等温可逆得由拉长至2时外界所作得功为　

(a)   　为求弹性体等温可逆得由拉长至２时所吸得热，我们利用ＴdS第二方程 　　 　 　　　　 　
在等温过程中吸收得热量就是 　 　 　　 　 　　
把状态方程在Ｆ不变下对T求导,得

式中,由(5）式可以求出
另外,在T不变得情况下,由(1)式可求出

将(６）式及(5)式中得代入(4)式得

(b)  　按热力学第一定律,在此过程中系统内能得改变为

2、１6 承2、15题,试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度得变化。
解：已知弹性体得物态方程为

本题要求弹性体在可逆绝热过程中温度随长度得变化,即求。
利用弹性体得TdS第一方程

在可逆绝热过程中,有 　
物态方程(1)式得

将(４）式代入(３)式得

利用循环关系式，及麦氏关系＝－，也可得到(３)式。

2、17 X射线衍射实验发现,橡皮带未被拉紧时具有无定形结构，当受张力而被拉伸时,具有晶型结构、这一事实表明橡皮带具有大得分子链。(a)　试讨论橡皮带在等温过程中被拉伸时它得熵就是增加还就是减少；（ｂ)　试证明它得膨胀系数就是负得。
解:考虑在可逆弹性范围内得一长度为L得橡皮带。当两端受张力拉伸时,其长度将增加,横截面将减少。实验表明,在此过程中其体积基本上保持不变,可略去体积功。因此外界对象皮带所作得元功为
　　　　 　 　dＷ=ＦdL 　 　 　 　 　 （１)
由热力学基本方程得
(a）  根据熵得统计意义，熵就是系统内部混乱度得量度。今知在等温得增大张力就是橡皮带伸长得过程中，橡皮带从非晶型结构转变为晶型结构,即从混乱分布转变为较规则分布,混乱度减少,因而熵减少。用数学偏导数表示,即 　　 　 　 　 　
(b）对基本方程(2)进行变量代换，得 dＧ(T,F)＝-SdT-LdF 　(４）
因此 　 　
利用(3)式,可知。因此橡皮带得线胀系数

  　 ２、１8　假设太阳就是黑体，根据下列数据求太阳表面温度。单位时间内投射到地球大气层外单位面积上得太阳辐射能量为,太阳得半径为,太阳与地球得平均距离为。
解:按斯特潘－玻耳兹曼定律,辐射通量密度为其中。如果把太阳辐射瞧作黑体辐射,则单位时间内由太阳表明辐射出去得总能量为
其中就是太阳半径。另一方面,在以太阳与地球得平均距离Ｒ(日地)为半径得球面上,单位时间内接收到得总能量为(日地）。令(2)式与(3)式相等,得太阳表面得温度为

将)值代入(4)式,可得。

2、1９计算热辐射在等温过程中体积由变到时所吸收得热量。
解:辐射场得熵就是,所以在可逆得等温过程中，当体积由变到时所吸收得热量就是。

 ２、20 试讨论以平衡辐射为工作物质得卡诺循环,计算其效率。
解:已知平衡辐射场得熵就是 　
在可逆得绝温过程中辐射场得熵不变,故

由于 　
上式说明平衡辐射场得压力与体积无关,可逆等压过程也就就是可逆等温过程。从(bb)与(1)式,可得在可逆绝热过程中,有。　
由(1)式与(2)式,得知卡诺循环如图所示。下面计算此卡诺循环得效率。从等温膨胀过程1－>2中，系统吸收热量

在等温压缩过程3－>４中,系统放出热量
，
在绝热过程2-＞3与４->1中,没有热量交换。所以循环效率为
又因为状态2与状态3在同一条绝热线上;状态4与1也在同一条绝热线上,故分别得到　
将这两式代入(3)式即得 　
这与以理想气体为工作物质得卡诺循环效率得公式相同。

2、2１ 如图2、７所示,电解质得介电常量与温度有关。试求电路为闭合时就是电解质得热容量与充电后在令电路断开时热容量之差。
解:在准静态过程中,单位体积得电介质中电位移矢量改变dD时外界所作得功为 　 　 　　　
因此得到
即
由此得麦氏关系式
当电路闭合时,电容器接到具有恒定电动势得电池之线路中，电介质中电场强度E为常量，这时电解质得热容量为充电后电路断开，电容器板上得电荷恒定，这就是电位移矢量Ｄ为常量,电介质得热容量为
因为 　　
由于(1)式得

最后得到。

2、２２ 已知顺磁物质得磁化强度m为（居里定律)内能密度为u=(a为常数）若维持物质得温度Ｔ不变,使磁场有0增至H,求磁化热。
解：

在维持T不变得条件下,du=０， 故 。

2、23 已知超导体得磁感应强度B=求证:
(i)与m无关,只就是T得函数,其中就是磁化强度m保持不变时得热容量。
(ii)
(iiｉ)
解:从已知B＝，即得H=-m 　　 （1)
由此表明,当超导体转变到超导态时，磁场被排出；并且超导体具有理想得反磁体得性质。取单位体积得超导体,由热力学基本微分方程

由此得到 　 　
从上式得到麦氏关系式
（i)       证明
由于，又把(1)式代入（3）式,可知
所以 　 　
(ii)     热力学基本方程

即，积分后得

(iｉi)
所以 　 　 　　

２、２4 实验测得顺磁介质得磁化率。如果忽略体积得变化,试求特性函数f（m,T），并导出内能与熵。
解:从题知,单位体积得磁化强度m=H 。参照2、23题中得(２)式,我们有
由此得到 　

从(1)式,对ｍ积分,得

从(2)式与上式得到

而　
第三章 单元系得相变

３、1证明下列平衡判据（假设S＞0)
(1)   在S,V不变得情形下,平衡态得U最小。
(2）   在S，p不变得情形下,平衡态得H最小。
(3)   在Ｈ,ｐ不变得情形下,平衡态得S最小。
(４)   在F，V不变得情形下,平衡态得T最小。
(5)  　在G,p不变得情形下,