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液面升降问题
浮力与液面升降专题教案
课 题
有关浮力和液面升降问题的练习
直柱形容器液面升降专题：第一讲
浮力压强是中考的难点之一，课时当物体排开液体的体积变化时，液体对容器底的压力压强的变化以及容器对支撑面压力压强的变化是许多考生感到难解的题目类型。现在选一些该类型的题目，以飨读者。
例题1. 如图1所示，有一圆柱形容器和一个足够长的圆柱形金属块，其横截面积S容：S柱=3：1，容器中盛有水，金属
块吊在一根细线下，现将金属块慢慢放入水中，金属块上下底面始终和水面平行，求：
（1）若金属块浸入水中深度达到15cm时，容器底部受到水的压强增大多少？
（2）若绳子从金属块底刚好接触水面到向下放下15cm时，容器底部受到水的压强增大多少？
图1

解析：（1）如图1甲、乙所示，金属块浸入水中深度达到15cm时，金属块相对于容器底下降h，容器中水面上升为
，则有 （1），（2），由以上两式可得到；
容器底部受到水的压强增大。
（2）如图1丙、丁所示，若绳子从金属块底刚好接触水面到向下放下h=15cm时，容器中水面升高了；则
，代入数据得，，容器底部受到水的压强增大。
例题2. 如图2所示，有一圆柱形容器和一个足够长的圆柱形金属块，其横截面积分别为S1和S2，容器中盛有某种液
体，金属块吊在一根细线下，从金属块接触液面到金属块浸入液体中深h（金属块没有浸没在液体中），液
面上升。求证：。
证明：设圆柱形容器相对于容器下降底，液面上升，则（1）；根据体积相等可以得到
（2）由以上两式可得：（3）；
将（3）带入（1）得： （4）
图2
将（4）整理得：。
注意：（1）金属块浸入液体中的深度等于金属块相对于容器下降的高度＋液体沿容器壁上升的高度。
（2）金属块底从刚好接触液面到向下放置h时，即金属块相对于容器下降h（金属块没有浸没于液体中），此时
金属块浸入液体中的体积。
（3）金属块从接触液面到浸入液体中深h（金属块没有浸没在液体中），液面上升，金属块的。
例题3. 如图3所示，有一横截面积为S1、重为G圆柱形容器；一个足够长的直柱形金属块，其横截面积为S2，容
器中盛有密度为，深度为h、体积为的液体；金属块吊在一根细线下，现将金属块慢慢浸入液体中深为
图3
h，液面上升，金属块始终没有浸没于液体中。
（一）求在金属块浸入液体前：
（1）液体对容器底部的压强p1 ；；
（2）液体对容器底部的压力F1；；
（3）容器对水平地面的压力F2；；
（4）容器对水平地面的压强p2；。
（二）在金属块浸入液体后：
（1）液体对容器底的压强 ；
（2）液体对容器底部的压力；
（3）容器对水平地面的压力；
（4）容器对水平地面的压强；=
（三）求在金属块浸入液体前后：
（1）液体对容器底的压强的变化量Δp1 ；
（2）液体对容器底部的压力的变化量ΔF1；
（3）容器对水平地面的压力变化量ΔF2；
（4）容器对水平地面的压强的变化量Δp2；
（四）金属块浸入液体前后的变化量（总结）
（1）液体对容器底部压强的变化量：（其中为细绳拉力变化量）
（2）液体对容器底部的压力的变化量：
（3）当物体处于漂浮或者悬浮时，容器对水平地面的压力的变化量

（4）当物体处于漂浮或者悬浮时，容器对水平地面的压强的变化量

（5）；；
（6）当物体漂浮或者悬浮在液体中时，物体的重等于液体对物体压力的合力；
（7）当物体漂浮在液体中时，物体的重力等于液体对物体向上的压力；
（8）当物体悬浮在液体中时，；
（9）当容器不是直柱形容器，容器是口大底小或者口小底大时，
液体对容器底部压强的变化量；
①当容器口小底大，液体对容器底部的压力的变化量
②当容器口大底小，液体对容器底部的压力的变化量
（10）无论容器什么形状，当容器中装有液体时，容器对水平面的压力等于容器重力和液体重力之和，即
；当再向容器中加入固体时，无论容器形状如何，物体在液体中的浮沉情况如何，
容器对水平面的压力变化量都等于放进去的物体的重力，即。
液面升降专题：第二讲
例题1.如图1甲所示，底面积为50cm2的圆柱形玻璃筒中装有一定量的水，放在水平台面上，底面积为10cm2的
圆柱形物体B浸没在水中，杠杆CD可绕支点O在竖直平面内转动，CO＝2DO；物体A是质量100g的配重。
如图1乙所示，杠杆在水平位置平衡，作用在物体A上的竖直向下的拉力F为0.6N，物体B有2/5的体积
露出水面，筒中水的深度比图甲中水的深度下降了0.4cm；此时，物体B所受的浮力为F浮。水在物体
B底面处产生的压强为p。g取10N/kg，杠杆、悬挂物体的细绳的质量均忽略不计，则下列选项正确的
图1
是 ( )
A.p的大小为500Pa
B.F浮的大小为0.2N
C.物体B的密度为7g/cm3
　D.物体B的体积为100cm3
解析：物体B浸没于水中时（1）；物体有2/5的
体积露出水面时受到的浮力（2）；物体
所受浮力的变化量（3）；由（2）（3）得；
由杠杆平衡条件得，将数字带入得：（4）；由（3）（4）
得；所以选项C正确。
例题2.图2是小华利用杠杆提升浸没在水中的物体B的示意图。杠杆CD可绕支点O在竖直平面内转动，OC： OD=1：2，物体A为配重，其质量为200g。烧杯的底面积为75cm2，物体B的质量为320g，它的体积为40cm3。当物体B浸没在水中时，水对杯底的压强为p1。当用力拉物体A，将物体B提出水面一部分以后，杠杆恰好在水平位置平衡，此时竖直向下拉物体A的力为F，水对杯底的压强为p2。若p1与p2之差为40Pa，则拉力F的大小为________N。（g取10N／kg，杠杆的质量、悬挂物体A和物体B的细绳的质量均忽略不计）
图2
解析：物体B浸没于水中时（1）；物体B有部分体
积露出水面时受到的浮力变化量
（2） ；由（1）（2）得杠杆水平平衡时物体B受到的
（3）； 由杠杆平衡条件得： ，将数字带入得：
3．如图3甲所示，底面积为80cm2的圆筒形容器内装有适量的液体，放在水平桌面上；底面积为60cm2的圆柱形物体A悬挂在细绳的下端静止时，细绳对物体A的拉力为F1。将物体A浸没在圆筒形容器内的液体中，静止时，容器内的液面升高了7.5cm，如图3乙所示，此时细绳对物体A的拉力为F2，物体A上表面到液面的距离为h1。然后，将物体A竖直向上移动h2，物体A静止时，细绳对物体A的拉力为F3。已知F1与F2之差为7.2N，F2与F3之比为
5：8，h1为3cm，h2为5cm。不计绳重，g取10N/kg。则物体A的密度是 kg/m3。
图3
乙
h1
A
h2
甲
A
解析：设物体A的高度为hA对物体A进行受力分析，得：
（1） （2）
（3）
当物体A相对于容器底上升h2时液面下降为，则有
（4）
此时物体A浸入液体中的深度为；
（5） （6）
（7） 代入数据可得。
4． 将圆柱体B竖立在圆柱形容器A的水平底面上，圆柱体B对容器A底面的压强为p0。向容器A内缓慢注水，记录
注入水的质量m和所对应的水对容器A底面的压强p，记录的数据如下表所示。已知圆柱体B的体积为2800cm，
则p0等于 Pa。（g取10N/kg）
m/g
1000
2000
3000
4300
5900
7500
p /Pa
400
800
1200
1600
2000
2400
解析：设圆柱形容器A的底面积为SA，圆柱体B的底面积为SB，分析题设条件知道当加水至3000g时，水对圆柱形容器底A的压强成正比，圆柱形物体B仍然没有漂浮；当加水4300g时水对圆柱形容器A底的压强不再与所加水的质量成正比，所以圆柱形物体B已经漂浮；依题意有：
（1） （2）

A

B

（5）
（6）
由以上各式得：，
图4
5．宋朝的怀丙用如图4所示的方法打捞落入水底的铁牛。把一根圆木绑在两只装着沙土的打捞船上，请人潜到水底，用绳索捆牢铁牛，将绳刚好拉直，并将绳索的另一端捆在两船间的圆木上。然后，把船上的沙土卸走，铁牛就被拉起。假设铁牛由某种密度为ρ=8×103kg/m3的铁合金制成，质量为4.8t，沉入湖水静止的湖底，铁牛的底部与湖底不密合。每只打捞船的质量为1.15t，每只船上各站着2名质量为50kg的工人，船内装有等质量的沙土，圆木的质量为100kg。两只船浸入水中的深度相同，每只船浸入水中的深度与船排开水的体积关系如下表所示。忽略绳索质量，湖的面积很大。如果将船中沙土全部卸光后，能使铁牛的底部提升至距离湖底20 cm的高度，最初船离岸时每只船内应装沙土的质量为__ ____kg。（g取10N/kg）
船浸入水中的深度h/m
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
排水体积V/m3
0.7
1.5
2.4
3.4
4.5
5.6
解析：设将船中的沙子卸掉以前，船浸入水中的深度为h，每只船排开水的体积为V0 ，最初船离岸时每只船内应
装沙土的质量为m沙 。依题意有：
（1）
（2）
（3）
由（3）代入（2）得，查表可知，此时船浸入水中的深度h=0.4m，在沙没有卸下来以前船浸入水中
的深度，每只船排开水的体积为代入方程（1）得m沙 =4.3×103kg。
6. 一个底面积为50cm2的烧杯装有某种液体，将一个木块放入烧杯内的液体中，木块静止时液体深h1=10cm,如图甲所
示；把一个小石块放在木块上，液体深h2=16cm，如图乙所液体中示；若将小石块放入液体中，液体深h3=12cm,如图
图5
丙所示，石块对杯底的压力F=1.6N。求：小石块的密度。
解析：由甲乙两图可知：（1）
由甲丙两图可知: （2）
由乙丙两图可知: （3）
将数据带入（1）（2）（3）得：。
7．如图6所示，放在水平桌面上的甲、乙两个薄壁容器，其底面积分别为S1、S2，容器内分别盛有密度为ρ1、
ρ2的两种液体。现有A、B两个实心球，其体积分别为VA、VB，质量分别为mA、mB，密度分别为ρA、ρB。
将A、B两个实心球分别放入甲、乙容器中（两容器中液体均未溢出），当A、B两个球静止时，它们受到
的浮力分别为FA、FB。甲、乙两容器内液面上升的高度分别为Δh1、Δh2，液体对甲、乙两容器底的压力分
别增加了ΔF1、ΔF2，压强分别增加了Δp1、Δp2。甲、乙两容器对水平桌面的压力分别增加了ΔF3、ΔF4，压
强分别增加了Δp3、Δp4。已知2mA=5mB， 4VA =3VB，FA=FB，4S1=5S2，7ρ1=8ρ2，2Δh1=3Δh2。则（ ）
A．ΔF1:ΔF2=15: 7，ΔF3:ΔF4=2: 5
图6
甲
乙
B．Δp1:Δp2=4:5，Δp3:Δp4=2:1
C．如果ρ1=0.8×103kg/m3，那么ρA=2.0×103kg/m3
D．如果ρ2=4×103kg/m3，那么ρB=1.6×103kg/m3
解析：液体对甲、乙两容器底的压力分别增加了ΔF1、ΔF2；
（1）；
甲、乙两容器对水平桌面的压力分别增加了ΔF3、ΔF4，（2）；
液体对甲、乙两容器底的压强分别增加了Δp1、Δp2， （3）
甲、乙两容器对水平桌面的压强分别增加了Δp3、Δp4，（4）
A、B 两物体在甲乙两容器中都漂浮时 ，所以A、B 两物体在甲乙两容器中都漂浮不可能；
A、B 两物体在甲乙两容器中都沉底时，所以A、B 两物体在甲乙两容器中都漂浮不可能；
A、B 两物体在甲乙两容器中只可能一个漂浮一个沉底，由于，所以是A 物体沉底B 漂浮，即：如果
ρ1=0.8×103kg/m3，，；
所以选项C正确。