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第一章 质点运动学
课 后 作 业
1、一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为
a＝2＋6 x2 (SI)
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
解：设质点在x处的速度为v，
2分
2分
1分
2、一质点沿x轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m处，初速度v0 = 0．试求其位置和时间的关系式． yjqGRhf。IgArH12。
解： dv /dtt ， dv t dt
vt2 3分
vx /d tt2
x t3 /3+x0 (SI) 2分
3、一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为 其中b、c是大于零的常量，求从开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间． rhlCCXr。Y3VH7ml。
解： 1分
1分
1分
根据题意： at = an 1分 k3HiA16。UzCxKHd。
即
解得 1分y9ebscl。C0wWNKG。
4、如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度w与时间t的函数关系为 (k为常量)．已知时，质点P的速度值为32 m/s．试求s时，质点P的速度与加速度的大小． FkX95SD。3WWuOyS。
解：根据已知条件确定常量k
1分
,
时， v = 4Rt2 = 8 m/s 1分4fkCY9j。015rWXx。
1分
1分
m/s2 1分
5、一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率 m/s．试问： DywZVmC。1RNP0b6。
(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？
(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？
解：(1) 球相对地面的初速度
30 m/s 1分
抛出后上升高度 m/s 1分
离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m 1分ZYftbq6。HwhNo0N。
(2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度
1分
s 1分
6、在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如图所示．当人以(m·)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．ncGss7v。VuEoFdg。
解： 设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知
将上式对时间求导，得
题1-4图
根据速度的定义，并注意到,是随减少的，
∴
即
或
将再对求导，即得船的加速度
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第二章 运动与力
课 后 作 业
1、 一人在平地上拉一个质量为M的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h＝1.5 m，不计箱高，问绳长l为多长时最省力? 6dcmIQ8。HKTAIrY。
解：设绳子与水平方向的夹角为θ，则． 木箱受力如图所示，匀速前进时, 拉力为F, 有
F cosθ－f ＝0 2分
F sinθ＋N－Mg＝0
f＝μN
得 2分
令
∴ ， 2分
且
∴ l＝h / sinθ＝2.92 m时，最省力．
2、一质量为60 kg的人，站在质量为30 kg的底板上，用绳和滑轮连接如图．设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计，绳子不可伸长．欲使人和底板能以1 m/s2的加速度上升，人对绳子的拉力T2多大？人对底板的压力多大? (取g＝10 m/s2) Nvuh0xo。HAa4gtI。
解：人受力如图(1) 图2分
1分
底板受力如图(2) 图2分
2分
1分
由以上四式可解得
∴ N 1分 N 1分vVDqi5I。uWPxEJ1。
3、一条轻绳跨过一轻滑轮(滑轮与轴间摩擦可忽略)，在绳的一端挂一质量为m1的物体，在另一侧有一质量为m2的环，求当环相对于绳以恒定的加速度a2沿绳向下滑动时，物体和环相对地面的加速度各是多少？环与绳间的摩擦力多大？ XQhV5VA。v5kd1dp。
解：因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数值上等于绳子张力T ．设m2相对地面的加速度为，取向上为正；m1相对地面的加速度为a1(即绳子的加速度)，取向下为正． 1分SYBcaoj。fQu2UYD。
2分 2分 2分eDi4PHQ。1IiOq8D。
解得 1分
1分
1分
L
O
O′
4、一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度w在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)．oBkmaBq。h8qhO92。
解：取距转轴为r处，长为d r的小段绳子，其质量为 ( M/L ) dr ．
r
O
O′
d r
T(r)
T(r+dr)
(取元，画元的受力图) 2分19Un9OK。4C0BKAb。
由于绳子作圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，由牛顿定律得：
T ( r )-T ( r + dr ) = ( M / L) dr rw2
令 T ( r )－T (r + dr ) = - dT ( r)
得 dT =－( Mw2 / L) r dr 4分
由于绳子的末端是自由端 T (L) = 0 1分
有
∴ 3分
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第三章 动量与角动量
课 后 作 业
1、如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h＝0.5 m处，煤粉自料斗口自由落在A上．设料斗口连续卸煤的流量为qm＝40 kg/s，A以v＝2.0 m/s的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向．（不计相对传送带静止的煤粉质重）pvViq9T。eF5rG6H。
解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度
1分
设煤粉与A相互作用的Dt时间内，落于传送带上的煤粉质量为 1分F3KXhQm。rcSyO6e。
设A对煤粉的平均作用力为，由动量定理写分量式：
1分
1分
将 代入得 ，
∴ N 2分
与x轴正向夹角为a = arctg (fx / fy ) = 57.4° 1分nr9Nz8p。c7STJ6B。
由牛顿第三定律煤粉对A的作用力f′= f = 149 N，方向与图中相反．2分
2、质量为1 kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数m = 0.2 ．现对物体施以F = 10t (SI)的力，（t表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s时它的速度大小v 为多少?NOKBZij。4ZNaEM0。
解：由题给条件可知物体与桌面间的正压力
1分
物体要有加速度必须 2分
即 ， 1分
物体开始运动后，所受冲量为
t = 3 s, I = 28.8 N s 2分
则此时物体的动量的大小为
速度的大小为 m/s 2分vrWJmFN。KpONlIA。
3、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h＝19.6 m处炸裂成质量相等的两块．其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上．设此处与发射点的距离S1＝1000 m，问另一块落地点与发射地点间的距离是多少？（空气阻力不计，g＝9.8 m/s2）ENiYjpm。g9ptAMe。
解：因第一块爆炸后落在其正下方的地面上，说明它的速度方向是沿竖直方向的．
利用 ， 式中为第一块在爆炸后落到地面的时间． 可解得v1
＝14.7 m/s，竖直向下．取y轴正向向上, 有v1y＝－14.7 m/s 2分KHME7UC。qG4Sy14。
设炮弹到最高点时(vy＝0)，经历的时间为t，则有
S1 = vx t ①
h= ②
由①、②得 t=2 s , vx =500 m/s 2分6IgCb7W。JjVf0Mq。
以表示爆炸后第二块的速度，则爆炸时的动量守恒关系如图所示．
③
④
解出 v2x =2vx =1000 m/s， v2y =-v1y =14.7 m/s 3分kF8UprK。z1txfN7。
再由斜抛公式 x2= S1 +v2x t2 ⑤ foSctVf。sykd7oP。
y2=h+v2y t2- ⑥
落地时 y2 =0，可得 t2 =4 s , t2＝－1 s（舍去）
故 x2＝5000 ｍ 3分L8s1PBq。QUymLiF。
4、质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10 g的子弹以v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求：mObqQCJ。i2sVuMK。
(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；
(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为rdFxdmb。aBT1RTY。
有 mv0 = mv+M v¢
v¢ = m(v0 - v)/M =3.13 m/s 2分aMISC12。Z85lkm9。
T =Mg+Mv2/l =26.5 N 2分
(2) (设方向为正方向) 2分
负号表示冲量方向与方向相反． 2分viNi1DP。bP61edI。
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第四章 功和能
课 后 作 业
1、一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为
(SI)
式中a、b、w是正值常量，且a＞b．
(1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能；
(2)求质点所受的合外力以及当质点从A点运动到B点的过程中的分力和分别作的功．
解：(1)位矢 (SI)
可写为 ，
，
在A点(a，0) ，，
EKA= 2分
在B点(0，b) ，，
EKB= 2分
(2) = 2分
由A→B = 2分
= 2分
2、劲度系数为k的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为m的小球B相连接．用外力推动小球，将弹簧压缩一段距离L后放开．假定小球所受的滑动摩擦力大小为F且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等．试求L必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态． QtMIy54。zxO6lGp。
解：取弹簧的自然长度处为坐标原点O，建立如图所示的坐标系．在t=0时，静止于x＝－L的小球开始运动的条件是9ofclsL。PabH9ih。
kL＞F ① 2分
小球运动到x处静止的条件，由功能原理得
② 2分
由② 解出
使小球继续保持静止的条件为 ③ 2分
所求L应同时满足①、③式，故其范围为 <L 2分
3、一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为m．令链条由静止开始运动，则 bnePjXb。7GxKwPu。
(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建立如图坐标.
某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为
1分
摩擦力的功 2分
= = 2分
(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W＝
其中 ∑W = W P＋Wf ，v0 = 0 1分Zzcchdq。pXqmU4M。
WP == 2分
由上问知
所以
得 2分
4、一物体与斜面间的摩擦系数m = 0.20，斜面固定，倾角a = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示．求： 2ImYcf7。Kons8Ad。
物体能够上升的最大高度h；
该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．
解：(1)根据功能原理，有 2分
2分
=4.5 m 2分
(2)根据功能原理有 1分
1分
=8.16 m/s 2分
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第五章 刚体的转动
课 后 作 业
1、一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力． cR6COVH。2ELrwk5。
解：受力分析如图所示． 2分
2mg－T1＝2ma 1分
T2－mg＝ma 1分
T1 r－T r＝ 1分
T r－T2 r＝ 1分
a＝rb 2分
解上述5个联立方程得： T＝11mg / 8 2分 WBMfc2E。oyXttre。
2、一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为M / 4，均匀分布在其边缘上．绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J＝MR2 / 4 )EC8Qg2u。OKNJX3C。
解：受力分析如图所示．
设重物的对地加速度为a，向上.则绳的A端对地有加速度a向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a向下. 2分TxiIuza。fds1NV0。
根据牛顿第二定律可得：
对人： Mg－T2＝Ma ① 2分
对重物： T1－Mg＝Ma ② 2分
根据转动定律，对滑轮有
(T2－T1)R＝Jb＝MR2b / 4 ③ 2分
因绳与滑轮无相对滑动， a＝bR ④ 1分n2uTGJk。m1xkOqN。
①、②、③、④四式联立解得 a＝2g / 7 1分d7fc9Z5。qooavK7。
3、一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)． dLfxxoN。WQSgoNX。
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得：
mgT＝ma ① 2分
T r＝Jb ② 2分
由运动学关系有： a = rb ③ 2分oe6xNqw。Yg93Dnz。
由①、②、③式解得： J＝m( g－a) r2 / a ④
又根据已知条件 v0＝0
∴ S＝， a＝2S / t2 ⑤ 2分将⑤式代入④式得：J＝mr2(－1) 2分dDrCpWF。37ouZPG。
4、有一质量为m 1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短．已知小滑块在碰撞前后的速度分别为和，如图所示．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知棒绕O点的转动惯量) rqePeZ9。Ysg4xOX。
解：
对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力
矩<<滑块的冲力矩．故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，即
1分
m2v1l＝－m2v2l＋ ① 3分
碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为
② 2分
由角动量定理 ③ 2分
由①、②和③解得 2分
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第六章 狭义相对论基础
课 后 作 业
1、一体积为V0，质量为m0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A以速度v运动．求：观察者A测得其密度是多少？ XBRwswp。Xx1mLZ0。
解：设立方体的长、宽、高分别以x0，y0，z0表示，观察者A测得立方体的长、宽、高分别为 ，，． PRz5uDa。RM7wq80。
相应体积为 3分
观察者Ａ测得立方体的质量
故相应密度为 2分
2、在O参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O＇以 0.8c的匀速度沿正方形的对角线运动．求O＇所测得的该图形的面积． mxJog9z。KkH9tlP。
解：令O系中测得正方形边长为a，沿对角线取x轴正方向(如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为
，
面积可表示为： 2分
在以速度v相对于O系沿x正方向运动的O＇系中
=0.6×
在O＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为
cm2 3分
3、一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0 =90 m，相对于地面以0.8 c (c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过． gdoWFyU。bUI9gUC。
(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？
(2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？
解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为
54 m
则 Dt1 = L/v =2.25×10-7 s 3分iC3X0XR。n6qBctR。
(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L0，则
Dt2 = L0/v =3.75×10-7 s 2分b7cNdUO。OHwk6VZ。
4、半人马星座a星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球S = 4.3×1016 m．设有一宇宙飞船自地球飞到半人马星座a星，若宇宙飞船相对于地球的速度为v = 0.999 c，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？ NwjTZYk。SkkSn5k。
解：以地球上的时钟计算： 年 2分
以飞船上的时钟计算： 0.20 年 3分
5、在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生Dt =2s；而在另一惯性系S＇中，观测第二事件比第一事件晚发生Dt¢=3s．那么在S＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？ uzI5gKq。R6c2zAj。
解：令S＇系与S系的相对速度为v，有
，
则 ( = 2.24×108 m·s-1 ) 4分
那么，在S＇系中测得两事件之间距离为：
= 6.72×108 m 4分
6、要使电子的速度从v1 =1.2×108 m/s增加到v2 =2.4×108 m/s必须对它作多少功？ (电子静止质量me ＝9.11×10-31 kg) UOGQPeO。yts9h51。
解：根据功能原理，要作的功 W = DE
根据相对论能量公式 DE = m2c2- m1c2 2分rZsYGoR。LOXEW6i。
根据相对论质量公式
1分
∴ ＝4.72×10-14 J＝2.95×105 eV 2分
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第七章 振动
课 后 作 业
1、一个轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30 cm．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg．待其静止后再把物体向下拉10 cm，然后释放．问： hLvAJXv。xY5e1Mn。
(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？
(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？
解：(1) 小物体受力如图．
设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正） 1分PyWu9SH。oNQLiq6。
当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分
A = 10 cm，
有 rad·s-1 2分0q7rxRn。jfnzVPF。
系统最大加速度为 m·s-2 1分
此值小于g，故小物体不会离开． 1分8nCWGFf。XiRuK0f。
(2) 如使a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得
2分
cm 1分
即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离，由，可得
=19.6 cm． 1分
2、一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 = 10 cm求：cSdCr54。rHsgiph。
A
B
x
(1) 质点的振动方程；
(2) 质点在A点处的速率．
解： T = 8 s， n = (1/8) s-1，
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