上海高考数学十年总结-数列.pdf

（08-1808-18）上海高考数学十年总结）上海高考数学十年总结-解三角形解三角形（20082008 年上海）年上海）21（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3小题满分 8 分。anc,an3,已知a1为首项的数列an满足:an1a.n,an3,d(1)当a11,c 1,d 3时，求数列an的通项公式；（2）当0 a11,c 1,d 3时，试用a1表示数列an前 100 项的和S100；（3）当0 a1111，c，正整数d 3m时，求证：数列a2，,（m是正整数）mmm111a3m2，a6m2，a9m2成等比数列当且仅当d 3m。mmm（20092009 年上海）年上海）23.（本题满分 18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分 5 分，第2 小题满分 5 分，第3 小题满分 8 分。已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。（1）若an 3n1，是否存在m、k N*，有am am1 ak?说明理由；（2）找出所有数列an和bn，使对一切nN*,w.w.w.k.s.5.u.c.o.man1 bn,并说明理由；an（3）若a1 5,d 4,b1 q 3,试确定所有的p，使数列an中存在某个连续p项的和是数列bn中的一项，请证明。（20102010 年上海）年上海）20.(20.(本题满分本题满分 1313 分分)本题共有本题共有 2 2 个个小题，第一个小题满分小题，第一个小题满分 5 5 分，第分，第 2 2 个小题满分个小题满分 8 8 分。分。*已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且Sn n5an85，nN（1）证明：an1是等比数列；（2）求数列Sn的通项公式，并求出 n 为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。（2）Sn=n75()n190 n=15 取得最小值5解析：(1)当 n1 时，a114；当 n2 时，anSnSn15an5an11，所以an1(an11)，656又 a11150，所以数列an1是等比数列；5(2)由(1)知：an1 156n1 5，得an1156n1 5，从而Sn 756n1 n 90(nN N*)；5解不等式 Sn2，且1,1,2,x，求 x 的值；(4 分)(2)若 X 具有性质 P P，求证：1X，且当 xn1 时，x1=1；(6 分)(3)若 X 具有性质 P P，且 x1=1，x2=q(q 为常数)，求有穷数列x1,x2,xn的通项公式.(8分)（20132013 年上海）年上海）23（3 分+6 分+9 分）给定常数c 0，定义函数f(x)2|xc4|xc|，数列a1,a2,a3,*满足an1 f(an),nN.*（1）若a1 c2，求a2及a3；（2）求证：对任意nN,an1an c，；（3）是否存在a1，使得a1,a2,在，说明理由.an,成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存【解答】：（1）因为c 0，a1(c2)，故a2 f(a1)2|a1c 4|a1c|2，a3 f(a1)2|a2c 4|a2c|c10（2）要证明原命题，只需证明f(x)xc对任意xR都成立，f(x)xc 2|xc4|xc|xc即只需证明2|xc4|xc|+xc若xc 0，显然有2|xc4|xc|+xc=0成立；若xc 0，则2|xc4|xc|+xc xc4 xc显然成立*综上，f(x)xc恒成立，即对任意的nN，an1an c（3）由（2）知，若an为等差数列，则公差d c 0，故 n 无限增大时，总有an 0此时，an1 f(an)2(anc4)(anc)anc8即d c8故a2 f(a1)2|a1c4|a1c|a1c8，即2|a1c4|a1c|a1c8，当a1c 0时，等式成立，且n 2时，an 0，此时an为等差数列，满足题意；若a1c 0，则|a1c 4|4 a1 c8，此时，a2 0,a3 c8,an(n2)(c8)也满足题意；综上，满足题意的a1的取值范围是c,)c8（20142014 年上海）年上海）【2014 年上海卷（理23）】(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第1 小题满分 3 分，第2小题满分 7 分，第 3 小题满分 8 分.已知数列an满足an an13an，nN N，a11.*13(1)若a2 2,a3 x,a4 9，求x的取值范围；(2)设an是公比为q的等比数列，Sn a1 a2求q的取值范围；(3)若a1,a2,1 an.若Sn Sn1 3Sn，nN N*，3,ak成等差数列，且a1 a2,ak的公差.ak1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1,a2,13综上可得3 x 6；【解析】：（1）依题意，a2 a3 3a2，21 x 6，又a3a4 3 a3，3 x 27，331 q 33n1（2）由已知得an q，又a1 a2 3a1，13当q 1时，Sn n，1nSn Sn1 3Sn，即 n1 3n，成立331 qn 1qn 1 1qn 1qn11 3当1 q 3时，Sn Sn1 3Sn，即，Sn3 q 1q 1 q 1q133qn1qn2 01qn11n，q 1，3，此不等式即n1n3q 1q3q 2 03qn1qn2 qn(3q1)2 2qn2 0，n1对于不等式q3qn 2 0，令n 1，得q23q2 0，解得1 q 2，又当1 q 2时，q3 0，qn13qn2 qn(q3)2 q(q3)2 (q1)(q2)0成立，1 q 21 1 qn1 qn11qn1当 q 1时，Sn Sn1 3Sn，即Sn31 q1 q31q311 qn 31q，3qn1qn2 0即n1，3q1 0,q3 0nq3q 2 03qn1qn2 qn(3q 1)2 2qn2 0qn13qn2 qn(q3)2 q(q3)2 (q1)(q2)01 q 1时，不等式恒成立31综上，q的取值范围为 q 23（3）设公差为d，显然，当k 1000,d 0时，是一组符合题意的解，kmax1000，则由已知得1(k 2)d1(k 1)d 31(k 2)d，3(2k 1)d 222，当k 1000时，不等式即d ，,d 2k 12k 5(2k 5)d 22k(k 1)d，a1a2.ak k 1000，2k 1220002k2，k(k 1)2k 1d k 1000时，d 解得1000999000 k 1000999000，k 1999，k的最大值为1999，此时公差d（20152015 年上海）年上海）22（16 分）（2015上海）已知数列an与bn满足 an+1an=2（bn+1bn），nN（1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求数列an的通项公式；（2）设an的第 n0项是最大项，即 an*20002k19981 k(k 1)199919981999an（nN），求证：数列bn的第 n0项是最大项；*（3）设a1=0，bn=（nN），求 的取值范围，使得an有最大值 M 与最小值 m，且（2，2）（20162016 年上海）年上海）23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分若无穷数列an满足：只要ap aq(p,qN N*)，必有ap1 aq1，则称an具有性质P P.(1)若an具有性质P P.且a11,a2 2,a4 3,a5 2,a6 a7 a8 21，求a3；(2)若无穷数列bn是等差数列，无穷数列cn是公比为正数的等比数列，b1 c51，b5 c181，an bn cn，判断an是否具有性质P P，并说明理由；(3)设bn是无穷数列，已知an1 bnsinan(nN N*)，求证：“对任意a1，an都具有性质P P”的充要条件为“bn是常数列”.【解析】(1)a2 a5 2a3 a6a4 a7 3a5 a8 2a6 21 a7 a816a316(2)设bn的公差为d，cn的公差为q，则q 0b5b1 4d 80d 20bn 20n 19c51 q4c1811q 31n5cn()31n5an bncn 20n19()3a182,a5821304而a2 21 27 48,a610133a1 a5但a2 a6故an不具有性质P P(3)充分性：若bn为常数列，设bn C则an1 C sinan若存在p,q使得ap aq，则ap1 C sinap C sinaq aq1,故an具有性质P P必要性：若对任意a1，an具有性质P P则a2 b1sina1设函数f(x)x b1,g(x)sin x由f(x),g(x)图像可得，对任意的b1，二者图像必有一个交点一定能找到一个a1，使得a1b1 sina1a2 b1sina1 a1an an1故bn1 an2sinan1 an1sinan bnbn是常数列（20172017 年上海）年上海）n14.在数列an中，an()，nN N*，则lim an（）12nA.等于【答案答案】B11B.等于 0C.等于D.不存在221的分母会趋向于无穷大，分式的值趋向于0.2【解析解析】当 n 趋向于+时，215.已知 a、b、c 为常数，数列xn的通项xn an bn c，nN N*，则“存在 kN N*，使得x100k、x200k、x300k成等差数列”的一个必要条件是（）A.a0B.b 0C.c=0D.a2b+c=0【答案答案】A19.根据预测，某地第 n（nN N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：5n415,1剟n3辆）其中an=,bn=n+5,第 n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累10n470,n4计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第 4 个月的共享单车的保有量；（2）已知该地区共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量Sn=4(n16)+8800(单位：辆)设在某月底，共享单车保有量达到最大，问保有量是否超出了此时停放点的容纳量?2a2 a3 a4【解析解析】（1）（a1）（b1b2b3b4）=96530=935（辆）（2）10n+470n+5n42,即第 42 个月底，保有量达到最大.（a1a2a3=8782（辆）2S42=4(4246)+8800=8736,此时保有量超过了容纳量.a42）（b1b2b3b42）=965+(42050)38(647)4222（20182018 年上海）年上海）21.21.（本题满分（本题满分 1818 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分）分）给定无穷数列an，若无穷数列bn满足：对任意nN N*，都有bnan1，则称bn与an“接近”。（1）设an是首项为 1，公比为是否与an接近，并说明理由；（2）设数列an的前四项为：a11，a2 2，a3 4，a48，bn是一个与an接近的数列，记集合M x|x bi,i 1,2,3,4，求M中元素的个数m；（3）已知an是公差为d的等差数列。若存在数列bn满足：bn与an接近，且在b2b1，b3b2，b201b200中至少有 100 个为正数，求d的取值范围。【答案】：（1）接近：直接按照题目定义计算；（2）M x|x bi,i 1,2,3,4至少有 3 个元素，至多有4 个元素；（3）d 2。1bn an11，的等比数列，判断数列bnnN N*。2