【贵州省贵阳】2017学年高考一模数学年(理科)试题.pdf

1/12 贵州省贵阳市贵州省贵阳市 2017 年年高考高考一模一模数学数学（理科理科）试卷试卷 答答 案案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）15DBCAD 610AABCB 1112CC 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）1315 14126 153.12 16111 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17解：（1）sin()bAC，可得：sinbB，由正弦定理sinsinBsinabcAC，可得：sinaA，sincC，cos()cos3ACBc，可得：cos()cos()3ACACc，可得：cos cossin sin(cos cossin sin)3ACACACACc 2sin sin3ACc，23acc，可得：3sin2aA，A 为锐角，3A（2）32a，3A，由余弦定理可得：2223()2cos23bcbc，即2234bcbc，整理可得：23()4bcbc，又22324bcbcbcbcbc，当且仅当bc时等号成立，23333()4442bcbc，解得：62bc，当且仅当bc时等号成立，又32bca，36(,22bc 18解：（1）由统计表格可得：2/12 愿意 不愿意 总计 男生 15 45 60 女生 20 20 40 总计 35 65 100 22100(15 2020 45)6.596.63535 65 60 40K，在犯错误的概率不超过 1%的情况下不能接受挑战与性别有关（2）由题意可得：0,1,2X 则1113(0)(1)(1)2224P X，11111(2)222216P X，3(1)1(0)(2)16P XP XP X X 0 1 2 P 34 316 116 315()0 12161616E X 19解：（）取11BCH的中点，11C DG的中点，连结BHGHDH、，则平面BHGD就是所求平面，与直棱柱1111ABCDABC D的截面为平面BHGD（）菱形的直棱柱1111ABCDABC D中，12ABAA，60BAD，取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，(2,0,0)A，(0,0,0)D，(1,3,0)B，0,3,2H（），(2,0,0)DA，(1,3,0)DB，(0,3,2)DH，设平面（即平面BHGD）的法向量(,)nx y z，则30320n DBxyn DHyz，取 y=2，得(2 3,2,3)n ，平面 AEF 与平面的距离|4 34 5719|1243n DAdn 20解：（1）设00)(,P xy，11)(,A x y，11,)(Bxy，3/12 则22222211200211abaybxxy，2221221020yyxxba，220101122010011014PAPByyyykkxxxyxxyx，2214ba，椭圆 C 的离心率22131142bea（2）32cea，12ba，222214bxyb，3cb，焦点1(3,0)Fb，设(3)MNyk xb：，联立222(3)44yk xbxyb，得222222(41)8 31240kxk bxk bb，设11)(,M x y，22)(,N xy，则21228 341k bxxk，22212212441k bbx xk，22212121212(3)(3)3()3b y ykxb xbkx xb xx，110FMFN，111122212(3,)(3,)(33)xxxb yxb yb xby y222121212123()33()3b x xb xxbkx xb xx 22221 212()()()1(1)31kx xxxkbk2222222222222()(124)24()3()(41)0414141111k bbkkkkbbkkkk，2222221124)2413(141)()()0)(kkkkkk，整理，得2147k，解得k的取值范围是4747(,)4747 21解：（1）0 x时，21()2g xx，()g xx，故1(1)2g ，(1)1g，4/12 故切线方程是：1(x 1)2y，即102xy；（2）211()ln|ln22F xx xx xx xx，(0)x，()ln1F xxx，11Fxx（），令()0Fx，解得：01x，令()0Fx，解得：1x，故()F x在(0,1)递增，在(1,)递减，故()(1)0F xF，故()F x在(0,)递减；（3）已知可转化为121xx 时，111222)(mg xx f xmg xx f x恒成立，令2()()()ln2mh xmg xxf xxx x，则()h x为单调递增的函数，故()ln1 0h xmxx 恒成立，即ln1xmx恒成立，令ln1()xm xx，则2ln()xm xx，当,)1x时，()0m x，()m x单调递减，()(1)1m xm，故1m 四、请考生在第 22.23 题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22解：（1）曲线C的极坐标方程为12cos6sin0，可得：22 cos6 sin10，可得222610 xyxy，曲线C的普通方程：222610 xyxy（2）由于直线l的参数方程为132()332xttyt为参数 5/12 把它代入圆的方程整理得2250tt，122tt，1 25t t ，1|PAt，2|PBt，212121 2|()42 6PAPBttttt t|PAPB的值2 6 选修 4-5：不等式选讲 23解（1）51|4|5xx|由于2()6f xmm的解集为R，265mm，即15m （2）由（1）得m的最大值为 5，3455abc 由柯西不等式2222222(3453)()(45)25abcabc 故22212abc（当且仅当310a，410b，510c 时取等号）222abc的最小值为12 6/12 贵州省贵阳市贵州省贵阳市 2017 年年高考高考一模一模数学数学（理科理科）试卷试卷 解解 析析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1【考点】虚数单位 i 及其性质【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出【解答】解：z=i，故选：D【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】集合 A 一定要含有 1、2 两个元素，可能含有 3、4，但不能包含全部，即可得出结论【解答】解：P 可以为1，2，1，2，3，1，2，4，个数为 3 故选 B【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合 M 的子集问题一般来说，若 M 中有 n个元素，则集合 M 的子集共有 2n个，真子集 2n1 个 3【考点】等差数列的通项公式【分析】推导出是首项为 1，公差为了的等差数列，由此能求出 a2017的值【解答】解：数列an满足 a1=0，=1（n2，nN*），=1，是首项为 1，公差为了的等差数列，=1+（n1）=n，解得 a2017=故选：C【点评】本题考查数列的第 2016 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 4【考点】程序框图【分析】根据直线 ax+by+c=0 与单位圆 x2+y2=1 的位置关系，当 c2a2+b2，且 c=0 时，直线与单位圆相交过圆心，即可得解【解答】解：根据直线 ax+by+c=0 与单位圆 x2+y2=1 的位置关系，当 c2a2+b2，且 c=0 时，直线与单位圆相交过圆心，7/12 可得：空白的判断框中，应该填写 c=0？故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用，点到直线的距离，属于基础题 5【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据，即可求出四棱锥中最长的棱长【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形 OABC，直角梯形的上底是 BC=1，下底是 AO=2，垂直于底边的腰是 OP=2，如图所示：则四棱锥的最长棱长为 PB=3 故选：D【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是还原出几何体结构特征，是基础题 6【考点】定积分【分析】利用定积分的几何意义，首先表示面积，然后计算定积分【解答】解：函数曲线 y=x与 y=x2所围成的封闭区域的面积为=；故选 A【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用解决封闭图形的面积问题，关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积；属于常规题型 7【考点】圆的标准方程【分析】确定圆心与半径，即可求出圆 C 的标准方程【解答】解：由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），圆 C 的标准方程为（x1）2+（y）2=2，故选：A【点评】本题考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题 8【考点】平面向量数量积的运算 8/12 【分析】以 A 为坐标原点，以 AB 方向为 x 轴正方向，以 AD 方向为 y 轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB 方向为 x 轴正方向，以 AD 方向为 y 轴方向建立坐标系，则 A=（0，0），M（4，2），则=（4，2），设 N 点坐标为（x，y），则=（x，y），=4x+2y，设 z=4x+2y，平移目标函数，则过点 C（4，4）时有最大值，此时最大值为 z=16+8=24，故选：B 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题 9【考点】对数值大小的比较【分析】m（，1），可得 a=lgm0，1mm20，因此 ab，c=lg3mlgm=a，即可得出【解答】解：m（，1），a=lgm0，1mm20，ab，c=lg3mlgm=a，cab 故选：C【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10【考点】点、线、面间的距离计算；球的体积和表面积【分析】过 AB 的小圆的圆心为 D可得 AC=BC=2，AD=BD=，即可求解 B 到平面 SAC 的距离【解答】解：球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB=，SCA=SCB=，半径为 2，过 AB 的小圆的圆心为 D可得 AC=BC=2，AD=BD=，ABD 是等边三角形，AD 边上的高为 B 到平面 SAC 的距离，即 9/12 故选：B【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查转化思想以及计算能力属于中档题 11【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】如图，设 A，B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E，M，过 B 作 AE 的垂线 BN，在三角形 ABN中，BAN 等于直线 AB 的倾斜角，其正切值即为 k 值，利用在直角三角形 ABN 中，tanBAN=，从而得出直线 AB 的斜率【解答】解：如图，设 A，B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E，M，过 B 作 AE 的垂线 BN，在三角形 ABN 中，BAN 等于直线 AB 的倾斜角，其正切值即为 k 值，设|BF|=n，B 为 AC 中点，可得 2|BF|=|AE|，即|AF|=2|BF|，|AF|=2n，根据抛物线的定义得：|AE|=2n，|BF|=n，|AN|=n，在直角三角形 ABC 中，tanBAN=2；故选：C 【点评】本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题 12【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数的零点，转化为两个函数的图形的交点的横坐标，利用函数的对称性，求解即可【解答】解：函数 f（x）=e2|x1|+2sin（x）在 x3，5上的所有零点，就是 e2|x1|=2sin（x）在 x3，5上的所有的根，即 e2|x1|=2cosx 在 x3，5上的所有根，就是函数 y=e2|x1|与y=2cosx，交点的横坐标，画出两个函数的图象如图，因为两个函数都关于 x=1 对称，两个函数共有 8 个交点，所以函数 f（x）=e2|x1|+2sin（x）在 x3，5上的所有零点之和，M=8 10/12 故选：C 【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13【考点】终边相同的角【分析】利用倍角公式、弦化切即可得出【解答】解：tan（+）=tan=2，sin2+cos2=故答案为：【点评】本题考查了二倍角公式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题 14【考点】二项式定理的应用【分析】先由条件求得 n=9，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得展开式中 x3的系数【解答】解：由题意 2n=512，则 n=9，通项公式为 Tr+1=（1）r，令 9r=3，求得 r=4，可得该展开式中 x3的系数=126，故答案为：126【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 15【考点】模拟方法估计概率【分析】求出边长为0.26R，周长为 0.2624R=2R，即可得出结论【解答】解：正二十四边形的圆心角为 15，圆的半径 R，边长为0.26R，周长为 0.2624R=2R，=3.12，故答案为 3.12【点评】本题考查模拟方法估计概率，考查学生的计算能力，比较基础 16【考点】数列递推式；数列的求和 11/12 【分析】根据 2a1+22a2+23a3+2nan=n，求出 an=，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=，裂项求和得到 Sn，代值计算即可【解答】解：2a1+22a2+23a3+2nan=n，2a1+22a2+23a3+2n1an1=n1，2nan=1，an=，=，Sn=1+=1=，S1S2S3S10=，故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17【考点】余弦定理【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a=sinA，c=sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sinAsinC=，从而可求 a=sinA，结合 A 为锐角，可求 A 的值（2）由余弦定理，基本不等式可求 b+c，由三角形两边之和大于第三边可得 b+ca=，即可得解b+c 的范围【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式以及三角形两边之和大于第三边等知识的综合应用，考查了转化思想，属于中档题 18【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用 k2计算公式即可得出（2）由题意可得：X=0，1，2可得 P（X=0）=，P（X=2）=，P（X=1）=1P（X=0）P（X=2）【点评】本题考查了随机变量的分布列的性质及其数学期望、“独立性检验”计算公式及其原理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定【分析】（）取 B1C1的中点 H，C1D1的中点 G，平面 BHGD 就是所求平面 （）取 BC 中点 M，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DM 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 AEF 与平面 的距离 12/12 【点评】本题考查满足面面平行的平面的作法，考查两平面间的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 20【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）设 P（x0，y0），A（x1，y1），B（x1，y1），代入椭圆方程得，由直线 PA、PB 的斜率之积为，得到=，由此能求出椭圆 C 的离心率（2）由 e=，得，从而=1，c=，焦点 F1（，0），设 MN：y=k（x），联立，得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出 k 的取值范围【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查实数的取值范围求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用 21【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数 g（x）的导数，计算 g（1），g（1），求出切线方程即可；（2）求出函数 F（x）的导函数，得到导函数的单调性，从而求出函数 F（x）的单调性即可；（3）已知可转化为 x1x21 时，mg（x1）x1f（x1）mg（x2）x2f（x2）恒成立，令 h（x）=mg（x）xf（x）=x2xlnx，则 h（x）为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数 m 的取值范围【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题 四、请考生在第 22.23 题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程；参数方程的优越性【分析】（1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可（2）把直线方程代入圆的方程化简可得 t 的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA|=|t1|，|PB|=|t2|求出|PA|PB|【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数 t的几何意义，是基础题 选修 4-5：不等式选讲 23【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）求出 f（x）=|x+1|x4|的最大值，f（x）maxm2+6m 即可（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）（3a+4b+5c）2=25【点评】本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题