【河北省保定市】2017年高考一模文科数学试卷-答案.pdf

-1-/13 河北省保定市河北省保定市 2017 年高考一模年高考一模文科数学文科数学试卷试卷 答答 案案 15BAADC 610BBBAD 11C 124 1314 148 15(,1)16（12 分）解：（1）由题意,2()2 3sin cos2cos3sin2cos212sin(2)16f xxxxxxx （2）()2sin(2)126f AA,1sin(2)62A,(0,)A,132(,)666A,3A,ABC的面积为32,1331222c ,2c,1142 1 232a （12 分）17（12 分）证明：（1）连接ACBD、,交于点O,连结SO,四棱锥SABCD的底面边长为 1 的正方形,ACBD,且O是BD中点,每条侧棱的长均为2,SOAC,BDSOO,ACSBD平面,SDSBD平面,ACSD（2）由（1）知OBOCOS、两两垂直,建立空间直角坐标系Oxyz,则62(0,0,),(,0,0)22SD,22(0,0),(0,0)22AC,设(,),P a b c SPSD,-2-/13 则626(,)(,0,)222a b c,解得266,0,222abc,266(,0,)222P,2622662266(,0,),(,),(,)2222222222SDPAPC,SDPAC平面,16602441660244SD PASD PC ,解得34,P到平面ACD的距离66362248d,三棱锥PACD的体积116161 1338248ACDVdS 18（12 分）解：（1）由表中数据计算2K的观测值：2250(22 128 8)5.5565.02430 20 30 20K 所以根据统计有 97.5%的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关；（2）设小明与小刚解答这道题所用的时间分别为xy、分钟,则基本事件所满足的条件是5768xy 所表示的平面区域；设事件A为“小刚比小明先解答完试题”,则满足的区域为xy；由几何概型的概率,计算11 112()228P A,-3-/13 小刚比小明先正确解答完的概率是18；（3）根 据 题 意,X的 所 有 可 能 取 值 为012，,则21166222881512(0),(1),2828CCCP XP XCC 22281(2)28CP XC；X的分布列为：X 0 1 2 P 1528 1228 128 X的数学期望为()E X所以151211()0122828282E X 19（12 分）解：（1）()e2xfx,令()0fx,解得：ln2x,令()0fx,解得：ln2x,故()f x在(,ln2)递减,在(ln2,)递增,故当ln2x 时()f x有极小值(ln2)22ln2f,无极大值（2）令22()()(2)1e1xg xf xxaxxax,()e2()xg xxaf xa,minmin()()22ln2g xf xaa,2ln4a()0g x,()g x在(0,)单调递增,()(0)0g xg,即2()(2)1f xxax -4-/13 20.解：（1）由题意的标准方程：22184xy,则2 2,2,2abc,椭圆的离心率2e2ca；（2）证明：方法一：曲线22184xy,当0 x 时,2y ,故(0,2),(0,2)AB,将直线4ykx代入椭圆方程22184xy得：22(21)16240kxkx,若4ykx与曲线C交于不同两点,M N,则232(23)0k,解得：232k,设(,4),(,4),(,1)NNMMGN xkxM xkxG x,由韦达定理得：21612MNkxxk 22412MNx xk MB方程为：62MMkxyxx,则3(,1)6MMxGkx,3(,1),(,2)6MNNMxAGANxkxkx,欲证,A G N三点共线,只需证,AG AN共线,即3(2)6MNNMxkxxkx,将代入可得等式成立,则,A G N三点共线得证 方法二：将直线 y=kx+4 代入椭圆方程22184xy得：22(21)16240kxkx,则232(23)0k,解得：232k,由韦达定理得：21612MNkxxk（1）22412MNx xk（2）设(,4),(,4),(,1)NNMMGN xkxM xkxG x,MB方程为：62MMkxyxx,则3(,1)6MMxGkx,-5-/13 则1232242()633NMNMNAGANMNMMNkxxxxkkkkkxkxxxx x,将代入上式：0NAGAkk,A G N三点共线 选修 4-4 坐标系与参数方程 21（10 分）解：（1）圆221:(3)4Cxy,即222 310 xyx,1C的极坐标方程为22 3 cos10,曲线2C的参数方程为22cos()2sinxy为参数,2C的普通方程为：22(2)4xy（2）直线3C的极坐标方程为()3R,直线3C的直角坐标方程为3yx,由题意知2C与3C交于坐标原点,设,A O重合,11|2,|3,120ABACBAC,1ABC的面积（1C为圆C的圆心）：1113|sin12022ABCSABAC 选修 4-5 不等式选讲 22解：由题意可得,不等式|1|3ax,即31 3ax,即42ax,即21x ,2a；（2）,11()32,121,2x xg xxxx x ,12x 时,min1()2g x -6-/13 河北省保定市河北省保定市 2017 年高考一模年高考一模文科数学试卷文科数学试卷 解解 析析 1【考点】1E：交集及其运算【分析】求出 B 中 y 值域确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：A=1,2,AB=1,2,故选：B【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】设 C（x,y）,由 O（0,0）,A（2,1）,B（0,3）,可得,结合 OACB 为平行四边形列式求得复数 z【解答】解：如图,设 C（x,y）,O（0,0）,A（2,1）,B（0,3）,由题意可得,即,解得 x=y=2 复数 z=2+2i 故选：A 【点评】本题考查复数的性质和应用,是基础题 3【考点】84：等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的性质、三角函数求值即可得出【解答】解：an为等差数列,a1+a5+a9=4,3a5=4,解得 a5=cosa5=cos=故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 -7-/13 4【考点】J7：圆的切线方程【分析】由直线与圆相切,得到圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值【解答】解：圆 x2+（ya）2=1 的圆心坐标为（0,a）,半径为 1,直线 x+y=0 与圆 x2+（ya）2=1 相切,圆心（0,a）到直线的距离 d=r,即=1,解得：a=故选 D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键 5【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】先判断命题 p,q 的真假,进而根据复合命题真假判断的真值表,可得答案【解答】解：若 ab,则cR,ac2bc2,在 c=0 时不成立,故 p 是假命题；x0=10,使得 x01+lnx0=0,故命题 q 为真命题,故命题 pq,p（q）,（p）（q）是假命题；命题（p）q 是真命题,故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,不等式的基本性质,对数运算等知识点,难度中档 6【考点】3E：函数单调性的判断与证明；3K：函数奇偶性的判断【分析】根据题意,写出函数 g（x）的解析式,设 x0,则x0,分析可得 g（x）=g（x）,可得 g（x）为奇函数；由 x0 时 g（x）的解析式,对其求导可得 g（x）=2=0,可得函数 g（x）在区间（0,+）上递减,结合单调性可得其在（,0）上也递减,综合可得答案【解答】解：根据题意,=,设 x0,则x0,g（x）=g（x）,故 g（x）为奇函数；当 x0 时,g（x）=x2,g（x）=2=0,即 g（x）在区间（0,+）上递减,又由函数 g（x）为奇函数,则在（,0）上也递减,-8-/13 故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性单调性的判定,涉及分段函数的应用,关键是写出 g（x）的解析式 7【考点】EF：程序框图【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出 i 的值【解答】解：根据题意,得 a=2017,i=1,b=,i=2,a=,b=,i=3,a=,b=2017,不满足 bx,退出循环,故选 B【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,从而得出正确的结论,是基础题 8【考点】8B：数列的应用【分析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列an,其中 q=,S6=378利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列an,其中 q=,S6=378 则=378,解得 a1=192 所以 a2=192=96 故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 9【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是以主视图为底面的四棱锥,进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以主视图为底面的四棱锥,其底面面积 S=44=16,高 h=4,故体积 V=,故选：A【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档 10.【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】根据向量的三角形法则和向量的数乘运算求出=,=,再代值计算即可【解答】解：=+=+=+（）=+,-9-/13 =,=,+=3+=,故选：D【点评】本题考查了向量的三角形法则和向量的数乘运算,属于基础题 11【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】令 f（x）令 f（x）=1 得 x1=,x2=1,x3=5,再画出 f（x）的图象,结合图象可得答案【解答】解：令 f（x）=1 得 x1=,x2=1,x3=5,令 g（x）=ff（x）1=0,作出图象如图所示：由图象可得当 f（x）=无解,f（x）=1 有 3 个解,f（x）=5 有 1 个解,综上所述函数 g（x）=ff（x）1 的零点个数为 4,故选：C【点评】本题考查了函数零点的问题,以及分段函数的问题,属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上 12【考点】7C：简单线性规划【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划,我们可以先画出足约束条件的平面区域,再由目标函数 P=x2+y2的几何意义：表示区域内一点到原点距离的平方,不难根据图形分析出目标函数 P=x2+y2的最大值 -10-/13 【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图：目标函数 P=x2+y2表示区域内一点到原点距离的平方,故当 x=0,y=2 时,P 有最大值 4 故答案为：4 【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案 13【考点】49：指数函数的图象与性质【分析】首先利用已知函数图象过定点 A,得到 m,n 的等式,利用基本不等式求 mn 的最大值【解答】解：因为函数 y=ax1（a0,a1）的图象恒过定点 A（1,1）,又点在直线 mx+ny=1 上,所以 m+n=1,mn=；所以 mn 的最大值为；当且仅当 m=n 时等号成立 故答案为：【点评】本题考查了指数函数的图象以及基本不等式的运用；属于基础题 14【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体【分析】以 PA,PB,PC 分棱构造一个长方体,这个长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球,由此能求出三棱锥的外接球的表面积【解答】解：如图,PA,PB,PC 两两垂直,设 PC=h,则 PB=,PA=,PA2+PB2=AB2,4h2+7h2=5,解得 h=,三棱锥 PABC,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=1,PB=2,PC=,以 PA,PB,PC 分棱构造一个长方体,-11-/13 则这个长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球,由题意可知,这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心,三棱锥的外接球的半径为 R=,所以外接球的表面积为 S=4R2=42=8 故答案为：8 【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用 15【考点】8I：数列与函数的综合；8H：数列递推式【分析】通过并项相加可知当 n2 时 ana1=n+（n1）+3+2,进而可得数列an的通项公式 an=n（n+1）,裂项、并项相加可知 bn=2（）=,通过求导可知 f（x）=2x+（x1）是增函数,进而问题转化为 m2mt+（bn）max,由恒成立思想,即可得结论【解答】解：a1=1,anan1=n（n2,nN）,当 n2 时,anan1=n,an1an2=n1,a2a1=2,并项相加,得：ana1=n+（n1）+3+2,an=1+2+3+n=n（n+1）,又当 n=1 时,a1=1（1+1）=1 也满足上式,数列an的通项公式为 an=n（n+1）,bn=+=+=2（+）-12-/13 =2（）=,令 f（x）=2x+（x1）,则 f（x）=2,当 x1 时,f（x）0 恒成立,f（x）在 x1,+）上是增函数,故当 x=1 时,f（x）min=f（1）=3,即当 n=1 时,（bn）max=,对任意的正整数 n,当 m1,2时,不等式 m2mt+bn恒成立,则须使 m2mt+（bn）max=,即 m2mt0 对m1,2恒成立,即 tm 的最小值,可得得 t1,实数 t 的取值范围为（,1）,故答案为：（,1）【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,涉及利用导数研究函数的单调性,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于难题 16【点评】本题考查向量知识的运用,考查三角形面积的计算,考查余弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题 17【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）连接 AC、BD,交于点 O,连结 SO,推导出 ACBD,SOAC,从而 AC平面 SBD,由此能证明ACSD【点评】本题考查线线垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想,是中档题 18【点评】本题考查了独立检验以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法问题,是综合题 19【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出 f（x）的极值即可；（2）令 g（x）=f（x）x2（a2）x1,求出函数的导数,根据函数的单调性求出 g（x）的最小值,从而判断大小即可 20【考点】K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）求得椭圆的标准方程,求得 a 和 c 的值,则 e=；（2）方法一：代入椭圆方程方程,由韦达定理及向量数量积的坐标运算,=（,1）,=（xN,kxN+2）,-13-/13 由（kxN+2）=xN,A,G,N 三点共线；方法二：由题意可知：kMAkGA=,由韦达定理求得 kMAkGA=0,即可求证 A,G,N 三点共线【点评】本题考查椭圆的简单几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量数量积的坐标运算,直线共线的求法,考查计算能力,属于中档题 21【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）圆 C1转化为,由此能求出 C1的极坐标方程,曲线 C2的参数方程消去参数,能求出 C2的普通方程（2）求出直线 C3的直角坐标方程为 y=,由题意知 C2与 C3交于坐标原点,设 A,O 重合,分别求出|AB|=2,|AC1|=,BAC1=120,由此能求出ABC1的面积【点评】本题考查曲线的参数方程、普通方程的求法,考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用 22【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】（1）由题意可得3ax2,即2x1,由此可得 a 的值（2）写出分段函数,即可求 g（x）的最小值【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题